【趣题征解】证明：对任何互素的正整数 a,b，必有正整数 m,n，使得 a^m+b^n≡1(m

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/11/07 05:08pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：对任何互素的正整数 a,b，必有正整数 m,n，使得 a^m+b^n≡1(mod ab) 。
例如，当 a＝2 ，b＝5 ，ab＝10 时，有 m＝4 ，n＝1 ，使得 2^4+5^1＝21≡1(mod 10) 。
      当 a＝3 ，b＝4 ，ab＝12 时，有 m＝2 ，n＝2 ，使得 3^2+4^2＝25≡1(mod 12) 。
      当 a＝3 ，b＝5 ，ab＝15 时，有 m＝4 ，n＝2 ，使得 3^4+5^2＝106≡1(mod 15) 。
      当 a＝5 ，b＝6 ，ab＝30 时，有 m＝2 ，n＝4 ，使得 5^2+6^4＝1321≡1(mod 30) 。

王成5

w632158

这个证明非常漂亮。我们做个朋友吧，我的QQ408073346

luyuanhong

对，第 2 楼中 王成5 的证明非常漂亮！

重生888

| 整除后面是否漏加括号？

moranhuishou

证明很不错，把题目延伸一下：
【趣题征解】证明：对任何互素的正整数 a,b，必有正整数 m>1,n>1，使得 a^m+b^n≡a+b(mod ab)
也没试，不过应该同样成立的。

simpley

成立.这是很明显的,不过民科能看出来,也很难得了

moranhuishou

下面引用由simpley在 2011/09/02 00:43am 发表的内容：
成立.这是很明显的,不过民科能看出来,也很难得了

“民科”就是看不出来为什么
58+0+,,,+(-100)=60
唉,,,

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/11/07 05:09pm 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2011/09/01 08:57pm 发表的内容：
证明很不错，把题目延伸一下：
【趣题征解】证明：对任何互素的正整数 a,b，必有正整数 m>1,n>1，使得 a^m+b^n≡a+b(mod ab)
也没试，不过应该同样成立的。

【趣题征解】证明：对任何互素的正整数 a,b，必有整数 m>1,n>1，使得 a^m+b^n≡a+b(mod ab) 。
例如，当 a＝2 ，b＝5 ，ab＝10 时，有 m＝5 ，n＝2 ，使得 2^5+5^2＝57≡7≡2+5(mod 10) 。
      当 a＝3 ，b＝4 ，ab＝12 时，有 m＝3 ，n＝3 ，使得 3^3+4^3＝91≡7≡3+4(mod 12) 。
      当 a＝3 ，b＝5 ，ab＝15 时，有 m＝5 ，n＝3 ，使得 3^5+5^3＝368≡8≡3+5(mod 15) 。
      当 a＝5 ，b＝6 ，ab＝30 时，有 m＝3 ，n＝5 ，使得 5^3+6^5＝7901≡11≡5+6(mod 30) 。

【证】 因为 (a,b)＝1 ，由关于欧拉函数的欧拉定理可知，有 a^φ(b)≡1(mod b) ，
    即有  a^φ(b)＝kb+1 （k∈I），等式两边同乘以 a ，得  a^[φ(b)+1]＝kab+a （k∈I），
    即有 a^[φ(b)+1]≡a(mod ab) 。
    同理可得 b^[φ(a)+1]≡b(mod ab) 。所以有  a^[φ(b)+1]+b^[φ(a)+1]≡a+b(mod ab) 。
    令 m＝φ(b)+1 ，n＝φ(a)+1 ，就有 a^m+b^n≡a+b(mod ab) 。

simpley

下面引用由moranhuishou在 2011/09/02 01:39pm 发表的内容：
“民科”就是看不出来为什么
58+0+,,,+(-100)=60
唉,,,

思维低级不是你的错,但以此洋洋得意就不对了.
请问:58+0+,,,+(-100)=60这个式子到底是怎么来的?只能是从民科逻辑中得出的.