贝克莱挑战与经典分析

elim

下式的第一个错误在哪里？


下式有没有错误或矛盾?

Ysu2008

从潜无穷观来说，Δx 是一个变量，不是某个特定的值 。Δx 只是一个以 0 为极限的变量，Δx 从未等于 0，也不会等于 0，做除数没有任何问题。最后 Δx 为啥又消失了呢？取极限后 Δx 就消失了。

贝主教觉得有问题，是因为牛顿时代还没有基于潜无穷观的极限论，潜无穷极限论是从柯西开始建立起来的。
牛顿的观念还是实无穷的，对这个问题说不清楚，还有点晕，贝主教当然就更晕了。

Ysu2008

据说贝克莱主教后来整明白了，成为微积分的坚定支持者。

awei

我个人理解在无穷的世界里，好像面对面的两个人，中间站着一位女士，有限看的是屁股，无限看的是脸，都要夸小姐姐长得漂亮，不然两个人彼此站都很恶心。因为你喜不喜欢她都站在那里。

elim

在贝克莱时期，人们大量使用无穷小这一“概念”。贝克莱指出这一“概念”本身就没有办法形式化，没有办法保持逻辑的一致性要求。它更像一个精灵，不讲逻辑但替天行道。为了揭开微积分的神秘面纱，柯西，维尔斯特利拉斯，皮亚诺，黎曼，戴德金，康托等数学家们建立了经典微积分。把时间，无穷小彻底逐出了数学。使得包括微积分的整个数学再次建筑在欧氏几何一般的公理系统的基础上。

在经典分析中，上面贝克莱式子的第一个等号就是错的：函数的导数不是差商而是差商的极限。极限不是“过程”的“终点”，而是一个拓扑概念：自变量极限点的各邻域的函数像的共同聚点。极限的通常定义与之等价。由公理定理演绎得到的有关全称判断是需要的。但论证本身并不涉及无穷操作。

jzkyllcjl, 谢芝灵等人完全没有数学教养的自以为是，对现行数学毫无益处，也无法建立有用自洽的新系统。

awei

近代科技发展让人类的野心膨胀，对于大自然的敬畏之心在慢慢消失，相对于地球来说，人类整个发展史也不过弹指一挥间，想用有限的思维和语言，来阐述无限的宇宙，本身就是不科学的。数学对于极限的认识，千万不要抱着绝对必胜的心态，几千年后的人一定也会为此头疼，有时候真理是一种沉默

awei

为什么人们允许微积分中的无穷小存在，是牛顿厉害吗，不！是因为微积分能应用到实际当中，一个饿着的人是不会在乎苹果脏不脏的，没有用处的无穷小理论，能被人枕在头下已经是走运了。
从整个数学史看，人类从对有无，大小认识，到自然数，整数，有理数，无理数，虚数，复数，经历了从具体到抽象，几何，方程，函数，三角，对数，微积分，等等，唯一能人耳目一新的数学唯抽象代数，抽象代数的教材一个个看起来都单调乏味，本来很好的理论没有好好推广好可惜，抽代连皮带毛或许只有二百年历史，真正开始有百年，一个有限单群分类一百多数学家一万多页证明，更不要说无限群环域里的结构了。老师对于无穷小的争论，抽代以后应该能解决吧，我个人看好那个东东，

elim

经典分析的极限概念，就像几何原本中的一些基本概念一样，是直觉世界的抽象化，严格化。这样的东西一旦建立，就不会淘汰，如果它不够用，就会像非欧几何的产生一样，产生新的数学系统。

本质上说，不论数学的渊源是什么，数学系统是独立于物质世界的。它作为并将永远作为一套严格的推演工具参与应用，而不是现实世界的替代品。

无穷小，永无止息的过程等等“术语”将继续存在于数学社会，就好象不论语言文明，法律陈述如何发达，俚语荤话国骂也还是在那里的。但已经不登大雅之堂，不能作为合法的数学推演论证元素存在了。

人类文明的堕落只存在于人文学科和工程，绝不会传染到数学和科学。