[讨论]小学难题

ysr

ysr

如下这个容易些：
请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？

cysa

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ysr

对欧洲杯不感兴趣，不过夫妻居然是上学同桌，真是奇事，俺们同学已各奔东西，聚会都没有！

luyuanhong

题  用 1，2，3，4，5，6 组成一个六位数，要求 AB 是 2 的倍数，ABC 是 3 的
倍数，ABCD 是 4 的倍数，ABCDE 是 5 的倍数，ABCDEF 是 6 的倍数，那么这样的
六位数有多少个？

解 因为要求 AB,ABCD,ABCDEF 是偶数的倍数，所以 B,D,F 都必须是偶数，剩下三个
数 A,C,E 必须是奇数。因为 ABCDE 是 5 的倍数，所以 E 必须是 5 ，这样 A,C 就
必定是 1 和 3 。又因为 ABC 是 3 的倍数，所以 A+B+C 必须是 3 的倍数，去掉其中
A+C=1+3=4 后，剩下的 B 必须是 3 的倍数加 2 。B=4 或 B=6 都不符合要求，只能是
B=2 。剩下的偶数只有 4,6 。因为 ABCD 是 4 的倍数，如果 D=4 ,这时 CD 只能是
14 或 34 ，但以 14 或 34 作末尾的数都不可能是 4 的倍数，所以只有 D=6 。剩下
一个偶数必然是 F=4 。
    所以，符合要求的六位数只有 2 个，即 123654 和 321654 。
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题  请用 1，2，5，7，8，9 这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，
使得它能被 75 整除，并求出这样的五位数有几个？

解  能被 75 整除，也就是既要能被 25 整除，又要能被 3 整除。
    因为要能被 25 整除，所以五位数的末尾必须是 25 或 75 。
（一）如果末尾是 25 ，因为五位数能被 3 整除，所以 5 个数字之和要能被 3 整除，
去掉末尾的 2,5 ，前面 3 个数字之和必须是 3 的倍数加 2 ，不难看出，这 3 个数字
只能是 1,7,9 ，这 3 个数字的位置可以任意排列，所以这样的数有 3!=6 个。
（二）如果末尾是 75 ，因为五位数能被 3 整除，所以 5 个数字之和要能被 3 整除，
去掉末尾的 7,5 ，前面 3 个数字之和必须是 3 的倍数，不难看出，这 3 个数字只能
只能是 1,2,9 或 1,8,9 ，对每一种组合，3 个数字位置可以任意排列，所以这样的数
有 2×3!=12 个。
    总之，用 1，2，5，7，8，9 组成能被 75 整除的五位数共有下列 6+12=18 个：
   17925 ，19725 ，71925 ，79125 ，91725 ，97125 ，
   12975 ，19275 ，21975 ，29175 ，91275 ，92175 ，
   18975 ，19875 ，81975 ，89175 ，91875 ，98175 。

ysr

谢谢陆教授的精彩解答！！对于不熟习排列组合和没有熟练掌握整除特征的小学生，要用大多数小学生能看懂的步骤和方法那计算量是太大，尤其1楼的，所以不宜做考试题，只能做课外练习或奥数题！