最简勾股数通式的推导

费尔马1

最简勾股数通式的推导
在直角三角形中有勾股定理:
a∧2+b∧2=c∧2
其中a、b为直角边，c为斜边。
如果三条边a、b、c是全体互质的正整数，就称a、b、c为一组最简勾股数。
下面来求最简勾股数的通式:
由a∧2+b∧2=c∧2
得b∧2=c∧2-a∧2
即b∧2=（c+a）（c-a）
∴b=√〔（c+a）（c-a）〕
令（c+a）=u∧2————⑴
    （c - a）=v∧2————⑵
得 b=uv
    a=（u∧2-v∧2）/2
    c=（u∧2+v∧2）/2
要使这个勾股数通式中a、b、c全体互质，u、v必为互质的奇数，当然u＞v。
因为
⑴若u、v都是偶数，则a、b、c就有公约数了；
⑵若u、v都是奇数（有公约数），则a、b、c也有公约数；
⑶若u、v一奇一偶，显然，上述通式中a、c都不是整数。
故，u、v必为互质的奇数。

费尔马1

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