[转发]敢峰的文章：五星图上“四色仙子”舞 ——三证四色定理兼论四色王国（二）

雷明85639720

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五星图上“四色仙子”舞
——三证四色定理兼论四色王国
（二）
（2017年8月5日）
敢  峰

二、        跳出庐山看庐山：
四色王国从必然王国向自由王国的转变

过去四色定理的证明为什么这样难？因为它原来是处在无限平面极其复杂的自在的必然王国中。现在，在五星构形的舞台上，四色仙子舞为什么又能跳得这样干净利落，每一步都能作出一个相应的规律性证明，周而复始，概莫能外？因为她已使四色问题从自在的必然王国跨进了自由王国。
下面，我们就对五星构形的体制、机能、基本证明方法（即“染色程序”）和核心枢纽分别进行简要论述。
（一）        体制（构形）：
五星图是从A—C和A—D两个四色不可解交叉环开始，环绕5轮图沿进行演绎最后所必然形成的周而复始的集合。使5轮图沿的每一个顶点，都连接着两个四色不可解的交叉环。图中的线路，全部由四色不可解线路交错构成。
这个图的线路网络构形，其形态如前所述，就是一个五星。有内、中、外三个圈，每一圈都是5个顶点，加上5轮图中待填色的V区，和图外无际四色海洋中与外圈顶点以二色隐线相连的隐区W，共17个点。
这个构形，实际上就是多少年来为证明四色问题所孜孜以求的“构形的不可免完备集”。只不过它不是逐一排列、分别外扩的直线型证明，而是集合在一个终极的五星构形中的环型的统一证明。在这个图中，证明了四色定理，则四色定理成立，证明不了，则四色定理不成立。
五星图的本质特征：
（1）它是使四色证明从无限的外向证明转变为有限的内向证明的图。其外，必然有一个隐点W与外圈的5个3色点分别有二色隐线相连（详见《二证》中的海岛理论）。
（2）它的涵盖面，可以从最小到充分大，能适应无限区域的无穷变化。“普天之下，莫非王土。”
（3）四色定理能否成立，决战于三圈（内、中、外三圈）之内。在三圈外，犹如船已离岸，对圈内证明不再产生重要影响，可以不予置理。
（4）图外圈为5点3色，则标志着四色定理一定可证，如为5点4色，则回归到5轮图沿，一般标志着：四色定理不成立，或证明中途有误。
   可以认为：在五星网络中形不成终极图，大概证明希望渺茫。
抛开构建终极图，分别寻求“不可免集”分别证明，大概同样希望渺茫。
（二）机能：
    机能是由机制和功能合一的统称，它源于、孕育和生成于体制，又受制、受限于体制。
如前所述，在五星图的体制确立以前，四色问题的体制是一个自在的必然王国体制。要证明四色定理，其过程首先就是在体制上使四色问题由自在的必然王国向自由王国的转变。五星构形终极图体制成功确立之后，四色演绎的机能就从单一的成图机能变为 能继续演绎又能使每一步演绎直接进入正面证明程序的双重机能。这是因为用反求思路的循序演绎（演绎筛法）构建四色不可解线路集合的五星构形的终极图，只是证明四色定理的前一半过程，亦即“布阵”擒拿四色妖魔的过程，后一半路程则是“破阵”和正面证明的过程。“解铃还须系铃人”。由于五星构形的终极图既已形成，就要改变在成图过程中的反求思路，利用演绎机能的继续存在，转入正面证明程序，直接求得对四色定理的一个个具体证明。形象地说，原来是要布下捕捉四色妖魔的“天网”，现在已把四色妖魔收进“天网”了，需要改换功能直接捕捉四色妖魔。因此在形成5星图的终极图后，既可以继续周而复始地演绎下去，保持终极图原貌展示其终极性，又可以根据需要随时停止演绎，转入证明系列对四色定理进行证明，就象乘坐环行电车，可以任意选站下车。这样，在五星图的运转中，每一步都可进行一个证明，就丝毫不奇怪了。
