与现有定义不同的另一种平面射影几何

luyuanhong

love-math

想法很好，关键是，在此系统下，能够得到一些什么有意义的结论。当然，最好有一些背景，才能体现这种几何存在的意义，也才能激起人们对它的进一步研究兴趣。

luyuanhong

下面引用由love-math在 2012/05/06 05:41pm 发表的内容：
想法很好，关键是，在此系统下，能够得到一些什么有意义的结论。当然，最好有一些背景，才能体现这种几何存在的意义，也才能激起人们对它的进一步研究兴趣。

其实没有什么，我并不想建立一种与众不同的几何，我只是为了要说明：
除了现有的射影几何，按照现有的定义，一条直线上只有一个无穷远点之外，
还可以定义出另外一种射影几何，按照新的定义，使得一条直线上有两个无穷远点。
也就是为了要说明：-∞＝+∞ 并不总是必然的，而是与射影几何的人为的定义有关。

luyuanhong

love-math

直观的看，这种“不允许延伸到无穷远点之外的情况”似乎就是罗巴切夫斯基几何，或者叫双曲几何，它相当于单位圆盘内的几何。但是，问题是，在您所指的这种几何下，“垂直”的概念与欧几里得几何中是一致的，这可能会引出一些矛盾。
这种“允许延伸到无穷远点之外的情况”似乎就是黎曼几何的半球面几何，这个似乎不会产生什么矛盾，因为您在这里所定义的直线本质上是黎曼几何中直线的一部分。
对应来看，即使把上面第一种几何往无穷远点外延伸，其结果并不就是第二种几何。个人认为，第一种几何中的直线定义可能有问题。

luyuanhong

下面引用由love-math在 2012/05/07 07:10pm 发表的内容：
直观的看，这种“不允许延伸到无穷远点之外的情况”似乎就是罗巴切夫斯基几何，或者叫双曲几何，它相当于单位圆盘内的几何。但是，问题是，在您所指的这种几何下，“垂直”的概念与欧几里得几何中是一致的，这可 ...

上面第一种处理方法得到的射影几何，与罗巴切夫斯基几何是不一样的。罗氏几何可以看
作是一个单位圆盘中的几何，但是不包括圆盘的边缘，也就是说，在罗氏几何中，是没有
无穷远点和无穷远直线的。而在上面定义的射影几何中，包括圆盘的边缘，有无穷远点和
无穷远直线，所以两者是不一样的。
参看我过去在《数学中国》论坛发表过的一个帖子：
“罗氏非欧几何的一种图像表示方法”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=10523

love-math

只是探讨一下：
所谓的无穷远点，其本质是指在这个空间内是不可到达的，比如，对于开区间，其端点相当于无穷远点，因为，在开区间内，你永远也不能到达这点，其实做一个简单的反演变化就可以说明这一点；您的几何，如果把单位圆盘的边界看做几何的一部分，其实，这个边界已经不是“无穷远直线”，因为，它是可以到达的，拓扑学中称之为“紧致”的；罗巴切夫斯基几何，确实不包括边界，那个边界恰好就是您所说的“无穷远直线”，其上每个点都不可达，都是它的无穷远点，之所以在罗巴切夫斯基几何中过直线外一点可以有无穷多条直线与之“平行（不相交）”，其根本原因也是因为它有无穷多个无穷远点。

luyuanhong

下面引用由love-math在 2012/05/08 10:27am 发表的内容：
只是探讨一下：
所谓的无穷远点，其本质是指在这个空间内是不可到达的，比如，对于开区间，其端点相当于无穷远点，因为，在开区间内，你永远也不能到达这点，其实做一个简单的反演变化就可以说明这一点；您的几何，如果把单位圆盘的边界看做几何的一部分，其实，这个边界已经不是“无穷远直线”，因为，它是可以到达的，拓扑学中称之为“紧致”的；罗巴切夫斯基几何，确实不包括边界，那个边界恰好就是您所说的“无穷远直线”，其上每个点都不可达，都是它的无穷远点，之所以在罗巴切夫斯基几何中过直线外一点可以有无穷多条直线与之“平行（不相交）”，其根本原因也是因为它有无穷多个无穷远点。

在欧氏几何和罗巴切夫斯基几何中，无穷远点都是不可到达的，所以，在这两种几何中，
任何两条平行直线都没有交点。而在射影几何中，无穷远点是可以到达的，按照现有
的射影几何的定义，任何两条平行线必有一个交点，即无穷远点。在我给出的新的射影
几何中，任何两条平行线必有两个交点，即两个无穷远点。