三种类型H—构形可约性的再证明

雷明85639720

三种类型H—构形可约性的再证明
雷  明
（二○一七年十二月三十日）

解决H—构形的主要方法是想办法使图中的两条相交叉的连通链的一条或两条断开。为此，我把BAB型的5—轮H—构形分为三类：a类构形是含有经过A—C和A—D两条连通链的任一个共有的、着色为A的顶点的A—B环形链的图（如图1，a）；b类构形是含有经过A—C和A—D两条连通链中分别着色为C和D的两个末端顶点（注意，两条连通链的末端顶点在5—轮中是相邻的）的C—D环形链的图（如图1，b）；c类构形是以上两种环形的A—B链和环形的C—D链都不含有的图（如图1，c，与图1，c左右对称的别一种情况也属于同一类）。

在BAB型的5—轮H—构型中，A—B链和C—D链是相反链，没有共同的颜色，两链是不可能交叉的，只能是独立的以同心园式的分布存在。在环形链的内、外一定是会有与其相反的色链被分隔成互不连通的两部分。按理，对经过两条连通链共有顶点A的A—B链和经过两条连通链末端顶点C和D的C—D链进行交换，都可以使A—C和A—D两条连通链断开。但在有些情况下，呈环形链的那种链可能在整个图中只是一条，若交换了这样的链，实在是相当于把该链（或该图）中的两种颜色相互对调了一下，仍不能使连通链断开（如图1，a和图1，b那样）。所以：
在含有A—B环形链的a类构形的情况下，至少可以交换经过两条连通链末端的C—D链，一定可以使两条连通的A—C链和A—D链同时断开；在含有C—D环形链的b类构形的情况下，至少可以交换经过两条连通链任一共有顶点A的A—B链，也一定可以使两条连通的A—C链和A—D链同时断开。图1都是九点形时，都本身都是可以同时移去两个同色B的K—构形。所以我们要把图1中除了5—轮（最外的五边形）以外的边都看成是链，而不是单条边。但在不含有任何环形链的c类构形的情况下，却是不能这样解决的。

在c类构形情况下，A—B链的任何两个A色的顶点1和顶点2一定不可能再与着B色的同一顶点同时相邻（如图2，a），否则就出现了环形的A—B链。顶点1和顶点2只能与着C（或D）色的顶点同时相邻。这样，也就一定可以从顶点1到顶点2之间的一段A—B链以外的任何一个B色顶点交换B—C（或B—D）链，使这个着有C色（或D）的顶点变成B色，使顶点1的顶点2同时与同一个B色顶点相邻，同时使A—B链于该顶点B处闭合，形成了A—B环形链（如图2，b）。使构形转化成了b类构形而可约。
把图1，c的图，从左边B色顶点交换了B—D链后，就可得到含有A—B环形链的b类构形（如图3）。当把图1，c从右边的B色顶点交换B—C链，就是一个可以同时移去两个同色B的K—构形（如图4，a），空出D（如图4，b）或B（如图4，c）。但这只是当图是九点形构形时，从右边的B色顶点交换B—C，可以移去D或B。


而当图不是九点形时，除从左边的B色顶点交换B—D，可得到一个b类构形（如图5）外，从右边的B色顶点交换B—C链，得到的却是一个同以同时移去两个同色C的K—构形（如图6）。


图1，c的另一种情况也可以变成b类H—构形和可以同时移去两个同色D的K—构形。不过从左边的B色顶点交换B—D时，得到的是可以同时移去个同色D的K—构形，而从右边的B色顶点交换B—C时，得到的才是b类的H—构形。
到此，就证明了三类H—构形都是可约的。在H—构形中，A—C链和A—D链都是不能交换的，B—C链和B—D链也只能交换其中的一条。在这种情况下，A—B和C—D链的分布结构成只能是：A—B链是环形的，C—D链是环形的，和两链都不是环形的三种。A—B链是环形的情况下，交换的是C—D链；C—D链是环形的情况下，交换有是A—B链；这两种交换都可使两条连通链同时断开。两链都不是环形的情况下，交换的只能是B—C链和B—D链中的一条，都可以使两条连通链的一条断开。文章开始提出的“想办法使图中的两条相交叉的连通链的一条或两条断开”的目的达到了，H—构形也就成为可约的了，当然四色猜测也就得到了证明是正确的。


雷  明
二○一七年十二三十日于长安

注：此文已于二○一七年十二月三十日在〈中国博士网〉上发表过，网址是：

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，