总的来说，在5星图的终极图中，其成图过程与成图后的证明过程是一一相对应的。成图时有多少个步骤，形成了多少个双环交叉的四色不可解构形，在回证时就相对有多少个证明。亦即：有多少个分步图就可以做出多少个证明。四环演绎全程20步演绎可做20个具体证明。三环演绎全程60步演绎可做60个具体证明。其奥秘就在于成图过程中，这些图原本都是双环交叉的四色不可证图，因当时整体的证明条件不具备或者尚不成熟，而在五星图体制下，都可以在严密的可控换色中成为四色可解的了。
（三）        基本证明方法（即“染色程序”）：
   在五星图周而复始的循序演绎过程中，5轮沿的5区四色，可以分为两个部分，一部分是3区2色，另一部分是2区2色。在这两个部分中，必有一部分形成二色环把另一部分包围在这个环中进行二色交换，破解两环交叉，使四色定理得证。这是四色定理证明原理的核心。据此，可以得到两种基本证明方法：
第一种证明方法：我们称为方法A。凡由3区2色长半环成环的，则在环内进行另2色交换后形成两个非交叉环（即肯泊的K构形），从而分别改变5轮图沿原来两个填相同颜色区的颜色，使5轮沿变为3色，而将另一色填入V区。初始的启证图与双数步骤演绎的图属于这种情况。
第二种证明方法，我们称为方法B。在5轮图沿凡由2区2色短半环成环的，在环内进行另二色的互换后，必定分别形成两个包含5轮沿3个区的二色环，称其为四色可解环。在其中任一环内或环外进行二色互换，必可使5轮沿变为3色，而将另一色填入待填色区V。（在此顺带说明：在四环演绎和某些三环演绎中，奇数步骤所形成的A—B环虽然也属A—B环，但它在5轮沿是短半环，因此需要证明方法B，而且全图中只有A—B环没有C—D环，与偶数步所形成的图同时存在A—B环与C—D环不同。）
在五星图中，这两种证明方法可以全部改变5轮图沿任何区的填色（实际上把肯泊（Kempe）所已证明的在非交叉环状况下的填色都包括进去了。）在周而复始的演绎过程中，也相应地形成一个与整体演绎过程相伴的周而复始的证明链。
至此，对前面所展示的“五星图上仙子舞”，我们在其周而复始的演绎中再进行回顾，其舞步和歌词（即每一步演绎所形成的图形与其证明方法）的同步演唱的确是真与美结合的四色证明进行曲啊！
当然，在每一步证明过程中，也可以分别用其他一些方法得到证明。但麻烦多了，故弃之。
（四）        核心枢纽
    五星图的运转枢纽和证明的指挥中心（或者说是基因）在哪里？成图前和成图后都在5轮沿。在初始的既定填色中，它由B—A—B与C—D两个二色半环组成。前面已提到，前者3区2色称为长半环，后者2区2色称为短半环。这两个半环一直处于对立统一和交替变化的状态，带动着全图的演绎和变化。
在四色定理证明的全部演绎进程中，5轮图沿为什么会成为核心枢纽，又怎样成为核心枢纽的呢？是赫伍德（Heawood）图中的A—C和A—D交叉环把它推上去的。在肯泊（Kempe）的四色定理证明中，B—A—B长半环和C—D短半环是靠边站的，根本排不上用场。自从最初寓于赫伍德图中的A—C和A—D两个交叉环（即四色不可解线路发生图）出现后，证明的形势大变。以B—A—B为代表的长半环与以C—D为代表的短半环的登场（不管证明者是否意识到）成为四色定理能否得到证明的一对决定性基因。或由B—A—B长半环包围C—D短半环形成A—B环，或由C—D短半环包围B—A—B长半环，形成C—D环，从而破解A—C和A—D交叉环，证明四色定理成立。二者必居其一。由其他色素组成的长半环和短半环也是这样。这就是四色定理成立的基本原理之所本。否则，四色定理是不能成立的。5轮图沿之所以始终成为整个四色演绎的核心枢纽，是由它所处的位置和要实现的目标，以及成图前后两个不同阶段的任务（成图和证明）所决定的。
因此，在构图和直接证明的全部演绎中，始于核心枢纽的启动区均为5轮沿的长半环与短半环。这就是我在《一证》中所说的“锁阵运筹”理论。
