调和级数是“芝诺悖论”的翻版吗？与欧阳耿先生商榷

zhaolu48

　　　　　　调和级数是“芝诺悖论”的翻版吗？与欧阳耿先生商榷 　　欧阳耿教授在他的《新发现的调和级数悖论：芝诺悖论确实是个真正的悖论》一文中说“芝诺悖论确实是个真正的悖论，并且现在已经发展成一个庞大的芝诺悖论家族。这个家族包括悬而未决的第二次数学危机和性质上一模一样的调和级数悖论。” 笔者很难同意欧阳教授的这一观点。 　　《数学分析》用极限理论严格证明了：调和级数是发散的。尽管极限理论似乎是有些含糊的地方，但她的定义及推理在逻辑上是严密的。不象康托的实数理论处处是自相矛盾的。因此严格按极限理论得到的结果都是正确的。 　　把调和级数“分片”正是根据级数收敛的充要条件得到的。 　　欧阳先生对《吉米多维奇》习题集不会没做过吧？这个习题集上的几个相关的习题可以充分说明这一点。 　　(一)数列{(1+1/n)^n}是严格递增数列，{(1+1/n)^(n+1)}是严格递减数列； 　　又lim(n→∞)[(1+1/n)^n]=lim(n→∞)[(1+1/n)^(n+1)]=e 　　从而(1+1/n)^nlnk-1/2+1/k 　　　1+1/2+1/3+1/4+…+1/k>lk+1/2+1/k (1) 再由[1/2+1/3+1/4+…+1/(k-1)+1/k]

珠穆亚纳

关于芝诺悖论思维体系的错误应该出现在哪里？这个问题，我在此回帖中的阐述应该说给出了清晰的答案：
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1337&show=0

ouyanggeng

关于极限论的问题是关键。
1。极限论是有穷--无穷理论体系的产物，是该体系在数学中的一个等价物，假如像先生所说：
“   首先是“有限”与“无限”的概念就不清晰。
　　“有限”一般是指个数的，即“有限”的自然数，“无限”也是个数的“无限”，也就是说“有限”与“无限”最初是指自然数的“大小”的，且给人最初的印象是，“无限”要远大于“有限”，且有限与无限的比值应该是“无限小”。
　　那么“有限”就应该有最大值，即最大的“有限自然数”应该是存在的，可这个最大的“有限自然数”应该是多大呢？给人的理解，它又是“无限”的了。
　　对“有限”与“无限”这一必须涉及的概念，却非常不清晰，可是却要研究与“有限”、“无限”相关的问题，这岂不是“以其昏昏，使人昭昭”吗？
　　不把“有限”与“无限”的概念彻底弄清楚，什么与其有关的问题都不会有理想的结果。    ”
那么先生为什么又在主贴中认为
“《数学分析》用极限理论严格证明了：调和级数是发散的。尽管极限理论似乎是有些含糊的地方，但她的定义及推理在逻辑上是严密的。不象康托的实数理论处处是自相矛盾的。因此严格按极限理论得到的结果都是正确的。”
毫不犹疑认为由极限论处理习题集中数学题的绝对正确性。
2。现有极限论是处理‘实无穷’或‘潜无穷’或都处理，如何知道？
3。结合先生的工作，如果先生对极限论深信不疑，那么康托与实数理论相关的许多工作恰恰就是以现有极限论为基础的，这是否说明先生目前关于实数理论的工作不妥-------没有真正学好极限论。

zhaolu48

欧阳先生： 　　注意，我用的是“尽管极限理论似乎是有些含糊的地方”，其中有“似乎”二字，这说明其实质仍然是比较清晰的。特别是它具有可操作性。 所说理论，通常简化称为，ε-N语言，或ε-δ语言。 ε-N语言为数列极限，或ε-δ语言为函数极限。 以数列极限的定义为例： 对于数列{an} 　　a1,a2,a3,…,an,… 及常数A，对作给的ε>0，存在N，当n>N时，就有|an-A|<ε 这时称A为数列{an}的极限。 在证明极限时，关键是怎样找到N，而N是ε的函数，有的直接写为N(ε)。 这就是说具有可操作性。 在这里不存在康托的“势”的问题。 所说实践是检验真理的标准，用极限理论得到的有限结果问题正确的。 《实变函数论与泛函分析》及《拓朴学》中的有限覆盖定理正因为她用的是极限理论，因而她才正确的反映了客观实际。 而极限理论中找不到自相矛盾的地方，至少我没找到。 而康托理论自相矛盾的地方太多了，一个自相矛盾的理论还能是正确的理论吗？ 勒贝格的测度论应当说其结果在有限范围内是正确的，但他的正确不过是在有限范围内的一个巧合。 有关这些问题不是一两句话可以说清的。 估计两个月后将陆续发表我的有关这方面的观点，到时还请先生给予评论。

zhaolu48

“这是否说明先生目前关于实数理论的工作不妥-------没有真正学好极限论。”
说真正学好，本人是不敢讲。但可以自信地说，对极限理论的理解与使用，还是能够超出一般水平的。《吉米多维奇习题集》做起来还是不算太费力的。

ouyanggeng

赵先生您好！
我从网上赵先生所发帖子了解到先生思想活跃且动手能力强，这很难得。我们之间有时观点不一致，是思路的问题，我相信通过讨论可以互相学习，取长补短。
讨论过程中有时言语表达不妥，但我绝无恶意，望能谅解，敬请多多包涵。

zhaolu48

欧阳先生
　　您好！
　　您太客气了，我从来也没认为您对任何人存在恶意。能在网上讨论问题，这就是咱们的缘分。同时能遇到您这样真正研究问题的人讨论问题，更是我难得的机遇。因此咱们应该是最好的朋友才对，比那些酒肉朋友间的友谊不知要高出多少倍。
　　从现在起咱们应该算是老朋友了，老朋友间说话也不必太讲究，就算有不得体的话，哪怕是尖刻一点的话，也把它视为互相调侃一下，增加点谈话的和谐气氛而已，这更能显现出是知己朋友。

ouyanggeng

理解万岁！

珠穆亚纳

观点可以不同，争论可以深入，目标完全一致，结局皆大欢喜。

ouyanggeng

谢谢珠穆亚纳先生的鼓励！