埃拉托塞尼“筛子”与素数含量新筛法

珠穆亚纳

埃拉托塞尼“筛子”与素数含量新筛法
              一、“筛子”与素数表
    公元前三世纪，古希腊数学家埃拉托塞尼提出了求素数的程序，并被记载于尼科马霍斯（公元前100年左右）的《算术入门》第十三章中，后人称之为埃拉托塞尼筛法。
    这种筛法的具体操作过程是：
    1、 写出从3开始的所有奇数3，5，7，9，11、……；并留下3，而划去3的所有倍数9、15、21……等等。
    2、 留下3后面的5，划去5后面所有5的倍数25、35……。
    3、 留下7，划去7后面的所有7的倍数49……。
    这样，就可以不断的删去所有的合数，剩下的就是素数。为什么叫埃拉托塞尼筛子？相传当年埃拉托塞尼是在紧绷在木框上的纸草上写上奇数，然后把要划去的合数挖去（也有说烧去），结果纸草上密密麻麻留下许多洞，象筛子一样。埃拉托塞尼筛法是构造素数表历史最悠久、也最经典的筛法。现有的素数表就是根据这一方法略加改进编制成的。
    1668年，布兰克给出了10^6以内的所有素因子.1816年,布克哈特给出了3036000以内的所有素因子.1863年,斯拉夫数学家库利克耗时20余年,编制成100330200以内的素数表。其全部手稿共8卷计4212页，在1867年2月存入维也纳科学院。1914年美国科学家D.N.莱默在指出库利克的一些错误之后,又编制出版了10006721以内的素数表.
    1959年,贝克和克伦贝尔使素数突破1亿大关。1967年，琼斯等人又获重大突破，获得了从10^n到10^n+150000范围内的素数表，其中n=8，9，……14，15。1976年，贝思和赫德森计算出直到1.2X10^12的素数表。60年代初，美国学者开始将前5亿个素数输入计算机内，目前的数量仍在不断的增加，目前有一对孪生素数达到了361700055*2^39020+1和 361700055*2^39020-1，在这对素数出现以后，素数的范围已经又扩张了许多。素数表为解决许多数论结论起到了无可比拟的作用。例如素数 A (240211× 2^ 93184﹢ 1) 与B（669× 2^ 93165﹣ 1）之间，其间距告诉我们,存在不能用两个素数之和表达的大偶数，已经说明，歌德巴赫猜想在这些特殊区间是不成立的(本资料引用曹锐在互联网上公布的数据)。再补充两个数据:2^20996011-1，2^25964951-1。
    这个事实回答了一个重大问题：歌德巴赫猜想并不是完全成立，而是有条件成立的（本结论来自于曹锐的数据，但不是最终结论，真正的最终结论将来自于笔者的系列理论推理结果）。
               二、从埃拉托塞尼思路产生的素数含量表达方法
    笔者曾经提出问题：素数在自然数集合中的分布程度（或称含量）能表达出来吗？如果能表达，设素数在自然数集合中的分布率为ω，那么ω＝？ω是一个什么样的常数？(这里,ω与π(x)有无区别,有,请读者自己比较。)
    先重复一下素数定理π(x)→x/lnx。其大概的发展史是：1800年，法国数学家勒让德利用数值计算，发现在很不规则的素数分布中，有一个近似公式，即，当X足够大时，π(x)≈ x/（lnx﹣1．08366）。更精确的结果是：x/（lnx–0．5）＜π(x)＜x/（lnx－1．5）。后来车比雪夫1852年又给出：存在两个正常数a与b，使不等式ax/lnx＜π(x)＜b x/lnx成立，其中a＝0．92129，b＝6/5 a。英国数学家西尔威斯把a改进到0．95695，b改进到1．04423。
    我们注意到，无论是埃拉托塞尼筛法编制素数表，还是素数定理，都基本上是在有穷范围内逼近素数含量的正确数值，但是始终是在受到局限的范围内思考，发现素数分布与自然对数的关系是一件了不起的事，是数学中实验法的典型应用实例。在突破超穷理论的一些重大概念的局限前提下，还有没有另一种表达方式表示素数含量？回答是肯定的。
    以下介绍的方法，显然是会引起争议的，但是作为一个讨论内容，不妨让广大读者各抒己见。
    下面，我们关于从自然数集中筛除含素数2——pi的所有合数就用以下方式来表达：
    ω＝  1×（1－1/2）（1－1/3）（1－1/5）（1－1/7）（1－1/11）（1－1/13）（1－1/17）……（1－1/pi）
    ＝1×1/2×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17……×（pi－1）/pi……。
