求 cos2x+2｜sinx｜ 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

谢芝灵

cos2x+2│sinx│=1-2sinx^2+2│sinx│
上式得 │sinx│为非负，sinx^2为非负。
所以，可以取sinx为非负。        
cos2x+2│sinx│=2(1/2-sinx^2+sinx)
                   =-2(sinx^2-sinx-1/2)　
                   =-2[(sinx-1/2)^2-3/4]
                   =-2(sinx-1/2)^2+3/2
当│sinx-1/2│值最大，且sinx为非负。得原命题值最小。
绝对值里取sinx取最大值1和最小值0时│sinx-1/2│值最大1/2，
cos2x+2│sinx│=-2(sinx-1/2)^2+3/2=-1/2+3/2=1

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

波斯猫猫

思路：cos2x+2│sinx│=1-2sinx^2+2│sinx│=-2│sinx│^2+2│sinx│+1
         =-2（│sinx│-1/2）^2+3/2。
        显然，当x=kπ或x=(2k+1)π/2时（k∈Z），〔(｜sinx｜-1/2)^2〕max=1/4，
        所以，  (cos2x+2│sinx│)min=1。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。