x=5 ，求二项展开式 (1+x)^15=Σ(k=0,15)C(15,k)x^k 中最大项的 k

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

王守恩

求(1+5)^15展开式中的最大项。
1，(1+15)^15展开式共有16项。每项有A×B两个数相乘。
A依次是5^0，5^1，5^2，5^3，5^4，5^5，......5^12，5^13，5^14，5^15。
B的前8项与B的后8项相同，这8项依次是：
15!/(15!0!)，15!/(14!1!)，15!/(13!2!)，15!/(12!3!)，15!/(11!4!)，15!/(10!5!)，15!/(9!6!)，15!/(8!7!)，
2，观察可知，最大项应该从后面往前找。
观察A。每两项依次相除：5^15/5^14=5，5^14/5^13=5，5^13/5^12=5，5^13/5^12=5，........
观察B。分子相同，分母每两项依次相除：
(15!0!)/(14!1!)=15，(14!1!)/(13!2!)=7，(13!2!)/(12!3!)=4.3333，(12!3!)/(11!14!)=3，.........
3，比较大小：15/5，7/5，4.3/5，3/5，.......
可知倒数第3项：5^13×15!/(13!2!)，即第14项有最大值。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。