    式中的所有（1－ni）：（ni=1/pi）中的1都不是原来意义上的1，而是1、1/2、1/3、4/15……等等，它表达了一个概念：这所有的"1"的含义是表示不断变化的整体，而不是一般概念上的1，这就是笔者系列帖子“戏说《图理学》基本概念之一——我与非我的启示”中所表达的重大概念的内在含义的一个具体实例。
    所以，ω＝1×（1－1/2）（1－1/3）（1－1/5）（1－1/7）（1－1/11）（1－1/13）（1－1/17）……(1－1/pi）＝1×1/2×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17……×（pi－1）/pi ……
    前人早已证明,素数有无穷多个,因此,随着素数pi→∞，（pi－1）/pi→1。在数学中，关于阶乘，有1×2×3×4×5×……×（n-1）×n=n！那么，我们也可以用此方法表示ω。
    我们这样定义：素数pi以内的所有素数的连乘积表达为pi（！）；pi（！）=1×2×3×5×7×11……×pi，则以上算式可以这样表达：
    ω＝（pi－1）(！)/pi (！)——此式的结果应是收敛的。
    随着素数表的不断充实增长，ω＝（pi－1）(！)/pi (！)的结果将越来越精确。
    它将以又一种方式表达素数在自然数集中的含量,并换个角度验证素数定理π(x)→x/lnx这一结论的正确性。
    本文提出了表达素数集在自然数集中含量状况的全新的思路，此思路反映了素数含量的更加精确的表达方式，但是思路却是有突破的，突破点在那里，读者对照已发表文章即可知道，数学专家一眼就可以发现。其中已经不加证明的使用了一个重大公理概念，这一公理，包含于笔者的另一篇著述中，连续阅读过笔者文章的网友一定可以有所了解。此表达式在描述素数在自然数集中的含量这一重大概念方面正确与否，欢迎广大网友深入探讨，尤其欢迎数学专业方面的有较深造诣的专家发表高见。
    比如说，有人会提出，埃拉托塞尼筛法把素数留下了，而你的以上表示法却不但把含有素数pi的所有倍数的合数筛去了，把pi本身也筛去了。这样的筛法怎能成立？尤其素数的含量也趋向于无穷大，这样把无穷多个素数都逐步筛去了，其结果能对吗？对这一质疑我的回答是：对于任何一个单独的pi，与所筛去的自然数集合中的1/pi那么多的合数来说，等于零，是不存在的，应该也是必须忽略的。这是因为：任一个pi与无穷大之比为0，即我们已经了解的1/∞=0这个公理。其中还有一个公理，这里就不再指出了，能发现就是读者的收获。建议读者们对照笔者已发表的文章  《素数的含量问题，换个方式重新讨论——致探索着的网友》、《 数学危机的启发——自然随想录之4》、《纯数学理念浅议——自然随想录之5》三篇文章来思考，可能有所启发。
    真理将是越辩越明。任何一个科学基础理论，其科学性首先表现在反映客观实际的正确性方面。只要正确的反映了客观实际，我们就要思考，其中的科学精髓在那里？
    尤其本文表达方式为初级方式，删节了那些纯数学基础理论的公理概念的讨论和铺垫，因此，可以理解其中精髓的网友将必然很多。
    无论是同意的，有异议的欢迎畅抒己见！
    同意以上思维和表达方式及其概念的并且具备研究条件的网友，不必等待。现在已经有一个重大的工作可以做了：利用现有的素数表，利用现有的计算工具，利用以上给出的简洁优美的公式，设计出简单实用的计算程序，早日给出ω的最精确的近似值，占据这一数论成果的制高点，为中华民族争光。
    ω＝（pi－1）(！)/pi (！)显然是一个简洁优美的表达式，尽管其中计算过程与素数表的产生同样是一件很困难的事，但是ω精确的近似值的产生在现代计算工具大幅度提高能力、素数表的不断充实的前提下，已经不再是遥不可及的、高不可攀的难题了，如今，用探囊取物这个词来形容取得ω＝（pi－1）(！)/pi (！)的较精确的近似值应该说决非夸张！
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（补充声明：这是我的原创文章，所以转到这里，是看到这里积聚了许多敢于探索数学奥秘的网友，以上声明在这里仍然有效，本系列论述现在已经发表7篇，将逐步发表在本论坛。）

wangyangke

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