面对无穷集合直觉为什么会出错

phlsphr

直觉上，偶数只有自然数的一半，自然数比偶数多，但按照一一对应的原则，偶数和自然数一样多，因为两者之间可以建立一一对应关系：1-2,2-4,3-6,...,n-2n,...。
认为偶数只有自然数的一半，这蕴含着一个假设，也就是自然数按"1,2,3,...,n,n+1,..."的方式排列。如果自然数按"1,3,2,5,7,4,...,2n-1,2n+1,n+1,..."的方式排列，我们也可以说偶数是自然数的1/3，是奇数的1/2。在这样的排列下，看上去不仅自然数比偶数多，奇数也比偶数多。自然数的排列方式无穷无尽，我们可以使偶数在自然数中的比例为介于0与1之间的任意实数值。
偶数在自然数中的比例，取决于自然数的排列方式，和偶数的个数无关。直觉的局限性，片面性在这里暴露无遗。

任在深

请看它们是一一对应的，所以是一样多！

  n"=1".2".3"......
2n"=2".4".6"......
如图：
         1.AB=BC=CD=DA=√2n，
         2.ab=bc=cd=da=√n,
因为：
        3.S(ABCD)=(√2n)^2=2n"
        4.S(abcd)=(√n)^2=n",  n=1.2.3.....
所以：
       5.S(ABCD)=2",4",6"......
       6.S(abcd)= 1",2",3"......
因此：偶和数和自然数一样多！

elim

支持楼主。无穷集合是超越直觉的数学对象。

天元酱菜院

(1) “1,3,2,5,7,4,9,11,6....”的通项以  2n,4n+1,4n+3  表示(或 4n-3,4n-1,2n 表示)为好。

(2) 楼主想表达的意思是对的，但行文语言上问题不少。例如：【我们也可以说偶数是自然数的1/3】，这就给人造成你在表述一些论断的感觉。 建议楼主在行文中予以避免。

例如，可以这样叙述： 自然数不同排列方式造成了不同的自然数序列N(m)，可以选择某种排列方式使N(m)的足够多有限项中，偶数占比为(0,1)中的任何有理数值。

(3) 介于0与1之间的任意有理数（不要提实数）为好。因为其来源是某种有限比。

elim

集合论之所以是数学的基础，是因为它是概念的外延的数学存在方式. 数学概念的明晰性确定性决定了集合不是自我完善过程中的东西，所以对应于非有限外延的概念的集合是实无穷集合，不存在“潜无穷集合”。

任何对有限集合计数方式的推广必须满足一一对应原则，而后者由于康托-伯恩斯坦定理及选择公理又确定了一种普适的集合计数：基数. 所以基数是唯一合理的集合计数.

所以直觉主义者对实无穷的“批判”是毫无道理的。直觉主义者可以贯彻他们的有限构造主张，但这种东西不可能有严格的逻辑基础，因为他们没有办法面对无穷集合，而数学概念外延的非有限性又不是可以避免的。所以他的的喃喃自语只能在一个非常平庸的范围内满足他们的‘良心’。惨淡，繁琐地经营近乎空洞的数学。