[原创]关于素数代数解析通式

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[watermark]关于素数代数解析通式 作者:赖书乡 自然数是最为神奇的，是人类心灵智慧之花，克罗内克说，自然数是上帝给的，其它的都是人类自己构造的。几百年来人们对自然数的神奇探索从未间断，并且发展了初等数论、解析数论，其中一个重要的主题是有关素数问题，如素数的分布问题，给定小于某数的素数个数问题，一个偶数可以表示为二个素数之和等等诸多问题。这些问题之难困扰了人们几百年，特别是一直到今天，对素数也只有文字语言定义，并无一个代数通式即可产生所有素数的解析代数表示式。素数是没有真因子的数即只能被1和其本身数整除的自然数。似这类数都有一个特点即其个位数一定是1、3、7、9这四个数（除2与5外），那么就从此入手解决问题。 分析：1：所有的素数的个位数都是：1,3,7,9四个数中的一个。这里有二个特例是偶素数：2和特别奇素数：5 没有纳入这句话中。 2：有数6x（x=1,2,3,.....n)的个位数一定是：6,2,8,4,0这五个数中之一个。 3：等差级数(6x－1) ,（x=1,2,3,4,....n)的个位数一定是：5,1,7,3,9这五个数中之一。 4：等差级数（6x+1) ,(x=1,2,3,4,....n)的个位数一定是：7,3,9,5,1这五个数中之一。 5：这样就有代数式：(6x±1)=S 覆盖或淹盖所有素数之可能，只要x的选取值适当即可。如令x=1/6 ,1/3,1 ,2 ,3 ,.......n 6:从（6x±1)=S 式中显然含有许多非素数在其中如：x=4时s=25; x=6 ,s=35;x=8 ,s=49;....... 。那么就有必要做一个筛子把所有非素数筛掉。而且这个筛子还必须与式子（6x±1) 放在一起才有效，其结构有点类似联合收割机。 7：构造一个特别的符号函数δ（A)，这个函数只取二个值即“0”和“1”。三种情况:当（A)为大于“1”的整数时，函数值为“0”;当（A)为非整数时，函数值则为“1”;当(A)等于“1”时，函数值也为“1”。作为一个函数的规定，在逻辑上没有问题。 8：δ（A)函数中的（A)是问题之关键，令A= ；此式就是对每一个6X±1的取值S作一次甄选，当S值与Pj中的某一个值能约化时如3649能与41和89约化，当A为大于1的整数，函数值为0,则S值为非素数，去之；当A=1 时,函数值为1,取之；当A不能约化，则为非整数，函数值为1，S值为素数，取之。Pj的取值遍历小于S平方根减1的素数，逐次递进， 当Pj ≤ －1，未能约化，则S值必为素数。用递归算法在计算机上是容易实现的事。不过这里有一个如何最快判定一充分大的奇数是否存在因子的算法设计问题。有些似P=nP问题。实际上事情没有那样复杂和繁难，编写一个计算机程序，可以快速甄选所有素数。（另有论文说明） 9：因此有素数解析代数表达式： Pn=（6xi －1）δ(A)=(6xi－1) ; (1) x=1/2,1,2,3,......x ; i=1,2,3,4,......i ；n=1,2,3,4,....n ; Pm=（6xi+1）δ(A)=(6xi+1 ) ; (2) x=1/3,1,2,3,.....x ; i=1,2,3,4,.....i ; m=1,2,3,4,.....m ; 3 ≤ pj ≤ (6xi ±1)1/2-1 ； j=2,3,4,...j ； (3) =0 当A 是大于 1 的整数。 δ（A）= =sgn A =1 当A等于1或非整数。 令: L=n+m 则有 PL=pn+m=(6xi±1) ; (4) 此式可以产生所有素数或无穷个素数。有此素数通式许多有关素数的问题都能得到解决，虽然存在潜无穷问题，但是都是可数的，以等势而论之。任何一个素数可以从此产生，减少茫目性，增强目的性，提高有效性。对于黎曼的“给定小于某值的素数个数”问题也能给出具体清晰准确的回答。而不是高深的“ζ函数的所有非平凡零点的实部都是 ”这样令人费解的黎曼假设。