【讨论】两相邻素数的最大间距

天山草 · 发表于 2011-12-1 19:15

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/02 09:28am 第 3 次编辑]

    两相邻素数的最大间距：可以定义为第 n 个素数 p(n)与第 n-1 个素数 p(n-1)之差，记作 △p(n)=p(n)-p(n-1)。
   几十年以前，曾有人猜想， △p(n) < Log[p(n)]*Log[p(n)]，或者简写为
△p< Log(p)*Log(p)，但是这个式子没有得到证明。不知道这件事情的最新进展是什么。
   本人对于 1500 亿以内的每个素数进行了验证，上式皆正确，没有发现反例。
好像是 1936年有个叫克莱姆的老外用概率方法弄出了这个关系，只是不算严格的证明。所以也不知道对不对。
如果这个关系正确，那比【x 与 2x 之间必有素数】、【 n 平方与 n+1 平方之间必有素数】之类的弱结论要好许多许多了。
[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在时添加 -=-=-=-=-

天山草 · 发表于 2011-12-1 20:07

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/01 08:08pm 第 1 次编辑]

能不能对 △p < Log(p)*Log(p) 再改进一些呢？即使能，似乎也没有多少“油水”可挤了。因为上式右边是 Log(p) 的 2 次方，若改成 1.88 次方，就会出现反例：
     p(n)           p(n-1)             △p     Log[p(n)] 的 1.88 次方
------------------------------------------------------------------------
 20831533          20831323            210       202.350219880736
 436273291         436273009           282       276.432130306666

天山草 · 发表于 2011-12-2 09:01

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/03 01:48pm 第 4 次编辑]

那改成 Log(p) 的 1.92 次方，如何？
结果在 200 亿以内都没有问题，但是在 250 亿处出现了一个反例：
    p(n)           p(n-1)             △p     Log[p(n)] 的 1.92 次方
------------------------------------------------------------------------
 25056082543     25056082087          456     444.703953107173

ysr · 发表于 2011-12-2 09:38

这方面国人有没有研究呢,如熊一兵先生?

熊一兵 · 发表于 2011-12-2 14:44

下面引用由ysr在 2011/12/02 09:38am 发表的内容：
这方面国人有没有研究呢,如熊一兵先生?

《概率素数论》中有个相邻素数的最大间距定理：N附近自然数相邻素数的最大间距，约为N的自然对数的平方

天山草 · 发表于 2011-12-2 16:13

下面引用由熊一兵在 2011/12/02 02:44pm 发表的内容：
《概率素数论》中有个相邻素数的最大间距定理：N附近自然数相邻素数的最大间距，约为N的自然对数的平方

这跟克莱姆说的是一个意思。

天山草 · 发表于 2011-12-2 17:57

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/02 06:03pm 第 2 次编辑]

看到大傻8888888在 2009年8月9日发布的一个帖子，是这样说的：
   “根据素数定理，知道素数的平均间隔为lnx。而在实际中最小间隔为2，所以比较大的间隔必定大于lnx，这样在一个间隔大于lnx的长度里，出现素数的情况仍然是lnx，这时由于要求这个间隔中没有素数，所以这个间隔中出现素数的情况实际上是和某个素数倍数对应的合数。所以在一个间隔大于lnx的长度里，出现合数的情况也是lnx，[color=#DC143C]这样出现的间隔数值应该是lnx*lnx。只是不能确定这个值是不是最大间隔。有一点可以确定这个值比前面讨论的2Pm和Pa-1的值在x充分大时要小得多。如x=65659970时它的lnx*lnx约等于324，2Pm=2*8093=16186，Pa-1=8110。”

天山草 · 发表于 2011-12-2 18:08

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/02 06:14pm 第 1 次编辑]

期望能找到一个素数 p，它与相邻素数的差值大于 lnp*lnp。
如果能证明不可能找到，那相邻素数的最大间距就可以用 lnp*lnp 来估计了。

熊一兵 · 发表于 2011-12-3 14:40

下面引用由天山草在 2011/12/02 04:13pm 发表的内容：
这跟克莱姆说的是一个意思。

亦同亦异：内容同，来源异：他是猜想，我是证明

trx · 发表于 2011-12-3 15:55

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