费马大定理的诞生（转载）

永远

“当Blaise Pascal催促费马发表他的某个成果时，这个遁世者回答道：‘不管我的哪个工作被确认值得发表，我不想其中出现我的名字。’费马是缄默的天才，他放弃了成名的机会，以免被来自吹毛求疵者的一些细微的质疑所分心。”（P35）

　　“按照费马的说法，似乎根本不存在这样的3个数，它们完全适合方程
xn + yn = zn，这里n代表3，4，5，……。
在《算术》这本书的靠近问题8的页边处，他记下了他的结论：
　　　　‘不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。’
　　“似乎没有理由认为在一切可能的数中间竟然找不到一组解，但是费马说，在数的无限世界中没有‘费马三元组’的位置。这是一个异乎寻常的结论，但是费马却相信他能够证明他的一个结论。在列出这个结论的第一个边注后面，这个好恶作剧的天才草草写下一个附加的评注，这个评注苦恼了一代又一代的数学家们：
　　　　‘我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。’
　　“这就是最让人恼火的费马。他自己的话暗示人们，他由于发现这个‘十分美妙’的证明而特别愉快，但却不想费神写出这个论证的细节，从不介意去发表它。他从未与任何人谈到过他的证明。这个家伙的可恶在于，他首先点燃了全世界人的希望，然后再把这个希望毁灭给全世界看。4、费马对n=4的“无穷递降法”证明

　　“为了证明方程x4 + y4 = z4没有解，费马从假设存在一个假定解
x = X1，y = Y1，z = Z1
着手。通过研究（X1，Y1，Z1）的性质，费马能够证明：如果这个假定解确实存在，那么一定会存在一个更小的解（X2，Y2，Z2）。然后通过再研究这个新解的性质，费马又能证明存在一个还要小的解（X3，Y3，Z3），这样一直进行下去。
　　“于是费马找到了一列逐步递减的解，理论上它们将永远继续下去，产生越来越小的解，然而，x，y和z必须是整数，因此这个永无止境的梯队是不可能存在的，因为必定会有一个最小的可能解存在。这个矛盾证明了最初的关于存在一个解（X1，Y1，Z1）的假设一定是错的。使用无穷递减法，费马证明了n=4时这个方程不允许有任何解，因为否则的话其结果将是荒谬的。”（P73-74）


5、那些解谜的数学家们

　　“以前，别的数学家已经尝试过采用费马的无穷递降法来研究除n=4之外的情形，但是每一次拓展这种证明的尝试总是以逻辑推理的中断告终。然而，莱昂哈德.欧拉向人们表明，通过将虚数i引入到他的证明中，他能填补证明中的漏洞，使得无穷递降法适用于n=3的情形。
　　“这是一个巨大的成就，但是却无法在费马大定理的其他情况中重现：很不走运，欧拉使其论证适用于其余情形的努力以失败告终。这个比历史上任何人都创造了更多的数学的数学家，在费马的挑战面前遭到了挫折。他惟一的安慰是，他对这个世界上最艰难的问题已经取得了首次突破。”（P78）

　　“虽然数学家们取得的进展慢得令人发窘，但情况还不像初看时感到的那么糟糕。对n=4的情形的证明，也可以证明n=8，12，16，20，……的情形，其理由是任何可以写成8（或12，16，20……）次幂的数也可以写成4次幂。例如，数256等于28，但是它也等于44。于是，对4次幂行得通的任何证明，也将对8次幂以及任何是4的倍数的幂行得通。利用同样的原理，欧拉对n=3的证明，自动地证明了n=6，9，12，15，……的情形。”（P80-81）

