“程氏定理3”的证明

费尔马1

程氏定理3，一个适当的平方数m∧2可以等于n个较小的平方数之和，并且这样的平方数m∧2存在无穷多个。（m、n为正整数，n≥2）
证明:
在直角三角形中，a、b分别表示两条直角边，c表示斜边，则有最简勾股数通式:a=（u∧2-v∧2）/2
         b=uv
         c=（u∧2+v∧2）/2
其中，u、v为互质的奇数，且u＞v。
则有c∧2=a∧2+b∧2
引理:在最简勾股数中，c、b为奇数，a为偶数，且c、a、b两两互质。
证明:∵（u-v）∧2=u∧2-2uv+v∧2
∴〔（u-v）∧2+2uv〕/2=（u∧2+v∧2）/2
令u-v=2k（k为正整数）
则2k∧2+uv=（u∧2+v∧2）/2
即c=2k∧2+uv=偶数+奇数=奇数；
∵c、b为奇数
∴c∧2、b∧2也为奇数，
又a∧2=c∧2-b∧2=奇数-奇数=偶数
∵a∧2=a*a
∴a必含因子2
故，a一定是偶数。
令c=b1=u1*v1
得一组勾股数a1、b1、c1，
（当c为奇素数p时，c=b1=u1*v1=p*1 ，下同）
∴c1∧2=b1∧2+a1∧2=c∧2+a1∧2=b∧2+a∧2+a1∧2；
令c1=b2=u2*v2
再得一组勾股数a2、b2、c2，
∴c2∧2=b2∧2+a2∧2=c1∧2+a2∧2=b∧2+a∧2+a1∧2+a2∧2；
………………………………………………………………
依次类推至无穷
故，定理成立。
                      证毕
                 2017-10-7
注，本文中的a1，b2，c2等等，数字为下标。

费尔马1

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费尔马1

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费尔马1

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费尔马1

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lkPark

证明我的方程是不是觉得很爽？

费尔马1

哈哈，这个题是我在前年靠自力更生解决的。

lkPark

费尔马1 发表于 2017-10-27 21:21
哈哈，这个题是我在前年靠自力更生解决的。

你有没有前年的论坛截屏资料？

费尔马1

哈哈，王老师干嘛要问这些问题呢？
这个题不一定是前年，甚至还要早，我记得在多年前我证明勾股数通式的不久，我就发现了一个平方数能分为k个平方数。这个问题很简单啊！
我不知道您的方程，请老师出示。

费尔马1

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