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哥德巴赫猜想一百问(上篇)－－胡桢
1：哥德巴赫猜想的由来？
答：大约在260年前，德国的哥德巴赫先生发现了这样的一个现象：任何大于5的整数都可以表示为3个质数的和。他验证了许多数字，这个结论都是正确的；但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它。于是他在1742年6月7日写信给著名数学家欧拉请教，欧拉先生认真地思考了这个问题。他首先逐个核对了一张长长的数字表：
6=2+2+2=3+3 8=2+3+3=3+5 9=3+3+3=2+7
10=2+3+5=5+5 11=5+3+3 12=5+5+2=5+7
99=89+7+3 100=11+17+71=97+3 101=97+2+2
102=97+2+3=97+5……
这张表可以无限延长，而且每一次延长都使欧拉先生对肯定哥德巴赫先生的猜想增加了信心。并且他还发现，证明这个问题实际上应该分成两部分：证明所有大于2的偶数总能写成2个质数之和，所有大于7的奇数总能写成3个质数之和。
当欧拉先生最终坚信这一结论是真理的时候，就在6月30日复信给哥德巴赫先生。信中说：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理”。由于欧拉先生是颇负盛名的数学家、科学家，所以，他的信心吸引和鼓舞无数科学家试图证明它。但是，直到19世纪末也没有取得任何进展；这一看似简单而实则困难重重的数论问题，长期困扰着数学界。
2：为什么不能用统计的方法来证明哥德巴赫猜想？
答：自哥德巴赫先生提出猜想以来，有人曾用统计的方法对猜想作了验算；迄今为止，于10^14之内的偶数M皆可表为两个奇素数之和。但是，10^14之数值若与无穷大相比较，显然是太小了。因为，任何的有限数值与无穷大相比较，都是不足以言道的。所以，对哥德巴赫猜想的证明，是不能采用统计之方法的。
3：有的人采用p+p=M的方式来证明哥德巴赫猜想可行否？
答：不行。因为p+p=M是加法语句，而哥德巴赫猜想之命题所需要的是赋值语句M=p+p；这是两种性质迥然不同的语句。根据哥德巴赫猜想命题之一：每一个大于4的偶数都可以表为两个奇素数之和；显然，这是要求将两个奇素数之和这样的性质赋予偶数M，而不是在问两个奇素数之和是否总是等于偶数M。所以，求解哥德巴赫猜想，是不能采用p+p=M之方式的。
4：如何地在哥德巴赫猜想之问题上应用赋值语句N=p+p呢？
答：简单地说，就是运用抽屉原理和筛法。因为，对于加法关系N=a+b而言，若赋予其两个自然数之和，可以有：
N=1+(N-1)=2+(N-2)=3+(N-3)=…=N/2+N/2
共有N/2个。值得注意的是，根据抽屉原理，装载a+b元素的抽屉只有N/2个，而不是N个。运用筛法，就可将那些具有合数性质的a+b元素删掉，剩下的则是一些具有两个奇素数之和性质的a+b元素了。
5：怎样地在加法关系N=a+b所归纳的集合G中运用筛法呢？
答：所谓的筛法仅仅是一种通俗的说法，倘若按照正宗的数学语言，也就是说，必须根据集合论的选择公理以求取加法关系N=a+b所归纳的集合G中所存在着的函数。简单地说，就是根据真子集的包含关系，按顺序逐步地删掉具有某些性质的a+b元素，以求得集合G的良序化之链。显然，在加法关系N=a+b中，需要删掉的是那些具有合数性质的a+b元素，那么，剩下的就是一些具有两个奇素数之和性质的a+b元素。
值得注意的是，凡可根据集合论的选择公理以求取函数的集合，皆是可归纳的。故而，在实施筛法时，必须忠实地记录下真子集被删的过程，以便从中寻找出规律性的东西。
6：埃拉托色尼筛法是否可以用来求解哥德巴赫猜想？
答：不行。因为埃氏筛法是针对自然数列中的自然数而实施的，它的容斥原理之完备性条件是p=H~。而哥德巴赫猜想则是一道加法关系N=a+b中的习题，根据抽屉原理，其每一个a+b元素中有着二个自然数，故而，两者的完备性条件是不相同的。
7：求解哥德巴赫猜想的容斥原理之完备性条件是什么？
答：我们知道，在加法关系N=a+b中，若按素数或合数的性质赋予a+b元素，则有素数加素数、素数加合数和合数加合数这三种情况。如此，集合G有：
