这个问题该如何求证？

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luyuanhong

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[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/23 06:08pm 第 1 次编辑]

    在一个具体的问题中，如果我们已知 Δx 是一个大于 0 的增量，要验证
某个含有 Δx 的式子 F(Δx) 是 Δx 的高阶无穷小，那么，我们只需要验证
当 Δx 从右方趋于 0 ，也就是当 Δx→+0 时有 F(Δx)/Δx→0 就可以了。
    现在我们考虑的是一个力 f(x)=x^2 在一段长度为 Δx 的距离上作功的
具体问题，已知距离 Δx＞0 ,所以在这种情况下，不必考虑 Δx＜0 的情形。
    如果我们不是在处理一个具体的问题，而是在做一个的抽象的数学题，
是在 Δx 可正可负的情况下，要证明某个含有 Δx 的式子 F(Δx) 是 Δx
的高阶无穷小，这时如果只考虑 Δx→+0 的单方面的极限，当然是不行的。
    顺便说一句，不管是处理一个已知 Δx＞0 的具体问题，还是做一个
抽象的数学题，如果只是要验证 2x(Δx)^2+(Δx)^3＝o(Δx) ，我们只要
验证 Δx→0 时 [2x(Δx)^2+(Δx)^3]/Δx＝2xΔx+(Δx)^2→0 就可以了，
完全不必分成 Δx＞0 和 Δx＜0 两种情形来讨论。

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