已知 a,b,c∈N ，满足 a^logb(c)=a+b+c=9 ，求 a^2+bc 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  已知 a,b,c∈N ，满足 a^logb(c)=a+b+c=9 ，求 a^2+bc 的值。

解  正整数 a 的若干次幂等于 9 ，显然 a 只能是 3,9,27,81,…… 。

    但是从 a+b+c=9 可以看出，a 必定小于 9 ，所以只有 a=3 。

    当 a=3 时，有 b+c=6 和 logb(c)=2 。

    容易看出，能满足上面这两式的正整数 b,c ，只有 b=2 ，c=4 。

    所以，必有 a^2+bc=3^2+2×4=9+8=17 。

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注  上面的解还有遗漏。

    因为 a^logb(c)=(e^lna)^(lnc/lnb)=e^(lnalnc/lnb)=(e^lnc)^(lna/lnb)=c^logb(a) 。

    所以已知条件 a^logb(c)=a+b+c=9 可以变成 c^logb(a)=c+b+a=9 。

    也就是说，a 与 c 的地位可以互相交换。

    前面推导出了一组解 a=3 ，b=2 ，c=4 ，由于 a,c 地位可交换，所以还有一组解

    a=4 ，b=2 ，c=3 。这时 a^2+bc=4^2+2×3=16+6=22 。