[趣味数学]数论小题欢迎来玩

ysr

一间屋子有很多桌子，
3人一桌，还剩1人，
5人一桌，还剩1人，
7人一桌，还剩1人，
9人一桌，还剩1人，
11人一桌，正好，问共有多少人？

simpley

应该是最少有多少人

chaoshikong

3人一桌和9人一桌重复了，所以可以去掉3人的这一条！

ysr

可以这样，谢谢老朋友们！非常有道理，一般的就是最少有多少人。

ysr

除以3余1则除以9必余1，而除以9余1则除以3不一定余1，故可以去掉3人的这一条，保留也无妨。

天山草@

In[3]:= Solve[{Mod[x, 3] == 1, Mod[x, 5] == 1, Mod[x, 7] == 1,
  Mod[x, 9] == 1, Mod[x, 11] == 0, x < 100000}, {x}, Integers]

Out[3]= {{x->ConditionalExpression[3465 Subscript[c, 1]+946,Subscript[c, 1]\[Element]\[DoubleStruckCapitalZ]\[And]Subscript[c, 1]<=28]}}

最小解是 3465 28 + 946 = 97966。

ysr

谢谢:“天元”及“天山草”二位老师，确实有笔误:
应该是： 除以9余1，则除以3必余1； 除以3余1则除以9不一定余1 。(可能余1或4或7)。

ysr

谢谢:“天元”及“天山草”二位老师，确实有笔误:
应该是： 除以9余1，则除以3必余1； 除以3余1则除以9不一定余1 。(可能余1或4或7)。

ysr

具体的解答可以这样(供参考):
解:由题意知，该数x=5*7*9k+1，则x-1=5*7*9k，据题意知，5*7*9k+1=0(MOD11)，则5*7*9k=10(MOD11)，
由于315MOD11=7，7*3=10(MOD11)，故K=11n+3，n=0，1，2，……
最小的正确答案为3*315+1=946.

ysr

最后一步求乘率的方法也可以这样:
由于7*8=1(MOD11)，故8为逆元，则有315*8*10=10(MOD11)，而80=3(MOD11)，故最小的乘率是3.
则有K=11n+3，n=0，1，2，……