四色猜测的证明很简单

雷明85639720

四色猜测的证明很简单
雷  明
(二○一九年五月十一日)

1、把无限的问题转化为有限的问题
平面图的种类是无穷的，也就是说平面图有无限多个。要对这些图一个个的进行4—着色是绝对不可能的，所以说用着色的办法证明四色猜测是不可能的。
对一个平面图4—着色时，把只剩最后一个顶点未着色的图叫做构形。把未着色的顶点叫做待着色顶点，把与待着色顶点相邻并依次也相邻的顶点叫叫围栏顶点。那么一个构形的围栏顶点数也可以是无限多的，则构形也就有无限多个。也是不可以把无限多的构形着色完毕的。
图论中可以证明任何平面图中都不可避免的一定存在着度为小于等于5的顶点，顶点度全都大于等于六的平面图是不存在的。这就为证明四色猜测打下了基础。这样我们在着色时，就可以把待着色顶点放在度小于待于5的顶点上。把无限多的构形转化成只有五种有限的不可免构形了。
这就把一个无限的问题转化成了有限的问题了。
2、K—构形与H—构形
在平面图的五种不可免构形中，围栏顶点数小于等于3的构形，或者围栏顶点所占用的颜色数少于四种时，待着色顶点着上第四种颜色都是没有问题的。但围栏顶点数大于等于4或围栏顶点所占用的颜色数等于四时，该如何着色呢？
首先谈一下坎泊在1879年创造的颜色交换技术。把用两种颜色交替着色的序列叫做色链，简称链。交换链中的两种颜色，可以达到改变链中任何一个顶点颜色的目的。这就是坎泊的颜色交换技术。若构形的对角围栏顶点的颜色所构成的链是不连通的时，从任一个对角顶点开始使用坎泊的颜色交换技术，就可以达到改变该围栏顶点颜色的目的，而从围栏顶点中空出一种颜色，给待着色顶点着上。这个构形的4—着色问题就解决了。注意，连通链是不能使用这种交换技术的。
把用这种办法能够空出任何一种颜色给待着色顶点的4—轮构形（待着色顶点的度是几，就叫几轮构形）和5—轮构形，叫做K—构形，因为这些构形是坎泊在1879年早已证明了是可4—着色的构形。而把不能用这种办法空出任何一种颜色给待着色顶点的5—轮构形，叫做H—构形，因为这种构形是被坎泊证明所遗漏了的，而是在1890年由赫渥特构造出来的图中所具有的特征的构形。
3、赫渥特图的可4—着色
赫渥特图与K—构形的不同，主要是其中不但有不可进行交换的A—C链和A—D链，并且该项两链在中途又相交叉，使得从任何一个B交换了与其对角顶点构成的色链后，又生成了从另一个B色顶点到其对角顶点的连通链，从而不能连续的移去两个同色B。
该图（构形）构造出来后，当时的坎泊和赫渥特都不能对其进行4—着色，在以后的整整一百年里，也没有人能对该图进行4—着色。由于赫渥特图中有一条通过围栏两个顶点的C—D环形链，交换该链内、外的任一条相反链A—B，就可使连通的A—C链和A—D链断开，使构形变成K—构形而可4—着色。在1990年前后，雷明与董德周分别用此办法在赫渥特原着色的基础上对赫渥特图都进行了可4—着色。英国的米勒等也用连续转型的交换方法，在赫渥特原着色的基础上对该图进行了可4—着色。还有许寿椿等也用自已所编写的算法，用计算机对未着色的赫渥特裸图进行了4—着色。这都说明了赫渥特图是一个可以4—着色的图（构形），而不是不可4—着色的。
4、H—构形的不可免集
H—构形中由于A—C链和A—D链都是连通的，不能交换，也不能空出A，C，D三色之一，B—C链和B—D链又不可连续交换，所以也空不出两个B。现在可以交换的链就只有A—B链和C—D链了。这两种链在构形中只有三类存在的可能，一类是含有一条经过了三个围栏顶点的A—B环形链的，一类是含有一条经过了两个围栏顶点的C—D环形链的，第三类是两种链都不是环形的。除此三种类外，就再也没有别的情况了。当然也有两种环形链都有的情况，但它却分别属于“含有一条经过了三个围栏顶点的A—B环形链的”和“含有一条经过了两个围栏顶点的C—D环形链的”两种，不是一类单独的类别。这就是由三类不可避免的H—构形构成的H—构形的不可免集。
5、H—构形的可4—着色
含有一条经过了三个围栏顶点的A—B环形链的H—构形，可交换A—B环外的一条C—D链，一定会使连通的A—C链和A—D链断开，构形变成K—构形而可4—着色。因为该C—D链中一定含有A—C链和A—D链中的末端顶点。
含有一条经过了两个围栏顶点的C—D环形链的H—构形，可交换C—D环外的一条链A—B，也一定会使连通的A—C链和A—D链断开，构形变成K—构形而可4—着色。因为该A—B链中一定含有A—C链和A—D链的共同起点。
两种环形链都没有的H—构形，只能进行连续的转型交换了，使构形不断的转型，再寻机进行解决。那么，连续转型多少次才能结束呢？可以肯定的回答，一定是小于等于二十次的，决不会大于二十次。因为5—轮构形有5个围栏顶点，围栏顶点占用了4种颜色，5和4的最小公倍数是20，所以连续转型交换每二十次是一个周期，构形各顶点的颜色又回到连续转型前的初始状态，始终不可能空出颜色给待着色顶点。有没有这样的连续转型始终空不出颜色的构形呢？也有。敢峰先生的终极图就是一例。这能不能说明四色猜测就不正确呢？不能。因为这个图中有一条环形的且经过了三个围栏顶点的A—B链，是可以空出颜色来的,同样是可4—着色的。两种环形链都没有的H—构形中有没有不能空出颜色来的构形呢？没有。因为这种情况的构形如果存在，那么在该构形中就必须有两条相反色链的环形链A—B和C—D，但这里的构形中却连一条环形链也没有，所以不可能空不出颜色来。最多二十次转型交换，就一定是可以空出一种颜色来的。
转型交换的次数最多是二十，这是一个有限的数，这就能说明两种环形链都没有的构形，一定是可以4—着色的。这种构形在第二十次转型交换之前，一定是可以空出颜色来给待着色顶点的。
不可免的H—构形都是可4—着色的了，四色猜测也就被证明是正确的了。
6、各类不可免H—构形的代表图
含有一条经过了三个围栏顶点的A—B环形链的H—构形的代表图是敢峰先生的终极图，交换A—B环外的C—D链图就变成K—构形。
含有一条经过了两个围栏顶点的C—D环形链的H—构形的代表图是赫渥特图，交换C—D环外的A—B链图就变成K—构形。
两种环形链都没有的H—构形的代表是张彧典先生的第八构形，无论从对子个方向进行一次转型交换后，图就都可变成可4—着色的构形了。
可以看出，赫渥特图只是H—构形中的一种类型，并不能代表所有的H—构形。所以说，坎泊的证明中不只是遗漏了赫渥特图一类的H—构形，还遗漏了敢峰终极图和张彧典先生的第八构形的两类H—构形的图。可见赫渥特还是没有全部发现坎泊证明中的漏洞。现在有了H—构形的不可免集，而且是完备的，所以才可以说坎泊证明中的漏洞才被发现完了。四色猜测才真正被除数证明是正确的了。

雷  明
二○一九年五月十一日于长安

注：此文已于二○一九年五月十二日在《中国博士网》上发表地，网址是：

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