为了破解A—C与A—D交叉环，就必须形成A—B环或C—D环，通过环内或环外的二色互换破解交叉问题使四色定理得证。于是B—A—B长半环与C—D短半环出场了，成为四色定理能否成立的一对对立统一的“基因”，启动了A—B环或C—D环的“造环运动”。这种运动的表现形式就是文中所谈的四环和三环演绎。它的起证图就是A—C与A—D双环交叉图（即四色不可解线路发生图）。
在这个“造环运动”中：
第一，它的构形不是按照证明者的意愿造出来的，而是在实际演绎中的必然形成。图中的每一条线都不具有随意性。
第二，它的每一步演绎，都是长半环启动的，使5轮沿按顺时针或逆时针方向转换。
第三，构图的目标，是要构建可以直接用来证明四色定理是否成立的终极图，否则就会中途跌入“四色陷阱”，所得到的证明只能是有限的局部证明。
第四，在成图过程中，每一步在线路上都存在着两种选择：一种是四色可证明的线路。一种是四色不可证明的线路。要构建终极图，每一步都必须选择四色不可解线路，这样才能不断跨越“四色陷阱”构建成终极图。终极图的标志，就是其后出现了全方位的大循环。这时，我们就已经使直线型的无穷尽证明变成环型的有限证明了。
我在《一证》中的五星图就是这样构成的。不仅在五星图自身的15个点所连成的线路出现了全部由四色不可解线路构成的5对交叉环，同时也必然形成了贯穿这5对交叉环的“克星”A—B环和C—D环。不缺一条线，不多一条线，没有一条线是可有可无的。真是“天工”啊！
在终极图构成后，就可以开始进入直接证明的程序。既可以对《一证》中的20 步图一一进行证明，又可以在《三证》中通过A—C、A—D、C—D三环演绎对60个图一一进行实际的证明了。想证明哪个图就坐在五星图上的“环形电车”在那一站下车，奇数号站的图用方法B证明，偶数号站的图用方法A证明。每一站所得到的证明都是等价的终极证明。
具体地说：
（1）在四环演绎中要连续演绎，则启动纽位于运行方向长半环的前区，与环外的一个相应结点二色互换，打破原来的交叉环，形成新的交叉环。停止演绎直接进入证明程序，则在A—B长半环或短半环形成的A—B环中进行C与D二色交换。
（2）在三环演绎中，要继续进行演绎，则启动纽位于运动方向的5轮沿长半环前区，与短半环尾区进行二者互换（长半环与短半环也因此互换了）。停止演绎进入证明程序，则直接进行短半环的二色互换。
（3）三环演绎与四环演绎之间的变换，只要在5轮沿进行一次四环或三环演绎即可。
    在整个四色演绎和证明过程中，这就是通过核心枢纽对全图运转的一整套规范化操作规程。
至此，足以说明，我们已经从四色问题自在的必然王国，进入了自为的自由王国。四色仙子在五星图中跳的舞，正是四色自由王国之舞啊！
（舞台下有人发问:“为什么《二证》中就没有五星图，也没有仙子舞呢？”幕后传出一个稚嫩的声音：“那是因为当时四色仙子被妈妈藏在五轮楼里。叔叔找到她后，她同妹妹还在海上拉着手跳了《擒妖三部曲》呢！”引得众人哈哈大笑：“小公主真的很聪明啊！”）
至此，可以具体深入地认知四色定理得以证明的原理（狭义的）。5轮沿5个顶点，在四色定理未得到证明前，是由一个3区2色长半环和一个2区2色短半环合成。在五星图的整个演绎过程中，不是长半环包围短半环，就是短半环包围长半环，二者必居其一。在任何一个环内进行二色互换，必然使原有两个阻止四色定理成立的交叉环消失。或者两环相互分离从而可以改变两个填同色区的颜色，使5轮沿变为3色，将另一色填入待填区V，使四色定理得证；或者形成一个新的包括5轮沿3个区的四色可解环，在环内或环外进行二色互换使5轮沿变成了3色，将另一色填入待填色区V，使四色定理得证。
至此，集中到一点，我们还可以由此及彼、由表及里，从感性到理性再到实际操作，得知四色仙子在五星图上跳的四环或者三环舞，都源于5轮图沿长半环与短半环所形成的双环交递舞，更透彻地懂得了四色定理成立的不可免和证明方法。


