【讨论】 数列有极限的证明，好像有些难度

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/14 09:13pm 第 1 次编辑]


下面这个题源于“概率考”网友摘录的一道 2012 年高考题，但是题目作了修改，也许会比原题要难一些吧。请大家对本人的思路点评指正。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/15 01:04am 第 1 次编辑]

下面是我对这题的证明：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/15 07:14am 第 1 次编辑]

谢谢陆教授的解答。先下载了，看看再说。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/15 09:47am 第 1 次编辑]

看完了陆教授的解答，佩服得五体投地！
恐怕能做出这样无懈可击的证明者，再难找出别的人了。
数列递增而有上界 A，并不一定表明它以 A 为极限。本人那个“证明”中没有论及这一点。当然，本人的方法不好是根本缺陷。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/15 11:08am 第 1 次编辑]

请教陆教授一个问题，在 a 数列的递增性的证明中，可否省去“求导数”那个环节？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/15 06:44pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2012/06/15 11:07am 发表的内容：
请教陆教授一个问题，在 a 数列的递增性的证明中，可否省去“求导数”那个环节？

你说得很对，其实不用求导的方法，也是可以证明的：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/06/16 06:03am 第 3 次编辑]

第 7 楼的证明很对，不过有些复杂，还不如求导数更简便。
我原先以为在 a 数列大于 b 数列的条件下，若 b 数列单调增，则 a 数列也会单调增，这是不对的（见下图）。
不过，我现在的想法是既不用求导，也不用第 7 楼的方法，而用极限存在的“夹逼定理”。
不知能否说得通？改后的全部证明如下，请陆教授过目：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/16 07:47am 第 2 次编辑]

对！楼上天山草的想法很好。其实不用证明 {an} 单调增加，只需要从 {bn} 单调增加
且有上界，推知 bn 的极限存在，从  bn 极限存在，就可以推知 an 的极限为 √2 ，
再从 an 的极限为 √2 ，就可以推知 bn 的极限为 √2 。
下面是根据天山草意见修改后的证明：

w632158

luyuanhong ,天山草 两位老师好。你们对数学的研究精神值得我们好好学习。
我看后陆老师的证明，用一个字评：妙；用两个字评：巧妙；用三个字评；真巧妙。学习了。