G=素数加素数+素数加合数+合数加合数
移项，有：
素数加素数=G-素数加合数-合数加合数
如此，我们规定：在区间[1,N/2]中的自然数以符号a表之，区间[N/2，N-1]中的自然数以符号b表之；且有，集合A所归纳的是a为合数的a+b元素，集合B所归纳的是b为合数的a+b元素。可知，集合A的补集A~所归纳的是a为素数的a+b元素，集合B的补集B~所归纳的是b为素数的a+b元素。由此，素数加合数+合数加合数也就是并集A∪B，而素数加素数则是交集A~∩B~。
那么，哥德巴赫猜想的完备性条件就是著名的摩根定律：
A~∩B~=(A∪B)~=G-A∪B=G-A-B+A∩B=G-H+A∩B
其中，A~∩B~=(A∪B)~为加法关系N=a+b中的容斥原理。
与埃氏筛法中的容斥原理p=H~相比较，显然，加法关系N=a+b中的容斥原理：
A~∩B~=(A∪B)~
要复杂了许多。
8：如何地根据摩根定律将加法关系N=a+b中的集合G予以良序化？
答：从摩根定律的展开式中知晓，可以有二种方法对加法关系N=a+b中的集合G予以良序化：G-A∪B和G-H+A∩B。
G-A∪B是双筛法。该方法是在加法关系N=a+b中，直接地针对着a+b元素进行筛选；在a+b元素中，只要其中有一个自然数合乎被删的条件，也就可将该a+b元素予以删掉。
G-H+A∩B是单筛法。该方法是在加法关系N=a+b中，先期地将那些具有不大于√N的素因数之自然数删掉，但因为在二个合数相加的a+b元素处，存在着A与B的交集A∩B被删了二次，故而，必须补上一次A∩B：G-H+A∩B。
9：能否对单筛法简而述之？
答：既然在摩根定律中有单筛法G-H+A∩B之说，毋庸置疑，必定地存在着一套求解的方法。G-H这一步骤是很简单的，只要用集合G的个数N/2，减去不大于N的合数之个数H，也就可完成这一步操作。但接下来的+A∩B之步骤却是十分地繁琐，必须用二阶逐步淘汰原则对A∩B予以分割。一般地，所谓的二阶逐步淘汰原则必须对：
Φ,H(f,e),H(g,e),…,H(α,e),H(β,e),H(γ,e),…
H(e,f),Φ,H(g,f),…,H(α,f),H(β,f),H(γ,f),…
H(e,g),H(f,g),Φ,…,H(α,g),H(β,g),H(γ,G),…
……
H(e,α),H(f,α),H(g,α),…,Φ,H(β,α),H(γ,α),…
H(e,β),H(f,β),H(g,β),…,H(α,β),Φ,H(γ,β),…
H(e,γ),H(f,γ),H(g,γ),…,H(α,γ),H(β,γ),Φ,…
这样的交集予以分割；以上诸字母e,f,g,…等，皆代表着不大于√N且与N互素的素数。如此，则可以有如下的逐步淘汰之情况：
H(f,e)，H(g,e)-H(fg,e)，H(h,e)-H(fh,e)-H(gh,e)+H(fgh,e)，…
－－－－H(g,f)-2H(eg,f)，H(h,f)-2H(eh,f)-H(gh,f)+2H(egh,f)，…
－－－－－－－－－－－－－H(h,g)-2H(eh,g)-2H(fh,g)+4H(efh,g)，…
－－－－－－－－－－－－－……
显然，这是一种很麻烦的方法，不宜提倡。倘若有人对此感兴趣，那么，其关键之点就在于G-(H-A∩B)；只有这样，才能予以计算。
10：双筛法又是怎样地进行良序化的呢？
答：与埃氏筛法一样，双筛法中的良序化之链仍是：
G＞π(2)＞π(3)＞π(5)＞π(7)＞π(11)＞…＞π(p_n)＞…
但是，与埃氏筛法不同，集合G是根据抽屉原理而归纳a+b元素的，其存在着性质相同却又互不相交的商集化子集；换言之，加法关系N=a+b中的集合G是偏序的。
根据加法公式N=np=(n-m)p+mp和N=nq+r=(n-m)q+mq+r，我们可以对加法关系N=a+b中的a+b元素进行划分。
从公式N=np=(n-m)p+mp中可知，素数p与N有公约数，则，(n-m)p与mp总是在同一个a+b元素中相加，有个数N/2p。如此，与素数p互素的a+b元素有个数：
N/2-N/2p=N/2(1-1/p)
对于与N有公约数的素数p，被称之为是加法关系N=a+b中的集合G之特征。
从公式N=nq+r=(n-m)q+mq+r中可知，素数q与N没有公约数，(n-m)q与mq有位差r，则，(n-m)q与mq总是不能在同一个a+b元素中相加，有个数N/q。如此，与素数q互素的a+b元素，有个数：
