请春风晚霞审查

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从文献{5} 可以看到：发现罗素悖论之后，数理逻辑学家提出了ZFC形式语言的公理集合论[5]。2002 年汪芳庭的《数学基础》[6]介绍的就是这个公理体系。在ZFC形式语言的公理集合论是数学基础的指导思想下，文献[5] 根据这个公理体系中空集存在与并集公理，提出自然数的定义是：0:=Φ，1:={Φ}=0∪{0}，2:={0，1}=1∪{1}，……的序列[5]。文献[7]根据康托儿的“一一对应”基数理论，提出了自然数的定义是：1是集合{Φ}的基数，2是集合{Φ，{Φ}}的基数，……序列[7]。但是，这种自然数的定义与自然数的应用差距太大，为此，根据唯物辩证法，笔者提出如下的定义与公理。
定义1：理想自然数（简称为自然数）是忽略了现实集合中各个元素的质的差别与大小差别之后的、从现实集合研究中抽象出来的表达现实存在的集合的元素个数多少的符号（其中，比较特殊的是：0表示的是没有元素的空集合的元素个数）。
公理1：（自然数无穷数列的构造法则及其性质）；①自然数的十进记数法是自然数无穷数列的构造法则；②按照从小到大的顺序，得到下边的数列：
      0，1，2，3，…11,……                  （1）
将这个数列的通项记作n，则得数列{n}的广义极限为符号+∞表示的非正常实数，所以这个数列叫做无穷数列；③这个数列具有永远写不到底性质，所以笔者称这个数列为想象性质的理想数学元素中理想性数列；④数列（1）中不存在无穷大自然数；这个数列中的数都可以被写出；所以笔者称这个数列中的数都是现实数学元素；都是有限自然数；⑤ 由于这个数列在数学理论中的基础性作用，所以笔者称这个数列为基础性质的数列。

非标准分析中的无穷大数存在的推导 不仅违背表达式 （1）的无有穷尽无有终了的性质，而且使用了有争论的选择公理。所以陆教授的论点是错误的。
定义2：若集合满足条件：①元素个数为有限自然数，②集合本身不能作为集合的一个元素，则称这样的集合为正常集合；否则，叫非正常集合。
例1 理想自然数集合的构造过程及其理想性质：由（1）式可以依次做出正常集合的无穷序列
{0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}…… （2）
这个序列（2）的趋向性质的事物可以写作N={0，1，2，3，……n，……}，笔者称N是序列（2）的广义极限性质的想象性质的、无法构作完毕或完成的理想自然数的理想集合。其元素个数为符号+∞表示的非正常实数；,它是序列（2）中的各个正常集合元素个数数列{n+1}广义极限性质的非正常实数, 依照定义2，这个集合为非正常集合。
例2 文献[5]19-20 页讲道:1638 年意大利天文学家伽利略提出的问题：“正整数集合
                       S1= {1, 2, 3，… n，…}
与正整数的平方数集合
                           S2= {1, 4, 9，… n2,…}
的两个集合中，哪一个元素更多一些呢？[5]”。按照笔者的无穷集合是趋向性广义极限事物的意见，这两个集合的元素个数分别为 lim n→∞n=+∞： lim n→∞[√ n]=+∞ 。两者的比为： lim n→∞ n/[√ n]=+∞ 。这说明：全体大于部分，自然数集合的元素个数比其子集合（正整数平方集合）的元素个数多得多。也说明：康托儿使用一一对应法则得到“它们的个数是相等的”[5]（即两者有共同无穷基数 [5]）的无穷集合理论是错误的。
公理2：自然数理想集合不可构造完毕的性质是必须尊重的，在解决生产实际问题时，理想自然数集合需要使用（2）式中的可构成的现实自然数集合替换。但理想自然数集合也是需要提出的理想性数学元素。理想集合与现实集合各有各的用处，两者之间具有相互依存的对立统一性质，任何不尊重事实的片面的说法 都是行不通的。

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陆教授  知道： 非标准分析中“对有限成立的语句，对 无穷大数 也成立 ”的论述， 但忽略了它与实数理论的矛盾。

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陆教授知识渊博，但也有不足之处。对非标准分析的缺点 认识不到。

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陆教授知识渊博，但也有不足之处。对非标准分析的缺点 认识不到。

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1楼给出了自然数及其集合修改概念。给出了伽利略问题的正确解法，保护了全体大于部分的公理，消除了康托尔无穷基数的错误理论。

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请春风晚霞审查1楼的定义1、2 与例一、例二。