如何计算

shenqk

3125p^6 - 2500p^4 +1200p^2 + (512√5)p + 64 = 0
p = -2√5÷5
3125t^6 - 6400t^2 + (16384√5)t -16384 = 0
t = -4√5÷5

shenqk

这儿都没有人会吗？

天山草

这有何难？“这儿的人”大概没有不会的——
p = -2√5÷5
3125p^6 - 2500p^4 +1200p^2 + (512√5)p + 64 的第一项等于1600，第二项是-1600，第三项是960，第四项与第五项之和是-960，因此这个表达式的值是零。
第二个题类似——前三项之和是 16384，正好与最后一项抵消，所以总值也是零。

luyuanhong

题1  解方程 3125p^6 - 2500p^4 + 1200p^2 + (512√5)p + 64 = 0 。

解  设 p = x/√5 ，则原方程化为
        25x^6 - 100x^4 + 240x^2 + 512x + 64 = 0 。
对它作因式分解，得
        (x + 2)(25x^5 - 50x^4 + 240x + 32) = 0 。
可见有
        x + 2 = 0  或  25x^5 - 50x^4 + 240x + 32 = 0 。
从  x + 2 = 0 可解得
                  x = -2 ，即有 p = -2/√5 = -2√5/5 。
25x^5 - 50x^4 + 240x + 32 = 0 是 5 次方程，只能用数值方法求近似解，可得下列
5 个解：
    x = -0.13326325 ，即有 p = -0.059597137 ，
或 x =  1.9091170 ± 1.0046894 i ，即有  p =  0.85378307 ± 0.44931076 i ，
或 x = -0.84248536 ± 1.1636099 i ，即有  p = -0.37677091 ± 0.52038216 i 。
--------------------------------------------------------------------------------

题2  解方程 3125t^6 - 6400t^2 + (16384√5)t -16384 = 0 。

解  设 t = x/√5 ，则原方程化为
        25x^6 - 1280x^2 + 16384x - 16384 = 0 。
对它作因式分解，得
       (x + 4)(25x^5 - 100x^4 + 400x^3 - 1600x^2 + 5120x - 4096) = 0 。
可见有
        x + 4 = 0  或  25x^5 - 100x^4 + 400x^3 - 1600x^2 + 5120x - 4096 = 0 。
从  x + 4 = 0 可解得
                  x = -4 ，即有 t = -4/√5 = -4√5/5 。
25x^5 - 100x^4 + 400x^3 - 1600x^2 + 5120x - 4096 = 0 是 5 次方程，只能用数值方法
求近似解，可得下列 5 个解：
    x = 1.0903096 ，即有 t = 0.487601293 ，
或 x =  2.6039633 ± 1.9392479 i ，即有  t =  1.1645278 ± 0.86725802 i ，
或 x = -1.1491182 ± 3.5964987 i ，即有  t = -0.51390126 ± 1.6084031 i 。

天山草

噢，原题是要求解方程呀？没看明白。我还以为是数值计算呢。

shenqk

谢谢luyuanhong！
p = -2√5÷5 这个答案是在原资料上有的。
如果没有这个答案，会否考虑 “设 p = x/√5”？
再一次谢谢luyuanhong！

shenqk

下面三道一元六次方程又该如何解呢？
① x^6+100x^4+6000x^2-256000x-40000 = 0
② x^6-1875x^4+671875x^2-3500000x-19140625 = 0
③ x^6-300x^4+54000x^2-230400√5x+1080000 = 0

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/02/05 07:38pm 第 1 次编辑]

第 7 楼的方程 1 左边可以分解出一个因式：
(-10 + x) (4000 + 26000 x + 2000 x^2 + 200 x^3 + 10 x^4 + x^5)
第二个方程左边也能分出一个因式：
(25 + x) (-765625 - 109375 x + 31250 x^2 - 1250 x^3 - 25 x^4 + x^5)
第三个方程嘛，嘿嘿，不好分解呀。
这第三方程：
x^6-300x^4+54000x^2-230400√5x+1080000 = 0 有二个实根是：
x1≈2.98589391298 至2.98589391299
x2≈13.41640786499 至 13.41640786500

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/02/05 10:11pm 第 2 次编辑]

题3  解方程 x^6 - 300x^4 + 54000x^2 - 230400√5x + 1080000 = 0 。

解  设  x=y√5  ，则原方程化为
    125y^6 - 7500y^4 + 270000y^2 - 1152000y + 1080000 = 0 。
对它作因式分解，得
    125(y - 6)(y^5 + 6y^4 - 24y^3 - 144y^2 + 1296y - 1440) = 0 。
可见有
    y - 6 =0 或 y^5 + 6y^4 - 24y^3 - 144y^2 + 1296y - 1440 = 0 。
从  y - 6 = 0 可解得
                  y = 6 ，即有 x = y√5 = 6√5 。
y^5 + 6y^4 - 24y^3 - 144y^2 + 1296y - 1440 = 0 是 5 次方程，只能用数值方法
求近似解，可得下列 5 个解：
    y =  1.3353324 ，即有 x = 2.9858939 ，
或 y =  3.3289195 ± 2.5461902 i ，即有  x =  7.4436903 ± 5.6934543 i ，
或 y = -6.9965857 ± 3.5273770 i ，即有  x = -15.644841 ± 7.8874547 i 。

天山草

原来 13.41640786499 就是 6 倍的根号 5 呀。