由 0,1 组成，项数 25，首末是 0，无连续两项为 0，无连续三项为 1 的数列共有几种？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

由 0,1 组成，项数 25，首末是 0，无连续两项为 0，无连续三项为 1 的数列共有几种？
题目等同：由 0,1 组成，项数 23，首末是 1，无连续两项为 0，无连续三项为 1 的数列共有几种？
项数太大，先从 “1” 开始找规律。
项数=S(1)：1，有 1 种。
项数=S(2)：11，有 1 种。
项数=S(3)：101，有 1 种。
项数=S(4)：1011,1101，有 2 种。
项数=S(5)：10101,11011，有 2 种。
项数=S(6)：101011,101101,110101，有 3 种。
项数=S(7)：1010101,1011011,1101011,1101101，有 4 种。
项数=S(8)：10101011,10101101,10110101,11010101,11011011，有 5 种。
项数=S(9)：...........有 3+4=7 种。
我们注意到：每一个S(n)，都由 10+S(n-2) 与 110+S(n-3) 组成。
也就是说：S(n)=S(n-2)+S(n-3)。这串数是这样的：
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114,
151, 200, 265, 351, 465, 616, 816, 1081, 1432, 1897, 2513, 3329,
4410, 5842, 7739, 10252, 13581, 17991, 23833, 31572, 41824, 55405,
73396, 97229, 128801, 170625, 226030, 299426, 396655, 525456, ........

王守恩

王守恩 发表于 2019-5-3 12:38
由 0,1 组成，项数 25，首末是 0，无连续两项为 0，无连续三项为 1 的数列共有几种？
题目等同：由 0,1 组 ...

由 0,1 组成，项数 25，首末是 0，无连续两项为 0，无连续三项为 1 的数列共有几种？
题目归纳到 “爬楼梯” 类型： 24 阶楼梯，每次可走 2 阶或 3 阶，共有几种走法？
阶数太大，先从 “1” 开始找规律。
阶数=S(1)：0，有 0 种。
阶数=S(2)：2，有 1 种。
阶数=S(3)：3，有 1 种。
阶数=S(4)：2+2，有 1 种。
阶数=S(5)：2+3,3+2，有 2 种。
阶数=S(6)：2+2+2,3+3，有 2 种。
阶数=S(7)：2+2+3,2+3+2,3+2+2，有 3 种。
阶数=S(8)：2+2+2+2,2+3+3,3+2+3,3+3+2，有 4 种。
阶数=S(9)：2+2+2+3,2+2+3+2,2+3+2+2,3+2+2+2,3+3+3，有 5 种。
我们注意到：每一个S(n)，都由 2+S(n-2) 与 3+S(n-3) 组成。
也就是说：S(n)=S(n-2)+S(n-3)。这串数是这样的：
0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114,
151, 200, 265, 351, 465, 616, 816, 1081, 1432, 1897, 2513, 3329,
4410, 5842, 7739, 10252, 13581, 17991, 23833, 31572, 41824, 55405,
73396, 97229, 128801, 170625, 226030, 299426, 396655, 525456, ........

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。下面是此题的详细解答过程：