求所有的正整数 n ，使得 (n^2+n+8)^2/(2n+1) 为整数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

谢芝灵

(n^2+n+8)^2/(2n+1) =(n^4+n^2+64+2n^3+16n^2+16n)/(2n+1)
(2n+1)│n^4+60+（2n^3+n^2）+（16n^2+8n）+（8n+4）
(2n+1)│n^4+60
由于(2n+1)为奇数，所以上式右边×16
(2n+1)│16n^4+960
(2n+1)│16n^4+8n^3-8n^3-4n^2+4n^2+2n-2n-1+1+960
(2n+1)│961
(2n+1)│961=31*31
2n+1=31
2n+1=961
n=15，480

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。