求二重积分 ∫∫[af(x)+bf(y)]／[f(x)+f(y)]dxdy

冠冠 · 发表于 2012-7-27 13:02

证明真是太漂亮了。而且还写得很有耐心尽量写得具体，令人佩服

cysa · 发表于 2012-7-27 15:54

证明真是太漂亮了。而且还写得很有耐心尽量写得具体，令人佩服

冠冠 · 发表于 2012-7-27 16:47

请问陆老师是怎样想到引入a+b的？

luyuanhong · 发表于 2012-7-27 18:29

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/07/28 10:03am 第 1 次编辑]

下面引用由冠冠在 2012/07/27 04:47pm 发表的内容：
请问陆老师是怎样想到引入a+b的？

我估计这个积分的结果，与 f(x) 的函数形式无关，也就是说，不管什么函数 f(x) ，
积分的结果应该是一样的。
最简单的函数，是恒等于 1 的函数 f(x)=1 ，代入积分式后很容易求得积分值是 a+b 。
其他的函数，被积分的式子当然不会那么简单，但是我想，如果积分结果也等于 a+b ，
那么，被积分的式子减去 a+b 后，剩下部分的积分，必定会等于 0 。这样问题就变成
证明减去 a+b 后剩下部分的积分等于 0 了。

冠冠 · 发表于 2012-7-27 22:30

原来是这样，明白了。谢谢

概率考 · 发表于 2012-7-27 23:02

老师这个题利用对称性很简单的。好像最后答案为a+b/2.理由：
I=af(x)+bf(y)/(f(x)+f(y)在区域D上的积分
等于I=af(y)+bf(x)/(f(x)+f(y)),相加得 2I=a+b,故I=a+b/2

luyuanhong · 发表于 2012-7-28 10:02

下面引用由概率考在 2012/07/27 11:02pm 发表的内容：
老师这个题利用对称性很简单的。好像最后答案为a+b/2.理由：
I=af(x)+bf(y)/(f(x)+f(y)在区域D上的积分
等于I=af(y)+bf(x)/(f(x)+f(y)),相加得 2I=a+b,故I=a+b/2

楼上概率考的想法很好，但是没有表达清楚，最后结果也有些错。下面是详细正确的解答：

概率考 · 发表于 2012-7-28 11:03

对我忘记后面乘以面积是2了以为是1 谢谢老师

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求二重积分 ∫∫[af(x)+bf(y)]／[f(x)+f(y)]dxdy

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