关于勾股数的解法问题，请大家指正

bardo

关于勾股数的解法问题，庄严在这方面的研究非常好。但是，就目前我能查到的资料看，所有勾股数的求法，均不能解决勾股数的所有问题。

勾股数的解法问题，根据x^2+y^2=z^2这一算式，可以归结为几类：

第一类：在不确定x,y,z三个数时，搜索到基本符合大小的勾股数。
对于这个问题，我们可以用勾股数的通解公式，
x=(a^2-b^2)^2,y=2ab,z=(a^2+b^2)^2 得到。

第二类：己知x或y，求其平凡解。
这里称其为平凡解，这是因为，与此对应的仍有非平凡解。
因为x^2+y^2=z^2，如果己知x且x为奇数，则：
我们有，x^2=z^2-y^2
则z=(x+1)/2  y=(x-1)/2
显然，己知y与上同理。对于这一问题，陆教授也发表过贴子。这里不多说；详细查看
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3950
平凡解还可以总结为以下两个算法：
求法一、当x＝2n+1，y=2n^2+2n, z=2n^2+2n+1（n为正整数），以x,y,z为三边的三角是直角三角形。
证明：z^2-y^2
         =(2n^2+2n+1)^2-(2n^2+2n)^2
        =(2n^2+2n+1+2n^2+2n)(2n^2+2n+1-2n^2-2n)
        =4n^2+4n+1
        =(2n+1)^2
        =x^2
所以以x,y,z为三边的三角是直角三角形。
例如：n=1时(x,y,z)=(3,4,5)
n=2时(x,y,z)=(5,12,13)
n=3时(x,y,z)=(7,24,25)

求法二、当x＝2n，y=n^2-1, z=n^2+1(n为大于1的正整数)，以x,y,z为三边的三角是直角三角形
证明：z^2-y^2
         =(n^2+1)^2-(n^2-1)^2
        =(n^2+1+n^2-1)(n^2+1-n^2+1)
        =4n^2
        =(2n)^2
        =x^2
例如：n=3时(x,y,z)=(6,8,10)
n=4时(x,y,z)=(8,15,17)
n=5时(x,y,z)=(10,24,26)
n=6时(x,y,z)=(12,35,37) ... ...
但这种特解常常并不是我们期望的解。所以，我们需要求其非平凡解。

第三类：己知x或y，求其非平凡解。
这一类解法，最有价值的，是庆严给出的解法，深表钦佩。这里不细说。具体，可以参看他在本论坛发表的论文。http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1495
另一方面，我们在文中也可以看出，此文实际包含了第二类命题的己知等式左一值偶数平凡解与己知等式左一值偶数奇数平凡解。而非平凡解则是借助分解合数来完成的。
所以，他的解法，仍有限制。那就是，如果遇到超大整数，则此算法将毫无用武之地。
其实，第三类问题非平凡解的求法，才是最有价值的。实际上也是最为困难的。
因为，它是二元二次不定方程中的一个特型方程：
x^2+4y^2=z^2
求出其非平凡解，才能解出方程的所有整数解。这才是它的价值所在。