数学理论的确定性与不确定性

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数学理论存在着下述四个确定性：①数学的本质是研究现实数量（包括形）大小及其关系表示方法的科学及其工具；②实践是数学理论的基础与验证标准，数学理论需要在继续的实践研究中不断改进；③实践与理想、精确与近似、现实与理想、无穷与有穷之间存在着相互依存的对立统一关系，“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”（参看毛泽东《矛盾论》）。④在对数学理论的形式逻辑推导过程中必须进行联系实践的辩证逻辑分析。本文在这四个观点下，对数学理论中的基本概念进行一些必要的改革。首先需要知道：现有形式逻辑规律中没有谈到无穷，为此需要加上“无穷是无有穷尽、无有终了、无有最后、无有完结”的规律，或公理。其次，还须指出：无穷的存在性依赖于有穷，任何一个无穷性事物的存在都需要有一个无限延续的法则，还需要有无限延续的操作的无限延续的时间；因此，在任何有限时间内，这个无限延续的工作是无法完成的；任何无穷性事物只能是一种极限性质的、趋向性质的人们无法达到的理想性事物，；无穷性事物缺乏完成了的实践性质，真正完成了的只能是有穷性事物。对于关于无穷性事物的这种意义、认识与使用方法，就是《简明哲学辞典》所说的“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确地反映现实”的辩证逻辑方法。