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素数通项公式及其三类客观构成形式
中国重庆 退休教师 佘赤求 著 dianhumakesi@163.com
摘要 作者运用自己首创科学周全的研究方法，宏观高瞻远瞩探讨寻找公式成败原因，微观条分缕析前进障碍及其扫除法，迎刃而解课题。
1·1 研究背景：“2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔，即数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式。为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。”一些当代数学家甚至于认为不可能存在这样的公式。
这说明了该问题是数论学顶级难题，素数普遍公式功用价值不可估量。攻克它不仅是了不起的成果，而且必然大大丰富发展数学基础理论。
1.2 研究目的: 寻找到素数通项公式
1·3 研究思路
1· 3·1 宏观战略预判 到哪里寻找素数公式
素数公式要么不存在，不议。要么存在，即其客观实际真容隐蔽了而未被发现。因此必须进行基础理论研究，在自然数客观存在的规律形式、构成、运算法则中去寻找。
自然数相乘、乘方是合数；除法、开方，只有其商、根可能为素数，在其运算中寻找素数，相似于牵着牛找牛，没有功用；多项式和差必然可以合并为两项。因此，只能在两数和差运算中寻找素数公式。除此外，绝对不存在客观以外的理想如意素数公式。
1·3·2 微观战术分析 两数和差全部构成形式、规律及种类
因为素数的构成单一，不可改变，无法解析，所以只能够反向探究合数结构、自然数四则运算。
既然是素数公式=〉它必然是自然数运算形式、数量的表示=〉奇素数是奇数=〉n表自然数，则x=2n+1(或减1)是奇数通项公式，筛除其中全部合数，余下非合数Px=2n+1(或-1)就是奇素数通项公式。
至此，寻找奇素数通项公式的任务，就是解析n的构成种类、形式、规律、和差运算，判定是素数，再还原表示罢了。
1· 4 研究方法：“排列组合科学法”，或曰“分解剖析，聚合复原（客观事物）法”。
Px=2n+或-1可表素数的完善性=〉解析n的全部构成种类、规律、形式、证明2n+1(或减1)表素数的纯粹性，再进行归纳统一=〉2n+1(或减1)=Px为素数的判定定理，再逆向还原等价逆命题即是素数通项公式。
1· 5 主要成果：发现奇素数通项公式
1·6 成果功用价值：基础理论是科学之源泉和种子，没有源泉，江河断流。没有种子，颗粒无收。没有基础理论的突破、发现，就没有科学的进展。
1·6·1 现实功用价值：世界首次发现该公式，顺理成章推导出各类各种素数公式。
1· 6·2 预测应用前景：难以估量。
1· 7 成果评价：课题的难度、定理系作者独创原创首创，证实成果领先世界；现实应用颇广，功用价值巨大，应用前景不可估量。
1·8 成果真假：作者自以为是，因为“解析客观复原客观”的研究方法决定了，结果是客观实际的录像、透视、扫描，也就是客观真相客观真理客观事实。认知失误而否定之可能性小，因为是常识，太简单明白了。利欲熏心的论敌必然无理无据否定扼杀。
是非不由作者也不由论敌一锤定音，拭目以待全世界行家、时间盖棺论定。
关键词 素数 通项 公式 首次 发现
奇素数通项公式 及其三类客观构成形式
§1 研究方略概述
1·1 证明该式的原理、依据
x=2n+(或-）1是客观的奇数通项公式。
排除完上式的合数和1，余下的数全部是素数，即p=2n+(或-)1是客观“按序排列”的“素数通项公式”。
因此，解析n的素因子构成种类、形式，证明p必然是素数，就是客观的奇素数的各种各类判定定理（公式）。p=2n+(或-)1是客观的奇素数的各种各类判定（公式）统一表述。各类各种客观的奇素数“判定公式”的等价逆命题就是客观的各类各种奇素数的“表计公式”。2?+(或-)1=p=2n+(或-)1，能够“按序排列”表计出客观的“奇素数集合”。
总之，p=2?+(或-)1是“素数通项公式”p=2n+(或-)1的“判定公式”的逆向录像式复原表述，是完全合符客观实际“按序排列素数”的“奇素数通项（表计）公式”。
1·2 寻找该式的成败原因
理性认识寻找素数公式成败的主观客观原因，总结经验教训，才有可能运用正确的研究办法，发现两千多年来数学界寻找无果的素数公式。
笔者力图找到素数公式，预先科学分析成败原因，认定未做宏观战略方向、道路、方法、可行性以及微观战役战术条件、困难、手段、可行性研究或失误，是瞎子摸象式寻找素数公式必然失败的主观原因。
不从客观实际出发，凭借愿望想象自然踏破铁鞋无觅处。 未全面认识素数分布排列以及构成形式规律，有待于基础理论突破进展，是寻找不到素数公式的不可抗拒之客观原因。
反之，解析客观现象规律，进行基础理论探索；克服寻找失败的主客观原因；理性预判战略战役战术；正确研究可行性，大功告成，或知难而退。
