A,B,C,D,E 有五顶帽子，A 任取一顶，另四人自己帽子被取走才取别人帽子，有几种取法？

wintex

A,B,C,D,E 有五顶帽子，A 任取一顶，另四人自己帽子被取走才取别人帽子，有几种取法？

awei

从A开始，如果都带的是自己帽子游戏停止，{A,B,C,D,E}用{1,2,3,4,5}来代替相当于求对称群S5中，含有1并且只有一个轮换的置换有多少种，我大概数了一下63种，不知道16种是怎么来的

awei

可能题意理解错误了吧

wintex

想請問

王守恩

谢谢 wintex！这是一道好的题目：有启发，催人联想。
做此类题最好的方法就是从简单想起：
1，2，3，4，...，规律自动就来了！如果4个还找不出规律，
那就从头来过！ 1，2，3，4，...，我信任您：
您会跟边上的人说，已经把6，7，8，9，...规律都找出来了！
  1 顶帽子，1 种取法
A
  2 顶帽子，2 种取法
AB
BA
  3 顶帽子，4 种取法
ABC
BAC
BCA
CBA
  4 顶帽子，8 种取法
ABCD
BACD
BCAD
BCDA
BDCA
CBAD
CBDA
DBCA
  5 顶帽子，16 种取法
ABCDE
BACDE
BCADE
BCDAE
BCDEA
BCEDA
BDCAE
BDCEA
BECDA
CBADE
CBDAE
CBDEA
CBEDA
DBCAE
DBCEA
EBCDA

luyuanhong

楼上 王守恩 的解答很好！已收藏。

王守恩

awei 发表于 2019-5-22 14:12
没看懂题意要的是都带对帽子游戏停止的意思，错排？环排？我个人理解题出的不是很有水平，我竟然数成19 ...

你不能一下子就去想 5 顶帽子，先把 1，2，3，.....想清楚。
我的 1，2，3，......有问题吗？
  1 顶帽子，就 A 有 1 顶帽子
A
  2 顶帽子，AB有 2 顶帽子，A先取(A有2种取法)
AB
BA
  3 顶帽子，ABC有 3 顶帽子，A先取(A有3种取法)，
B第2个取(B有2种取法：必须先取B，没有B才可以取A或C)
C最后取(只有1种取法)
ABC
BAC
BCA
CBA
4 顶帽子，ABCD有 4 顶帽子，A先取(A有4种取法)，
B第2个取(B有2种取法：必须先取B，没有B才可以取A或C,D),
C第3个取(C有2种取法：必须先取C，没有C才可以取A或D)
D最后取(只有1种取法，啰嗦一句，最后一个的帽子只有2种可能：A或自己的)
ABCD
BACD
BCAD
BCDA
BDCA
CBAD
CBDA
DBCA
5 顶帽子，ABCDE有 5 顶帽子，A先取(A有5种取法)，
B第2个取(B有2种取法：必须先取B，没有B才可以取A或C,D,E),
C第3个取(C有2种取法：必须先取C，没有C才可以取A或D,E)
D第4个取(D有2种取法：必须先取D，没有D才可以取A或,E)
E最后取(只有1种取法，啰嗦一句，最后一个的帽子只有2种可能：A或自己的)

awei

王守恩 发表于 2019-5-22 06:39
你不能一下子就去想 5 顶帽子，先把 1，2，3，.....想清楚。
我的 1，2，3，......有问题吗？
  1 顶 ...

就拿你3种帽子的来说吧A→B→C→A    ，B→C→A→B就是一个轮换，后边的我就不说
如果题意识要求这样的话，是求对称群里的只有一个轮换置换，并且这个轮换必须是全排列。

awei

王守恩 发表于 2019-5-22 06:39
你不能一下子就去想 5 顶帽子，先把 1，2，3，.....想清楚。
我的 1，2，3，......有问题吗？
  1 顶 ...

两顶帽子只有1种取法吧，A只能取B的B只能取A的

awei

王守恩 发表于 2019-5-22 06:39
你不能一下子就去想 5 顶帽子，先把 1，2，3，.....想清楚。
我的 1，2，3，......有问题吗？
  1 顶 ...

如果n顶帽子就有(n-1)的阶乘个，奇怪了哪里出错了，总之你的是错的
In[57]:=         p=7;Map[Length,Table[d;f[x_]=GroupElements[SymmetricGroup[d]];circularPermutationQ[perm_?PermutationCyclesQ,n_]:=Length@First[perm]===1&&Length@First@First[perm]===n;
DeleteCases[Table[If[circularPermutationQ[f[x_][[t]],d],f[x_][[t]],0],{t,1,d!}],0],{d,1,p}]]
Out[57]= {0,1,2,6,24,120,720}