事实上任何一个了解数论的人都知道等差级数可以产生无穷个素数,从欧拉、狄利克雷、高斯、黎曼到哈代、迪厄内克、华罗庚的论著中都可以看到，在谈到素数分布问题时都难免要指出这一规侓，唯有让人不解的是为什么他们都没有往前走一步，论者认为也许是受当时采用函数手段来分析素数问题的方法盛行的影响，人们耻于采用直接简单的策略方法，也许是人们太珍爱这只会下金蛋的鸡，谁也舍不得杀掉它，现在有个狠心的人终于要把它杀掉了，未免有些让人感到一丝悲戚和遗憾。从哈代的圆法和埃拉托色尼的筛法来看，其法也是甚为繁难，筛法虽机巧可靠但远未及本论所提出的素数代数解析通式方便。 另一问题即关于哥德巴赫猜想：任一偶数可以表示为二个素数之和。对此问题的等价说法有几种，但是问题之由来是源于自然数的拆分问题，在过去一二百年以前西方知识界、数学界对解析数论问题及一般的自然数问题研究讨论非常普遍广泛，如数与形问题、有形数、分拆数、方次数、巧合数，等等都是欧洲王室贵族、知识阶层、有闲人士感兴趣的事，是时尚雍雅之事，就象今天中国的收藏市场一样热闹。而许多大数学家的涉足使得热闹变成了高级优雅会所的游戏，解析数论成了主流时尚，初等数论只是街谈巷议的坊间之作。这种风气引导人们解决问题的思路方法从简单走向复杂，从直观走向抽象，喜好采用复杂函数分析手段，背离了道不远人的原则，偏离了直接性和简单性原理。 以下是关于哥德巴赫猜想的简单证明 哥德巴赫猜想：任一偶数可以用二个素数之和来表示。 猜想扩展：任一偶数可以用二个素数之和或差来表示。 证明如下： 一、已知素数分布定理有： nAn /n 260.260.47 1680.1680.145 784980.0784980.072382 508474780.0508474780.048254942 由素数分布定理可知在十亿个自然数连续系列中，约有百分之五的数是素数，也就是说大概在一百个连续系列的自然数中有五个素数存在其中，更进一步说在一百个自然数的连续系列中二个素数之差一定是小于一百。当然即使二个素数之差小于一万甚至更大也可。 二、根据素数定理，对任一偶数2n，在其自然数连续系列中一定存在素数 （n=1,2,3....n; i=0,1,2,3...=i)并有 ＜ －1（a=0，1，2，3，…a）; 使得以下式成立： 2n- <| |= －1 (1) 2n 三、 在 = －1 （a=0,1,2,3,...a)中一定存在素数Pj(Pj=2,3,5,7,11,13…Pj)使得下式： 2n= +Pj 成立，即对任一偶数可以表示为二个素数之和或差。 以上简单证明在逻辑上没有问题，如用δ-ε语言来定义和规定一个函数那样简单，采取了存在性结构性直接证明策略，主要是抓住了自然数结构性的四个基本事实的存在，一是素数分布定理规侓的存在；二是自然数连续系列；三是相邻二个素数之间的可能最大差值；四是一个任意的区间套。尽管如此清晰，科学共同体或者说数学科学共同体可能还是难以接受的，因为太简单！因为他们太过崇尚分析与构造，不称许数学具有自然的性质的说法，自然数已经太老了，已经是远祖，忽视自然数的自然二字也是当顺其然的事。以往的证明常常是非结构性的或非直接性的，是间接性的逻辑演绎证明，缺乏简洁性和直观，远离了道法自然和道不远人的信念。希望有此兴趣者不吝赐教。 参考：华罗庚《数论导引》；让.迪厄多内《当代数学 为了人类心智的荣耀》；哈代《一个数学家的辨白》；约翰.德比希尔《素数之恋》 作者：赖书乡 江西上犹人 1950年2月生 上海复旦大学毕业 曾在中国科学院近代物理研究所工作，后在深圳从事应用技术研究开发，2010年退休。 联系方式：E-mail:1582145827@qq.com 电话:13632923986

硬度

以上简单证明在逻辑上没有问题，如用δ-ε语言来定义和规定一个函数那样简单，采取了存在性结构性直接证明策略，主要是抓住了自然数结构性的四个基本事实的存在，一是素数分布定理规侓的存在；二是自然数连续系列；三是相邻二个素数之间的可能最大差值；四是一个任意的区间套。尽管如此清晰，科学共同体或者说数学科学共同体可能还是难以接受的，因为太简单！因为他们太过崇尚分析与构造，不称许数学具有自然的性质的说法，自然数已经太老了，已经是远祖，忽视自然数的自然二字也是当顺其然的事。以往的证明常常是非结构性的或非直接性的，是间接性的逻辑演绎证明，缺乏简洁性和直观，远离了道法自然和道不远人的信念。