1·3 发现公式的可行性分析
1·3·1 宏观战略预判 到哪里寻找素数公式
素数公式要么不存在，不议。要么存在，即其客观实际真容隐蔽了而未被发现。因此必须进行基础理论研究，在自然数客观存在的规律、形式、构成、运算法则中去寻找。
自然数相乘、乘方是合数；除法、开方，只有其商、根可能为素数，在其运算中寻找素数，相似于牵着牛找牛，没有功用；多项式和差必然可以合并为两项。因此，只能在两数和差运算中寻找素数公式。除此外，绝对不存在客观以外的理想如意素数公式。
1·3· 2 微观战役战术分析 两数和差构成形式、规律及种类
因为素数的构成单一，不可改变，无法解析，所以只能够反向探究合数结构、自然数四则运算。
既然是素数公式=〉它必然是自然数运算形式、数量的表示=〉奇素数是奇数=〉n表自然数，则x=2n+1(或减1)是奇数通项公式，筛除其中全部合数，余下非合数Px=2n+1(或-1)就是素数通项公式。
至此，寻找奇素数通项公式的任务，就是解析n的构成种类、形式、规律、和差运算，判定是素数，再还原表示罢了。
Px=2n+或-1可表奇素数的完善性=〉解析n的全部构成种类、规律、形式、证明2n+1(或减1)表奇素数的纯粹性，再进行归纳统一=〉2n+1(或减1)=Px为奇素数的判定定理，再逆向还原等价逆命题即是奇素数通项公式。
§2 探寻奇素数通项公式的实践及结果
2·1 概念界定 所谓奇素数通项公式，要满足三个条件：
1、以自然数表计。
2、每个表计结果必是素数。
3、公式能够表计出全部奇素数。
2·2 定义 令Pr、Px、Py表素数,n、r、x、y、k表自然数,且｛n｝=｛1、2、3、4、5···n｝,k ≥Pr， ｛k｝=｛1、2、3、4、5···k｝，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝,√Px≥Py＞Pr。“ |”为整除号，“卜”为不整除号,（因为没有，作者在此文以）“i”为素因子指数任意改变号（简称变幂号）。
2·3 三类客观存在奇素数的判定定理 2n加上或减去1，当n=自然数前k项之积（即k!）,和或差都不被大于k的素数、小于或等于和或差的平方根的素数整除时，必为素数；任意改变k!各项素因子的指数(改记积为k!i，显然k!∈k!i)，定理依然成立；k！空缺若干项（非全部项）时(因为空缺项可以视为改其指数为0，所以依然改记积为k!i)，和或差不被所缺项的素因子整除时，定理依然成立。判定定理的等价逆命题的表计公式即为素数通项公式 :
Px=2n+1=2k!+1=2Pr!i+1 或 Px=2n-1=2k!-1=Pr!i-1 Py卜p 缺项素因子卜Px 时，Px必为素数；Px值集就是奇素数集；当和与差都为素数时，即是孪生素数。
客观实际之2k!+1(或减1）=Px为素数，有，且只有三类形式
一、例如 当n=k!时，由2k!+1(或减1）=Px得：
k=1 2(1×1)+1=3=Px
k=2 2(1×2)+1=5=Px 2(1×2)-1=3=Px (孪生素数）
k=3 2(1×2×3)+1=13=Px
2 (1×2×3)-1=11=Px (孪生素数）
k=4 2(1×2×3×4)-1=47=Px
k=5 2(1×2×3×4×5)+1 =241=Px
2(1×2×3×4×5)-1 =239=Px (孪生素数）
k=6 2(1×2×3×4×5 x6)-1=1439=Px
此类素数构成形式：k!的各素因子指数为1，素因子列不缺项。
二、任意改变例式中k!的各项素因子指数时得：
k=1 2(1×1×1)+1=3 =Px
k=2 2(1×2×2)-1=7=Px
2 (1×2×2×2)+1= 17=Px
2(1×2×2×2×2)-1=31=Px
2(1×2×2×2×2×2)-1=127=Px
k=3 2(1×2×2×3)-1=23 =Px
2（1×2×3×3）+1=37=Px
2(1×2×2×3×3)+1 =73
2(1×2×2×3×3)-1=71=Px (孪生素数）
k=4 2(1×2×2×3×4)+1=97=Px
2(1×2×2×2×3×3×4)+1=577=Px
2(1×2×3×3×3×4)+1=433 =Px
2(1×2×3×3×3×4)-1=431=Px (孪生素数）
k=5 2(1×2×2×3×4×5)-1=479=Px
2(1×2×3×3×4×5)-1=719=Px
2(1×2×3×3×3×4×5)+1=2161=Px
2(1×2×3×4×5×5)+1=1201=Px
k=6 2(1×2×2×3×4×5 ×6)-1=1439 =Px
2(1×2×2×2×3×4×5 ×6)+1=2801=Px
此类素数构成形式：k!的素因子列不缺项，各素因子指数可除开0外随意改变。
三、 当例式中k!i缺2外的项时( 举例恕未指出缺项），得：
k=3 2(1×3)+1=7=Px 2(1×3)-1=5=Px (孪生素数）
2(1×3×3)+1=19=Px
