用《分角定理》解几何题(7)

zglfirst

似乎异想天开                                                                  实则其来有自
中学数学解题基本思路之一：《解题之路,自有题示.》
问题为何如此解出
用《分角定理》解几何题(7)
(不添线)
已知；直角三角形ABC,∠A=90°，由AC向上作等边三角形ACD，连BD，交AC于E，有∠CBE=2∠ABE⑴。
求解：∠CBE=多少度？
解：由图有分角线明示，可用《分角定理》。由BE分∠ABC，由《分角定理》→
(CE/AE)=(sin∠CBE⑴/sin∠ABE)×(CB/AB)= (sin2∠ABE/sin∠ABE)×(CB/AB)=
(2cos∠ABE•sin∠ABE/sin∠ABE)×(CB/AB)= 2cos∠ABE×(1/sin∠ACB)= (2sin∠AEB/sin∠ACB)=
(2sin∠CEB/sin∠ACB)=(2BC/BE)→[(AC－AE)/AE]= (2BC/BE)→(AC－AE+AE)/AE= (2BC+BE)/BE→
(AC/AE)=(2BC+BE)/BE→AC×BE=2BC×AE+BE×AE⑵
由AC外分∠DAE→(BD/BE)=(sin∠BAD/sin∠BAE)×(AD(=AC)/AE)= (cos60°/sin90°) ×(AC/AE) =(AC/2AE) →BD=(AC•BE⑵)/2AE=(2BC×AE+BE×AE)/2AE=(2BC+BE)/2→DE=BD－BE=(2BC－BE)/2⑶.
由AE内分∠DAB→(DE⑶/BE)= (sin∠DAE/sin∠BAE)×(AD/AB)= (sin60°/sin90°)×(AC/AB)=
=(√3/2) ×(AC/AB), →(2BC－BE)/BE=[(√3)AC/AB] →(2BC－BE+BE)/BE=[(√3)AC+AB]/AB→
(2BC/BE)=[(√3)AC+AB]/AB→BE=(2BC•AB)/[(√3)AC+AB]⑷。
由cos∠ABE=AB/BE⑷=AB•[(√3)AC+AB]/ (2BC•AB)= [(√3)AC+AB]/ 2BC→
sin∠AEB=[(√3)AC+AB]/ 2BC=[(√3/2)•(AC/BC)]+ [(1/2)•(AB/BC)]=
sin60°•cos∠ACB+cos60°•sin∠ACB=sin(60°+∠ACB)→
sin∠CEB= sin(60°+∠ACB) → ∠CEB= 60°+∠ACB→
90°+∠ABE=60°+90°－3∠ABE→4∠ABE=60°→∠ABE=1S°证毕。
0739-5344277,0757-83210285,    古稀老人   张光禄   2006,4,29
用《分角定理》解几何题(7)

技术员

飘飘，难道你在沂蒙山区买地了？