解方程组 x=1+2x^2/(x^2+y^2+z^2+w^2)，…，w=1+2w^2/(x^2+y^2+z^2+w^2) 求 (x,y,z,w)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

思路：由x=1+2x^2/(x^2+y^2+z^2+^2)  ①，
y=1+2y^2/(x^2+y^2+z^2+^2)  ②，
z=1+2z^2/(x^2+y^2+z^2+^2)  ③，
w=1+2w^2/(x^2+y^2+z^2+w^2) ④知x、y、z、w都是大于1的实数。
当x、y、z、w全相等，即x=y=z=w时，易得x=y=z=w=3/2。
当x、y、z、w不全相等时，至少有两个不相等，不妨假定x≠y，
（1）四个式子相加易得x+y+z+w=6；
（2）①-②得x-y=2(x^2-y^2)/(x^2+y^2+z^2+^2)，
由x≠y有，2(x+y)/(x^2+y^2+z^2+^2)=1，
类似地，若z≠w,则2(z+w)/(x^2+y^2+z^2+^2)=1。
∴ 2(x+y+ z+w)/(x^2+y^2+z^2+^2)=2，即x^2+y^2+z^2+^2=6。
把x^2+y^2+z^2+^2=6分别代入①、②、③、④得到x、y、z、w都是方程
a=1+2a^2/6，即a^2-3a+3=0的根，但它无实根。
综上，得x=y=z=w=3/2。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。