　　“索菲.热尔曼采用了一种新的策略，她向高斯描述了所谓的对这个问题的一般处理方法。换言之，她直接的目标并不是去证明一种特殊的情形，而是一次就得出适合许多种情形的解答。她在给高斯的信中大致地叙述了一种计算，这种计算是针对使得（2p + 1）也是素数的那类素数p进行的。热尔曼的素数表中包括5，因为11（2x5 + 1）也是素数；但是它不包括13，因为27（2x13 + 1）不是素数。
　　“对其值为热尔曼素数的n，她使用了一种巧妙的论证推得大概方程xn + yn = zn 不存在解。这里‘大概’的意思，热尔曼指的是有解存在是不太可能的，因为如果有解存在，那么x，y中的一个或z将是n的倍数，而这就将对解加上非常严格的限制。她的同行们对她的素数表上的素数一个一个地研究，尝试证明x，y或z不可能是n的倍数，从而证明对n的哪些值解不存在。”（P94-95）


6、谷山-志村猜想，与费马大定理

　　“……来自萨尔布吕肯的格哈德.弗赖（Gerhard Frey）虽然没有对如何解决这个猜想提供任何新的想法，但是他确实提出了引人注目的论断，即如果有人能证明谷山-志村猜想，那么他们也立即能证明费马大定理。
　　“当弗赖站起来准备演讲时，他先写下了费马方程：
xn + yn =zn ，这里n大于2。
费马大定理说这个方程不存在整数解，但弗赖则探索如果大定理是错的，即至少有一个解，那么会出现什么结果。弗赖对于他的这个假设的不寻常的解可能是怎样的毫无想法，所以他把这些未知数用字母编号为A，B和C：
AN + BN = CN。
然后弗赖开始‘重新安排’这个方程。这是一个严格的数学程序，它改变这个方程的外貌但保持它的完整。通过一系列熟练的复杂的演算，弗赖使具有这个假设解的费马方程变成为：
y2 = x3 +（AN - BN）x2 – ANBN。
虽然这种重新安排似乎与原来的方程非常不同，但它是假设有解的直接结果。也就是说，如果（注意这是一个大假设）费马方程有一个解，即如果费马大定理是错的，那么这个重新安排得到的方程也一定存在。起初，弗赖的听众并未对他的重新安排特别留神，但接着，他指出这个新方程事实上是一个椭圆方程，尽管它相当复杂和古怪。椭圆方程的形式为：
y2 = x3 + ax2 + bx +c，
但如果我们令
a = AN – BN，b = 0，c = -ANBN
则很容易理解弗赖方程的椭圆性质。
　　“通过将费马方程转变为一个椭圆方程，弗赖将费马大定理和谷山-志村猜想联系了起来。然后，弗赖向他的听众指出，他的由费马方程的一个解做出的椭圆方程是非常稀奇古怪的。事实上，弗赖声称他的椭圆方程是如此不可思议以致它的存在产生的影响将毁灭谷山-志村猜想。
　　“记住弗赖的椭圆方程只不过是一个虚拟的方程，它的存在是以费马大定理是错的这个事实为条件的。然而，如果弗赖的椭圆方程确实存在，那么它是如此的古怪以致于它似乎不可能与一个模形式相关。但是谷山-志村猜想断言有一个椭圆方程必定与一个模形式相关。于是，弗赖方程的存在就否定了谷山-志村猜想。
　　“换言之，弗赖的推理如下：
　　（1）当（且仅当）费马大定理是错的，则存在弗赖的椭圆方程。
　　（2）弗赖的椭圆方程是如此的古怪以致它决不可能被模形式化。
　　（3）谷山-志村断言每一个椭圆方程必定可以模形式化。
　　（4）因而，谷山-志村猜想必定是错的！
　　“另一种选择，也是更重要的，弗赖能够反方向进行他的推理：
　　（1）如果谷山-志村猜想能被证明是对的，那末每一个椭圆方程必定可以模形式化。
　　（2）如果每一个椭圆方程必定可以模形式化，那末弗赖的椭圆方程就不可能存在。
　　（3）如果弗赖的椭圆方程不存在，那末费马方程不能有解。
　　（4）因而费马大定理是对的！
　　“格哈德.弗赖最终得到了戏剧性的结论：费马大定理的真实性将是谷山-志村猜想一经证明之后的直接结果。弗赖断言，如果数学家能证明谷山-志村猜想，那么他们将自动地证明了费马大定理。几百年来第一次，世界上最坚硬的数学问题看起来变得脆弱了。根据弗赖的说法，证明谷山-志村猜想是证明费马大定理的惟一障碍。”（P169-171）