N/2-N/q=N/2(1-2/q)
所谓的集合G之偏序的性质就是由此而来。若采用集合论中的术语，就是说，集合G具有树状的结构。
集合G的良序化之链若与埃氏筛法相比较，它们的区别就在于：互素系数是不相同的；仅此而已。所以，运用与自然数集N同样的良序化之链的步骤，就可以对集合G良序化了。
11：为什么说加法关系N=a+b中的集合G是偏序的呢？
答：我们知道，埃氏筛法在自然数列上进行良序化时，若按最小素因数来归纳，每一种最小素因数只能归纳在一个子集合中；与之互素时，也只能删掉一种最小素因数所归纳的子集。如此，按素数的顺序予以筛选，下降之链是有序的。
但是，在加法关系N=a+b中，由公式N=nq+r=(n-m)q+mq+r而归纳的子集H(q)，由于(n-m)q与mq有位差r，故而，它们是不可能在同一个a+b元素之中的。然而，(n-m)q与mq又皆是每隔q个a+b元素出现一次，所以，具有素因数q之性质的子集有二个，且彼此间并不相交。如此，在与素数q互素时，我们需要删掉二个具有素因数q之性质的子集H(q)；其有互素系数1-1/q-1/q=1-2/q。
根据集合论对子集合的描述，凡拥有这种情况的集合被称之为具有树状的结构，且赋予了一个偏序集的名称。
12：互素系数1-1/p和1-2/q是否具有可乘积的性质呢？
答：根据二个加法公式，在加法关系N=a+b中，我们获得了1-1/p和1-2/q这样的二种互素系数。但是，这是与单一的素数互素的系数，显然，仅有这样的互素系数是无法求得集合G中函数的。若想获得集合G中所存在着的互素函数，还必须证明这样的互素系数是与自然数列中的互素系数1-1/p一样，为可乘积的。
设集合H(p)和H(w)是集合G的子集，它们的a+b元素都是根据N的特征而归纳。在集合H(p)中的a+b元素有出现概率(1-1/p)，在集合H(w)中的a+b元素有出现概率(1-1/w)；但是，集合H(p)与集合H(w)彼此间有交集。
集合H(w)有元素N/2w个，其中，有wp个元素与集合H(p)相交。所以，在集合H(w)中，与p互素的元素有：
N/2w-N/2wp=N/2w(1-1/p)
则在N=a+b中，与p和w互素的a+b元素有
N/2(1-1/p)-N/2w(1-1/p)=N/2(1-1/p)(1-1/w)
可知，在N=a+b中，与特征p互素的系数(1-1/p)，是可乘积的。
设有集合H(q)，其元素可由公式N=nq+r=(n-m)q+mq+r而表示，化mq+r成为另一素数v的倍数，有mq+r=kv，且V⊥N(符号“⊥”表示不整除)。可知：
【q不能整除kv，那么，(q-1)个数：v,2v,…,(q-1)v分别同余1到q-1，并且对模q互不同余：(k_1)v≠(k_2)v(mod q)】(费马小定理)
由于k_i＜q，因此，在N=a+b中与q的倍数而组成a+b元素的v之倍数，起始于
N=(n-m)q+kv
加减ipv i=0, 1, 2, …，有
N=(n-m-iv)q+(k+iq)v 1≤i≤N/vq
乃是每隔vq之数值而出现一次。由此可知，在集合H(q)中，与v互素不仅须对于q之倍数中具有v之素因数进行互素，而且还须对与之相加的另一个自然数中所具有的v之素因数进行互素。于是乎，在集合H(q)中，由q之倍数而构成的a+b元素的子集合中，与v互素的个数是N/q(1-1/v-1/v)=N/q(1-2/v)。
在N=a+b中，如果v⊥N，q⊥N ，则与素数v，q互素的a+b元素，分别地有：N/2(1-2/v)及N/2(1-2/q)。而与v，q互素的a+b元素在总体上，有：
N/2(1-2/v)-N/q(1-2/v)=(N/2-N/q)(1-2/v)=N/2(1-2/v)(1-2/q)
可知，在N=a+b中，与素数q互素的系数(1-2/q)，是可乘积的。
设有集合H(p)和集合H(q)，其中，p|N，q⊥N 。则有：
N/2(1-1/p)-N/q(1-1/p)=N/2-N/q(1-1/p)=N/2(1-1/p)(1-2/q)。
可知，在N=a+b中，与诸素数互素的系数，均是可乘积的。
13：在加法关系N=a+b中的p(1,1)有一般之解吗？
