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解
因为 (1) n(n+1)(2n+1)/6=m²
因此 左边=【n/6*(n+1)(2n+1)】=（ABC)²
所以 (2) n/6=A²,即 n=6A²
(3) n+1=6A²+1=B²
(4) 2n+1=12A²+1=C²
由(3)得 5) A²=(B²-1)/6
由(4)得6) A²=(C²-1)/12
因此：
(B²-1)/6 A²
(7)----------=---
(C²-1)/12 A²
即： (8) 2（B²-1）=C²-1, 因为 C﹥B,所以假设 B+k=C
则得： (9) B²-2kB-5=0
解方程(9) 得： ______
2K±√4K²+20
(10) B=-------------
2
由题意之(11) 4K²+20=J²,原方程(1)有整数解。
________
所以J=√(2K)²+20 =√L²=L.
以下您给出证明 只有 K=2,(2K)²+20是完全平方数，而K﹥2，没有完全平方数即可。
谢谢！
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发表于 2011-11-17 21:36
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