求极限 lim(x→0)(e^x-e^sinx)/(x-sinx)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天元酱菜院

当x不为0时， 不论x>0(届时0<sinx<x)  还是x<0 (届时x<sinx<0)，都有 x 不等于 sin x

考虑函数 f(t)=e^t
由拉格朗日中值定理，总会有： ( f(x) -  f(sinx)）/ (x-sinx) =f ' (y) = e^y   
(其中 y介于x与sinx之间,   显然有 |sinx|<|y|<|x| )
当x-->0时， 必有y-->0,  所以，所求极限=e^0 =1

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。