　　“费马大定理现在已经不可摆脱地与谷山-志村猜想联结在一起了，如果有人能证明每一个椭圆方程是模形式，那么这就隐含费马方程无解，于是立即证明了费马大定理。
　　“3个半世纪以来，费马大定理一直是孤立的问题，一个在数学的边缘上使人好奇的、无法解答的谜。现在，肯.里贝特在格哈德.弗赖的启示下已经把它带到重要的舞台上来了。17世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在一起，一个在历史上和情感上极为重要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结在一起了。”（P174）


7、怀尔斯破解费马大定理之路

　　“尽管他充满热情，每一次的计算却总以失败告终。他绞尽脑汁，翻遍了他的教科书，却依然一无所获。经受了一年的失败之后，他改变了策略，他拿定主意认为他也许能够从那些更为高明的数学家的错误中学到一些有用的东西。‘费马大定理有这么难以置信的传奇性经历，许多人都思考过它，而且过去试图解决这个问题并失败了的大数学家越多，它的挑战性就越大，它的神秘色彩就越浓。在18世纪和19世纪中，许多数学家用过如此多的不同方法试图解决它，所以，作为一个十几岁的少年，我决定我应该研究那些方法，并且设法理解他们一直在做的那些工作。’
　　“年轻的怀尔斯仔细研究了每一个曾经认真地试图证明费马大定理的人所用的方法。他从研究历史上最富有创造力并在对费马的挑战中首先取得突破的数学家的工作着手。”（P64）

　　“他回忆他是怎样暂时放弃了他的梦想的：‘当我来到剑桥时，我真正地把费马搁在一边了。这不是因为我忘了它——它总在我心头——而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复用了130年，这些技术似乎没有真正地触及问题的根本所在。研究费马可能带来的问题是，你也许会虚度岁月而一无所成。只要研究某个问题时能在研究过程中产生出使人感兴趣的数学，那么研究它就是值得的——即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。’”（P145）

　　“……科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定后来证明是怀尔斯职业生涯的一个转折点，为他提供了他攻克费马大定理的新方法所需要的工具。
　　“‘椭圆曲线’这个名称有点使人误解，因为在正常意义上它们既不是椭圆又不弯曲，它们只是如下形式的任何方程：
y2 = x3 + ax2 + bx + c，这里a，b，c是任何整数。
它们之所以有这个名称是因为在过去它们被用来度量椭圆的周长和行星轨道的长度。为了清晰起见，我将把它们就称为‘椭圆方程’而不是椭圆曲线。
　　“研究椭圆方程的任务（像研究费马大定理一样）是当它们有整数解时把它算出来，并且如果有解，要算出有多少个解。”（P145）

　　“单靠岩泽理论不足以解决问题，单靠科利瓦金-弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补足。这是怀尔斯永远不会忘记的充满灵感的瞬间，当他详细叙述这些时刻时，记忆如潮澎湃，激动得泪水夺眶而出：‘它真是无法形容地美；它又是多么简单和明确。我无法理解我怎么会没有发现它，足足有20多分钟我呆望着它不敢相信。然后到了白天我到系里转了一个圈，又回到桌子旁指望搞清楚情况是否真是这样。情况确实就是这样。我无法控制自己，我太兴奋了。这是我工作经历中最重要的时刻，我所做的工作中再也没有哪一件会具有这么重要的意义。’
　　“这不仅仅是圆了童年时代的梦想和8年潜心努力的终极，而且是怀尔斯在被推到屈服的边缘后奋起战斗向世界证明了他的才能。这最后的14个月是他数学生涯中充满了痛苦、羞辱和沮丧的一段时光。现在，一个高明的见解使他的苦难走到了尽头。”