2(1×3×3)-1=17=Px(孪生素数）
2(1×2×2×2)+1=17=Px
2(1×3×3×3)-1=53=Px
k=4 2(1×2×3)+1=13 =Px
2(1×2×3)-1=11=Px (孪生素数）
2(1×2×2×4×4)-1=127=Px 2(1×3×4)-1=23=Px
k=5 2(1×3×5)+1=31=Px
2(1×3×5)-1=29=Px(孪生素数）
2(1×2×3×5)+1=61=Px
2(1×2×3×5)-1=59=Px(孪生素数）
2(1×4×5)+1=41=Px 2(1×2×4×5)-1=79=Px
2(1×3×3×5)-1=89=Px 2(1×4×5×5)-1=199=Px
k=6 2(1×2×3×5×6）+1=181=Px
2(1×3×5×6)-1=179=Px(孪生素数）
2(1×5×5×5)+1=251=Px
2(1×5×6×6)-1=359=Px
非上列例式 k!i缺项举例，依然由2pr!i+1(或减1）=Px得：
k=7 2(1×3×7)+1=43=Px
2(1×3×7)-1=41= Px (孪生素数）
2(17)-1=13=Px 2(1×2×3×7)-1=83=Px
2(1×7×7)-1=97=Px
k=8 2(1×3×8)-1=47=Px 2(1×2×3×8)+1=97=Px
2(1×3×3×4)+1=73=Px
2(1×3×3×4)-1=71=Px(孪生素数）
k=9 2(1×5×9)-1=89 =Px 2(1×7×9)+1=127=Px
2(1×2×5×9)+1=181=Px
2(1×2×5×9)-1=179=Px(孪生素数）
k=10 2(1×3×10)+1=61=Px
2(1×3×10)-1=59=Px (孪生素数）
2(1×3×3×10)+1=181=Px
2(1×3×3×10)-1=179=Px(孪生素数）
k=11 2(1x2x11)-1=43=Px 2(1x3x11)+1=67=Px
2(1x3x3x11)+1=199=Px
2(1x3x3x11)-1=197=Px(孪生素数）
······
k=19 2(1x19)-1=37=Px 2(1x2x5x19)-1=379=Px
2(1x3x19-1)=113=Px 2(1x5x19)+1=191=Px
······
k=97 2(1x97）-1=193=Px 2(1x5x97)+1=971=Px
此类素数构成形式：k!的素因子列缺2外若干项，各素因子指数可随意改变。
2·2·4 证明: 当n=k!时,k!中的合数分解质因数后转化成若干个≤ k的素数积、空缺了该合数项=〉k!=Pr!i
例如 k!=1×2×3×4=Pr!i=1×2×3×2×2 空缺了合数4（这个简单等式代换是合数很重要的构成形式、转化规律。其应用价值非少非小，例如推导各类各种素数公式。）
=〉n=k!+1(或减1)=Pr!i+1(或减1)
=〉Pr|Pr!i、k! 又，Pr卜1=〉Pr卜 Px，已知k≥Pr ， PyPx √Px≥Py＞Pr =〉≤ √Px 的素数都卜Px 。
假定另有＞Py 的素数|Px ，已知Pr≤ k √Px≥Py＞Pr =〉必有一个Pr或 Py|Px 这与Pr卜Px py卜Px 矛盾 =〉假设不能成立，公式成立。
同样可证任意改变k!的素因子指数时，公式依然成立；当k!i缺项时，Px不被缺项素因子整除，公式依然成立。=〉
三类2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）=Px必是素数。
2n+1、 2n-1可以表计奇自然数列、奇素数列，n只有公式中的三类客观存在形式 =〉任意一个素数的构成必是其一=〉 Px的值集就是奇素数集=〉公式能够表计出全部奇素数；每个表计结果都是素数=〉2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）=Px的逆命题Px=2k!+1(或减1）=Pr!i+1（或-1）与它等价，就是奇素数通项公式。它是素数公式之母，包括了所有各类各种特殊素数公式，例如，形似“费马、梅森素数”多如牛毛的代数式，都可视为可表计部分素数的公式。
2·2·5 由是结论，“奇素数通项公式”不仅是旷世发现，解决了千百年来有无素数公式存在、能否找到素数公式的疑问，又剖析认识了全部素数客观存在的规律、形式、种类，发展了数学基础理论。除了它及其子公式外，不存在其它客观不存在的主观想象素数公式。
2·3 相关成果
《恒表素数公式》 《孪生素数公式》
《对偶素数公式》 《三个特殊素数公式》
参考资料 研究该课题者都束手无策，缺可以引用于解决问题的文献。
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发表于 2019-6-2 08:41
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