答：根据蔡梅罗先生的选择公理：【对任一不空集合X，都存在一个函数f，其定义域为X的所有不空的元素，取值分别在其作用的不空集合之中。】可知，在加法关系N=a+b中是可以运用测度理论而测量出具有某一素因数性质的a+b元素的个数之值，且根据概率论中条件概率之乘法定理，我们只要将诸互素系数按顺序予以相乘，就可获得集合G中p(1,1)的一般之解：
p(1,1)=N/2∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|N q⊥N
这个一般之解是根据外测度而获得的。
14：为什么要用外测度来测量p(1,1)的数据？
答：这是因为，公式N=nq+r=(n-m)q+mq+r中的素数q并不能整除N，显然，其商不可能是整数。但p(1,1)的个数所要求的却是整数，所以，计算之值与实际上的数据有差距。一般而言，计算从外测度开始最为方便，故而，对于p(1,1)的数据，先要用外测度来测量。
15：能否以实例说明一下偶数M中的双筛法？
答：所谓的双筛法是指摩根定律中的展开式：G-A∪B；式中的G之值为M/2，而A∪B则是具有合数性质的a+b元素之并集。
设M=20，则M=a+b有元素：
20=1+19=2+18=3+17=4+16=5+15=6+14=7+13=8+12=9+11=10+10
不大于√20的素数为2、3，而A∪B有元素：
2+18 3+17 4+16 5+15 6+14 8+12 9+11 10+10
其剩下的a+b元素为：
1+19 7+13
按一般之解而计算，有：
20/2(1-1/2)(1-2/3)=[20/12]=1
设M=26，则M=a+b有元素：
26=1+25=2+24=3+23=4+22=5+21=6+20=7+19
=8+18=9+17=10+16=11+15=12+14=13+13
不大于√26的素数为2、3、5，而A∪B有元素：
1+25 2+24 3+23 4+22 5+21 6+20 8+18 9+17 10+16 11+15 12+14
其剩下的a+b元素为：
7+19 13+13
按一般之解而计算，有：
26/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)=[78/60]=1
设M=100，按照逐步淘汰原则，其互素系数有：
1-1/2-2/3-1/5-2/7+2/(2*3)+1/(2*5)+2/(2*7)+2/(3*5)+4/(3*7)+2/(5*7)
-2/(2*3*5)-4/(2*3*7)-2/(2*5*7)-4/(3*5*7)+4/(2*3*5*7)
=1-1/2-{2/3-2/(2*3)}-{1/5-1/(2*5)}-{2/7-2/(2*7)}+{2/(3*5)-2/(2*3*5)}
+{4/(3*7)-4/(2*3*7)}+{2/(5*7)-2/(2*5*7)}-{4/(3*5*7)-4/(2*3*5*7)}
=1-1/2-2/3(1-1/2)-1/5(1-1/2)-2/7(1-1/2)+2/(3*5)(1-1/2)
-4/(3*7)(1-1/2)+2/(5*7)(1-1/2)-4/(3*5*7)(1-1/2)
=(1-1/2){1-2/3-1/5-2/7+2/(3*5)-4/(3*7)+2/(5*7)-4/(3*5*7)}
=(1-1/2){1-2/3-{1/5-2/(3*5)}-{2/7-4/(3*7)}+2/(5*7)-4/(3*5*7)}
=(1-1/2){1-2/3-1/5(1-2/3)-2/7(1-2/3)+2/(5*7)(1-2/3)}
=(1-1/2)(1-2/3){1-1/5-2/7+2/(5*7)}
=(1-1/2)(1-2/3){1-1/5-2/7(1-1/5)}
=(1-1/2)(1-2/3)(1-1/5)(1-2/7)
其剩下的a+b元素为：
11+89 17+83 29+71 41+59 47+53
按一般之解而计算，有：
100/2(1-1/2)(1-2/3)(1-1/5)(1-2/7)=[2000/420]=4
16：筛法是求解哥德巴赫猜想的唯一方法吗？
答：答案是肯定的。除了筛法，其它另辟蹊径的方法均是一些胡扯的东西。因为，在数学中，只有选择公理才是以良序化的操作步骤涉及到集合中每一个元素的划分，而哥德巴赫猜想所需要的正是这样的划分。