四、四色证明的逻辑环链

    一个确切无误的证明，其自身就是一个严密的逻辑环链。对四色定理这样的数学难题的证明，尤其是这样。我对四色定理的证明，战略目标是要解决可控调节问题，其逻辑环链是：
（一）把四色证明这个无限平面上不可控的数学问题转换为平面图中有限的可控问题（海岛理论）。这是四色问题可证的逻辑起点。
（二）反求思路是实行这种转换的证明思路。因为正面证明是无穷尽的，反求思路则不断跨越“四色陷阱”，将直接可证的图形（线路）统统排除了，只剩下四色尚不可（不宜）证明的图，逐渐形成和缩小包围圈（将直线型无穷尽证明转换为环型的有限证明），最后在全部可控范围中，集中加以证明。
（三）演绎筛法是反求思路在成图过程中的实际化操作，其功能是在演绎过程中逐一排除四色可解线路，选择四色不可解线路。
（四）终极图就是由演绎筛法所最后形成的四色不可解线路集合。即统一的“不可免构形”。
   至此，四色定理在整体可控条件下就成为可以具体证明的了，可控调节的战略目标实现了。
（五）具体证明就是对双环交叉图形在可控条件下进行二色互换调节，破解交叉环，分别按照方法A或方法B进行实际证明。
（六）在终极图中，可以一一循序证明，也可以自由选择任何方位的图形进行证明，从而使四色定理得到终极的全方位证明。
这样，整个证明的过程就形成一个完美的不可动摇的逻辑链条：“海岛理论”——反求思路——演绎筛法——终极构形——可控调节——全方位证明。从而使终点同逻辑起点首尾呼应，成为一个成功的环链。
这个逻辑链条所展示的实际上就是四色定理的证明公式。用汉语拼音的首个字母来表示，即：
4CC=h+f+y+z+k+q
借此，可以集中回答一个问题：四色定理证明到底难在哪里?这也有一个逻辑链条啊！
远的不说了，就说当前的实际证明。集中到一点，难在破解5轮图中初始的A—C与A—D交叉环。
破解A—C与A—D交叉环又难在哪里？难在可控调节问题。
可控调节难在哪里？难在控制矛盾转移。
控制矛盾转移难在哪里？难在无尽的平面的展开中它也是无穷尽的。即：可控与不可控两种可能同时存在。
因此，归根到底，就难在它是无穷尽的。
因此，只有把无限平面上的证明转换为拓扑图中有限范围的证明，才能最终解决这个问题。这就是说，要把直线型的无限证明转变为环型的有限证明。这就是终极图。因此，难就最后难在要找到终极图。
而要找到终极图又难在哪里？不能凭主观愿望任意构图，一笔也不行，而要实际演绎成图。演绎成图才是必然和不可免的。
实际演绎成图又难在哪里？每一步都面临两种选择：四色可解线路与四色不可解线路。（错一步就跌入“四色陷阱。”）
两种选择又难在哪里？难在走出构图迷宫。在循序转移双环交叉的过程中要仔细观察全局，连接新的四色不可解线路，同时阻断四色可解线路。不怕繁琐，拒绝引诱，坚持构建四色不可解线路集合图，走彻底探究四色定理是否成立之路。
“乌云的上面就是太阳，困难的背后就是胜利。”由于四色定理是客观存在，最后，果然太阳出来了。整个构图形成了全方位的大循环。五星构形的终极图构建成功了。
于是，在终极图中对四色定理的证明就象网中捕鱼。可控调节问题解决了，破解各种各样的交叉环都不难了。可以随心所欲，想捕那条鱼就捕那条鱼。如果想全都捕尽也可以，但“竭泽而渔”也未免太贪心了吧!哈哈！
以上也可以说明，证明四色定理的逻辑链条，同时也是四色定理的证明公式。至少，具有公式的意义。

