[原创]在球面上勾股定理也成立！

非欧几何

[这个贴子最后由非欧几何在 2011/11/14 09:21pm 第 7 次编辑]

如图所示，在球面上，圆AB、BC为小圆，圆AC为大圆，圆AB与BC、BC与AC、AC与AB都只有一个交点，三个圆的法线（法线：垂直于圆所在的平面，且通过圆心的直线）皆在同一平面M内。
由于圆AB、BC、AC的法线皆在平面M内，且皆通过球心，则球心也在平面M内，所以平面M一定是大圆平面。设这个大圆为D。
由于法线皆垂直于圆，所以圆AB、BC、AC皆垂直于平面M。所以，圆AB、BC、AC都各自与平面M有两个交点。
由于圆AB、BC、AC上任意一点都在球面上，且与球心的距离都是半径，所以，圆AB、BC、AC与平面M的交点一定在大圆D上。
设圆AB与BC的交点为B、圆BC与AC的交点为C、圆AC与AB的交点为A，用直线连接A、B、C这三点，可以得到平面三角形ABC，根据以直径上的圆周角为直角的定理，三角形ABC一定为直角三角形。
所以直角三角形ABC三边的关系是：
（AB）^2+（BC）^2=（AC）^2（1）
球面角的大小是由两面角的大小决定的，所以，球面三角形ABC也显然为直角三角形。
由于平面直角三角形ABC的边长与π的积的一半为球面直角三角形ABC的对应边的边长（弧长），所以：
（弧AB）^2+（弧BC）^2=（弧AC）^2
也就是说，勾股定理在球面直角三角形中也是成立的。
经过简单证明可知，在球面上的局部的直角三角形中勾股定理都是成立的。

非欧几何

[这个贴子最后由非欧几何在 2011/11/14 10:21pm 第 2 次编辑]

下面引用由非欧几何在 2011/11/07 09:39pm 发表的内容：
(水印部分不能引用)

球面上的正弦定理
如图，黄圆与红圆、黄圆与蓝圆、红圆与蓝圆都只有一个交点，它们的直径构成三角形，且符合正弦定理；因半径与π乘为半个周长，故在球面三角形A’B’C’上，正弦定理也成立。又因绿圆平行于红圆、紫圆平行于黄圆、蓝圆平行于蓝圆，故三角形EFG与三角形A’B’C’相似，所以在三角形EFG中正弦定理也成立。
前提，所有圆的法线皆在一个平面内。

非欧几何

[这个贴子最后由非欧几何在 2011/11/14 10:23pm 第 2 次编辑]

球面上的相似三角形
#非欧几何#所谓的相似三角形就是对应边平行的三角形。如图所示，在球面上，我们用JH、FG、互相平行的KL与MP平面切割球，得到三角形ABC和DBE，由于直线BD平行于BA（重合），BE平行于BC（重合），DE平行于AC，所以三角形ABC和三角形BDC相似。
前提，所有圆的法线皆在一个平面内。

非欧几何

球面上的切线割线定理：圆外一点P引圆的割线PB和切线PT，那么PT的平方等于PA与PB的积。只是容易证明的。约束条件是球面三角形的内角和必须等于180。或者说其在同一方向的正摄影必须为直线或者为圆。

denglongshan

很精彩的结论。

非欧几何

下面引用由denglongshan在 2011/11/08 10:44pm 发表的内容：
很精彩的结论。

谢谢你的肯定。

非欧几何

球面上的直线
定义：球面上的圆（大圆及小圆）都是球面上的直线。
大圆是球面上的直线，但球面上的直线并不是只有大圆。球面上任意小圆都是直线。
因为无论是大圆还是小圆都可以视为平面截球面的交线。由于是平面截的的，所以再其平面的垂直方向上，无论是大圆还是小圆都是不弯曲的。
在实际生活中也是如此，如果我们在纬线上一直向东运动，那么我们没有理由认为这不是直线运动。如同如果我们在赤道上一直向东运动，我们也没有理由不认为我们不是在直线运动一样。
都说过平面上过两点的直线只有一条，其实不然，在平面上过两点的直线也有无数条，只是所有的直线都重合在一起，所以看起来只有一条了。在球面上，过两点的直线不是只有一条，而是由无数条，比如过对径点的大圆就有无数条，过极点的经线也有无数条。

非欧几何

在球面上，过直线外一点可以画无数条直线与这条直线垂直

非欧几何

如图所示，在球面上，蓝圆及红圆皆为球面上的圆（大圆或小圆），绿圆为大圆（且蓝圆及红圆在绿圆平面上的正射影皆为直线）。AH为蓝圆的直径，CG为红圆的直径。显然，角ABC的大小等于球面角的大小，因为，平行于蓝圆的大圆与平行于红圆的大圆所形成的两面角等于ABC（平行则同位角相等，按照球面角的定义，球面角的大小等于两个大圆围成的两面角的大小）。由于，角ABC=角ADC,角GBH=角GDH，且角ADC=角GDH，所以角ABC=角GBH。在球面上对顶角也是相等的。
球面的角的定义应该是球面上两个圆所形成的两面角为球面角。

非欧几何

球面上直线与直线的关系
如图所示，在球面上直线与直线的关系：1、平行的关系，红色直线与蓝色直线之间就是平行的关系（重合的关系是平行的关系的一种，重合不等于相交，例如蓝色直线自身与自身的关系就是）；2、相交的关系，绿色直线与蓝色直线之间的关系就是相交的关系；3、不相交也不平行的关系，黄色直线与蓝色直线之间就是不相交也不平行的关系。所以在球面上，不相交不等于就是平行的，这与平面上的情形是不同的。以往的非欧几何认为不相交就是平行，这是不对的，这是照搬了平面经验的结果。如果我们仅仅考察大圆这样的球面上的直线，那么我们会发现，大圆与大圆之间总是相交的。所以在这种情形下，大圆只存在自身与自身的平行。当然，大圆之间也不存在不相交也不平行的关系。