再请教陆教授一个卷积的问题

qingjiao · 发表于 2012-8-18 01:07

设f(x)，g(x)，h(x)均为x>=0时函数值>=0，且恒有： f1(x)>=f2(x)，h1(x)<=h2(x)，f1(x)*g1(x)=h1(x)，f2(x)*g2(x)=h2(x)。那么，是否必有在任何x>=0时，g1(x)<=g2(x)？看样子似乎应该是的，但仔细想想好像又不一定。因为卷积可以理解为许多个乘积项的和，与一个乘积项的情况应有不同。我本来有一个例子，但这个例子比较复杂，写下来太麻烦，而且也不知自己有没有算错，所以想请陆教授先解答一下。谢谢！

qingjiao · 发表于 2012-8-18 01:19

我现在倾向于认为不一定，例如：已知：a1*b1+a2*b2a3，a2>a4，a和b均>0。我们不能认为一定有b1b4，那么将得到一个关于b1和b3的不等式，这样的不等式是可以有解的。我们只能说至少有一个对应项，例如b1

luyuanhong · 发表于 2012-8-18 15:27

下面引用由qingjiao在 2012/08/18 01:07am 发表的内容： 设f(x)，g(x)，h(x)均为x>=0时函数值>=0，且恒有： f1(x)>=f2(x)，h1(x)<=h2(x)，f1(x)*g1(x)=h1(x)，f2(x)*g2(x)=h2(x)。那么，是否必有在任何x>=0时，g1(x)<=g2(x)？看样子似乎应该是的，但仔细想想好像又不一定。因为卷积可以理解为许多个乘积项的和，与一个乘积项的情况应有不同。我本来有一个例子，但这个例子比较复杂，写下来太麻烦，而且也不知自己有没有算错，所以想请陆教授先解答一下。谢谢！

的确，这个结论不一定成立。

qingjiao · 发表于 2012-8-18 16:06

[这个贴子最后由qingjiao在 2012/08/18 04:26pm 第 1 次编辑] 感谢陆教授的解答，现在将问题再变一下： (1)将原题中所有的“=”号去掉，是否恒有g1(x)∞的情况，并且g1(x)和g2(x)不含有振动成分，是否必有g1(x)≤g2(x)或g1(x)

qingjiao · 发表于 2012-8-18 16:22

所谓不含有振动成分，即不仅函数值单向变化，其导数也是单向变化。
例如e^x，logx，x，x^2，√x等等。这个导数可以是广义的。

luyuanhong · 发表于 2012-8-18 23:42

加上函数 g1(x),g2(x) 单调上升，即 g1(x),g2(x) 的导数大于 0 的条件后，
结论仍然不一定成立：

qingjiao · 发表于 2012-8-19 00:07

陆教授可能没有理解我的意思。我在问题2的意思是，如果g1(x)和g2(x)都是单调无振动的函数，那么根据原有的条件，在x-->∞时，或者说在某个充分大的x之后，总有g1(x)

qingjiao · 发表于 2012-8-19 00:14

或者我将问题重新表述一遍：设f1(x)>f2(x)>0，00，g2(x)>0，且f1(x)*g1(x)=h1(x)，f2(x)*g2(x)=h2(x)，又所有f(x)，g(x)，h(x)都是单调的无振动函数，即它们的函数值和导数都是单向变化的，那么在某个充分大的x之后，是否必有g1(x)

qingjiao · 发表于 2012-8-19 01:04

luyuanhong · 发表于 2012-8-19 11:56

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/08/19 07:07pm 第 2 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2012/08/19 00:14am 发表的内容： 或者我将问题重新表述一遍：设f1(x)>f2(x)>0，00，g2(x)>0，且f1(x)*g1(x)=h1(x)，f2(x)*g2(x)=h2(x)，又所有f(x)，g(x)，h(x)都是单调的无振动函数，即它们的函数值和导数都是单向变化的，那么在某个充分大的x之后，是否必有g1(x)

在你给出的这些条件下，仍然可以找到反例，使得结论不成立：

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