五、结论和附言

结论是：在任何情况下，平面图的四色定理都是成立的。
让我们回过头来，再整个梳理一下：
过去已知，任何平面的区域划分图形，都可以换为V-3E图形（一个顶点连接3条边线），只要在V-3E图形中证明了四色定理成立，在任何区域图形中四色定理均成立。而且知道，所有V-3E图形中至少有一个区域的邻区等于或少于5。
过去已知，只要在5轮图沿能使四色变为3色，就可以通过数学归纳法使四色定理得到无穷尽的终极证明。
过去已知，在5轮沿不存在交叉环的情况下，可以由4色变为3色，将另一色填入待填色区V。即肯泊（Kempe）已证明了的K构形。
过去已知，赫伍德（Heawood）提出了有交叉环的K构形反例，标志着证明进入深水区。
过去已知，美国数学家借助电子计算机在无限的平面上搜索以求证明四色定理的努力并未成功，标志着穷举法证明时代之终结。
…………
于是问题就集中到一点：在5轮图沿任何有四色不可解双环交叉构型的无穷大的所有任意平面图中，到底还能不能得到四色定理证明？
现在我们已经用反求思路和演绎筛法得到了四色不可解线路集合的终极图——五星图。5轮图沿的5个顶点全部由两个交叉环牢牢“捆绑”着，使它具有“不可免”性又具有终极性。
现在，我们不仅于1992年在5星图上第一次证明了四色定理（今年还作了《海岛理论与四色问题》的姊妹篇的证明），而且目前又在不可免地全部60个图中作出证明，进而全面论证了5星图的体制、机能、基本证明方法和核心枢纽，已经使四色问题从必然王国转变为自由王国。并对以上证明进行了逻辑上的论证。
那么，还有没有反例呢？没有了，绝不可能有了。因为所有的“反例”都是四色可解的非终极图，在四色不可解线路集合的演绎过程中统统作为四色可解线路分解和筛掉了。至于《二证》中直接构建的终极图，它既是否定四色定理成立的极端图，更是证明四色定理成立的一个的特别图。它同样是用反求思路构建的，特意使它除了初始的A—C与A—D交叉环以外，没有任何二色环和具有其他四色可解线路，就像一个被困死的围城。对它的四色定理证明，所揭示的是四色定理成立的必然性和不可阻挡性，没有四色仙子在五星图上跳舞，四色定理也同样成立。它所发出的最强音是：象这样一个使四色定理不能证明的极端性的图都被证明了，哪里还可能有任何不可以被证明的图呢？
我们把这个图嵌入五星图中，可以看出：它比五星图少了一个关键性的顶点B，显然不可能具有全图的演绎功能，另在图外增加了两条线路维护其四色不可解线路的终极图性质。由此也可以认为，它是既要证明四色定理，又不让四色仙子在五星图上跳舞，而由五星图改装的图。也就是说，它只顾强势地证明四色定理的必然成立，却不能让人们看到四色定理的自由王国。只知其然而不知其所以然，不好啊！这也就是我要写《三证》的主要缘由。
还有一个我本来不愿回答但又不能不再次回答的“不可免集”或“完备集”的问题。一个时期以来，一些研究四色问题的人士往往被这些问题困扰着。恕我直言，这是一个“画饼”理论，对研究图论是必要的，但用于实战不宜；作为一个参考系可以，倘奉为圭臬，则易困于主观的构图迷宫走不出来。而且一个个寻找，一个个分别证明，很难回答甚至无法回答：“此外是否还有的问题”。特别是，分别对每一个“不可免构形”进行证明时，同样要进入终极证明程序，否则也无法跨越“四色陷阱”，所得到的仍然是局部证明，几个局部证明加在一起仍拼不成无缝隙的终极完图。因此，我认为，把“不可免集”或“完备集”统一和等价到五星构形或其他终极构形上来，才是正确和可行的最佳选择。否则，恐怕很难走出构图迷宫。
那么，我为什么认同雷明的《最简单证明》是成功的呢？雷明的这个证明实际上同样是一个统一的终极图。因为它是“四图一体”。一个诸葛亮，变成三个“巧皮匠”（这4个图实际上就是3个图）。图中两侧的B—C小环与B—D小环成为4图之间转换的机纽，可使同一个图变为有A—B环、有C—D环和没有A—B环也没有C—D环三种图，从而形成了一个统一的“不可免集”。它的终极性质，表现在四图中5轮沿初始的A—C与A—D交叉环在图外圈的叠加上。这样，其外圈同样可与四色海洋中的一个隐点同时有2色隐线相连。在这个叠现的交叉环内证明了四色定理，并可以回到K构形，显然其证明是终极证明。
张彧典在《四色猜想证明中的“困难”构形解析》中，对米勒图进行了确切无误的四色证明。尽管是通过对米勒图的破解作出的，解决了当年米勒（Miller）在证明中未能解决的问题，得到了证明，当然同样也应当认为是对四色定理的证明。或者说，是两人先后接力作出的证明。遗憾的是，对米勒（Miller）作出米勒图的思路以及怎样开始成图的，至今仍未能弄清楚。否则，当时米勒（Miller）的证明为什么会“咫尺天涯”？这只好由米勒自己作答了。（张文中的其他论述，另议。）
至于国内的其他一些探索和证明，我少有接触，故在此未涉及。不管怎样说，只要是严肃认真的探索，无论成功与否，哪怕全部失败了，都是值得尊重的。
雷明说：“四色定理是中国人证明的。”我赞成他的看法，而且应让更多的人听到，让世界也能听到。因为事实就是如此。事实是最雄辩的：非数学殿堂中的中国人，同样可能摘取数学王冠上的明珠。更重要的，它也是在继续打破近二百年来所形成的一种社会心态：在数学和科学上唯西方“马首是瞻”。
“一个篱笆三个桩”。三个分别研究四色问题30多年的研究者在四色定理的实际证明中，有了“交集”，所得到的证明呼应相通，好消息啊！
（再次传来一个稚嫩的声音：“太阳已经升上三竿了，怎么妈妈还在睡觉呢？我得赶快回家喊醒她！”可爱的小公主啊，数学女王太累了，就让她好好睡吧！小公主回答：“不，那也不能老睡啊！老睡，没有病也会睡出病来的。”）


（完）

（作者注：文中的图是请远在千里之外迄今未谋面的雷明先生重新绘制的）。


                   敢  峰
          二○一七年八月五日于北京

注：此文已于二○一七年九月十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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