苹果和箱子的题目,帮忙解决一下,期限 至 04/04/2012

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[这个贴子最后由493323260在 2012/03/31 03:16pm 第 1 次编辑]

自己顶一下! !

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若是2个箱子 不需要一开始它们的数目相同，比如 3，9  下一次是 6，6 下一次是12 0  则 空箱

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/03 08:43am 第 1 次编辑]

看来，不管原来三个箱子中苹果数如何分布，总可以通过移动，使得一个箱子为空。
但是，要证明这一点，似乎很困难。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/04 06:10pm 第 2 次编辑]

当三个箱子中的苹果数为下列情形时，总可以通过移动，使一个箱子为空：
（1）x,x,y ，可变成 0,2x,y ，使一个箱子为空。
（2）x,3x,y ，可变成 2x,2x,y ，就是（1）。
（3）x,2x,x+y ，可变成 2x,2x,y ，就是（1）。
（4）x,x+y,y ，可变成 x,x,2y ，就是（1）。
（5）x,7x,y ，可变成 2x,6x,y ，就是（2）。
（6）x,6x,x+y ，可变成 2x,6x,y ，就是（2）。
（7）5x,3x,y ，可变成 2x,6x,y ，就是（2）。
（8）2x,3x,3x+y ，可变成 2x,6x,y ，就是（2）。
（9）x,3x+y,y ，可变成 x,3x,2y ，就是（2）。
（10）x+y,3x,y ，可变成 x,3x,2y ，就是（2）。
（11）x,5x,2x+y ，可变成 2x,4x,2x+y ，就是（3）。
（12）x,4x,3x+y ，可变成 2x,4x,2x+y ，就是（3）。
（13）3x+y,4x,x+y ，可变成 2x,4x,2x+2y ，就是（3）。
（14）2x,5x+y,x+y ，可变成 2x,4x,2x+2y ，就是（3）。
（15）x,2x+y,x+y ，可变成 2x,2x+y,y ，就是（4）。
（16）2x,x+y,x+3y ，可变成 2x,2x+2y,2y ，就是（4）。
     ……
这样下去，情况越来越多，如果能证明：任何一种苹果的分布，总可以归为其中的一种情况，
那么问题就解决了。

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还有一个有趣的地方是   不管一开始给我们的果数是奇数还是偶数，只要走一步接下来的果数一定有偶数因为是乘以2。
也就是我们 走着走着不可能走到 3的奇数里去
比如 1 3 5  如果不是原始的果数，以后是不可能出现的，因为走到 1 3 5 这个点前一步必须是 xi= 2 x(i-1) 所以一定要有偶数

無言

若三个数为{x，x，y}，则变换1次为{2x，0，y}即可      （1）
设三个数M={a，a+b，a+b+c}
第1次变换必为如下3种：
A1={2a，b，a+b+c}
B1={2a，a+b，b+c}
C1={a，2a+2b，c}
欲A1与M产生循环，必a=b，但此时B1与{x，x，y}同形
欲B1与M产生循环，必a=b+c，但此时A1与{x，x，y}同形
欲C1与M产生循环，必a+b=c，此时
c>a
M={a，c，2c}
A1={2a，c-a，2c}
B1={2a，c，2c-a}
欲A1与M产生循环，必2a=c，此时M={a，2a，4a}，再变换1次B2={2a，2a，3a}与{x，x，y}同形
欲B1与M产生循环，必a=c，但M与{x，x，y}本身同形
所以，
M经过1次变换后，A1.B1.C1或者成立，或者与M互不相同.      （2）
又，
当自然数n= a+(a+b)+(a+b+c)=3a+2b+c确定，构成n为“3个数之和”的数量有限.    （3）
由（1）.（2）.（3）可证结论？

luyuanhong

下面引用由無言在 2012/04/05 09:57am 发表的内容：
若三个数为{x，x，y}，则变换1次为{2x，0，y}即可      （1）
设三个数M={a，a+b，a+b+c}
第1次变换必为如下3种：
A1={2a，b，a+b+c}
...

    楼上無言的想法，是先假设会发生循环，然后证明在循环中必然会出现
{x，x，y} 的情形，而这种情形可以变成 {2x，0，y} ，就可以结束循环，
使一个箱子为空。
    無言的这种想法很好，但是，他在楼上只考虑了两步循环的情形，这是远远不
够的。因为实际上，完全可能出现多步循环的情形，例如：
            {2,3,4}→{4,3,2}→{1,6,2}→{1,4,4}→{2,3,4}
        {4,2,1}→{2,4,1}→{1,4,2}→{1,2,4}→{2,2,3}→{4,2,1}
{1,8,4}→{1,4,8}→{2,4,7}→{4,2,7}→{8,2,3}→{5,2,6}→{5,4,4}→{1,8,4}
                              …………
   必须证明：在这种多步的循环中，也必然会出现 {x，x，y} 的情形，才能算是
一个严格的证明。