17：什么是集合的良序化？
答：分割集合中的元素，使之每一元素属于且仅属于某一不空的子集合。如此，所划分的子集合彼此间并不相交，且每一不空的子集合中皆有起先元素；这样的不空子集合被称之为商集化子集S(p)。若按顺序逐步地删掉这样的商集化子集S(p)，则可构成一条下降之链；此种下降之链被称之为良序化之链。
18：埃拉托色尼筛法是否亦有良序化之链？
答：是的。埃拉托色尼筛法是对自然数列中的元素所进行的良序化之操作。我们知道，所谓的埃氏筛法是以不大于√N的素数为筛子，且按素数出现的顺序逐步地删掉具有不大于√N的素因数之自然数。由于数论中有这样的一款定理：“每一个不大于N的合数都有一个不大于√N的素因数”，故而，当删掉了具有不大于√N之素因数的自然数后，剩下的自然数也就是√N至N的素数了。
19：埃氏筛法的良序化之链是如何地操作的？
答：我们知道，集合的良序化是指集合中每一商集化子集中都有起先元素，且诸商集化子集彼此间并不相交。如此，所谓的自然数集N中的良序化也就是按照最小素因数来划分自然数，而这个素数就是该商集化子集中的起先元素。诸商集化子集S(p_n)有函数：
S(2)=N/2
S(3)=N/3(1-1/2)
S(5)=N/5(1-1/2)(1-1/3)
S(7)=N/7(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)
S(11)=N/11(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)
……
S(p_n)=N/p_n{n-1∏i=1}(1-1/p_i)
……
式中的互素系数是根据概率论中的条件概率之乘法定理而得到的。
我们以符号“π”表示划分，且以π(p)表示删掉了具有不大于p的诸素因数之自然数后所剩下的自然数之集合。如此，则有：
π(p_n)=π(p_{n-1})-S(p_n)
例如，
π(2)=N-S(2)=N-N/2=N(1-1/2)
π(3)=π(2)-S(3)=N(1-1/2)-N/3(1-1/2)=N(1-1/2)(1-1/3)
π(5)=π(3)-S(5)=N(1-1/2)(1-1/3)-N/5(1-1/2)(1-1/3)=
=N(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)
……
π(p_n)=π(p_{n-1})-S(p_n)=N{n∏i=1}(1-1/p_i)
……
当N→∞时，有π(N)=N∏(1-1/p)；∏(1-1/p)为无穷乘积。
如此，根据真子集的包含关系，则可构成一条与诸素数p互素的良序化的下降之链：
N＞π(2)＞π(3)＞π(5)＞π(7)＞π(11)＞…＞π(p_n)＞…
这样的下降之链被称之为良序化之链。
20：为什么不采用通常在π(N)函数中的取整之步骤？
答：在π(N)函数中，通常在逐步淘汰时都采用取整的步骤。诚然，存在着取整之步骤确是可以精确地计算出素数的个数；但是，其也破坏了逐步淘汰原则中的完整性。应该知道，在逐步淘汰时的加加减减中，原则上是一直延伸到最后的一步才能算作完成；但取整的步骤截断了逐步淘汰至最后的一步，也就无法再从逐步淘汰原则中获得规律性的东西。所以，具有取整之步骤的π(N)函数，仅仅是具有计算出素数的个数之功能，却无法获知素数出现中的规律性。
21：良序化之链的有何用处？
答：在对集合的良序化之操作中，良序化之链的作用就在于集合论已然证明了存在着三个等价的条件：最小链条件、最小条件和归纳条件。
所谓的最小链条件是指下降之链中断于有限处。若集合是可良序化的，且以不大于√N的诸素数作为筛子，则下降之链必定地是中断的，其中断之处就在√N所表示的有限处。
所谓的最小条件是指在良序化之链中，存在着最小元素。所谓的最小元素是指在商集化子集S(p)中，存在着只有一个元素而构成的商集化子集合。例如，在自然数集N的商集化子集S(p)中，凡大于√N的素数p所归纳的商集化子集S(p)，均只有唯一的素数p作为元素。
所谓的归纳条件是指集合可以用数学归纳法而求取其中的函数。
显然，我们在集合的良序化之链的操作中，只要知晓其下降之链是否中断？也就可以知晓该集合是否存在着最小元素，抑或是否可以用数学归纳法来求取其中的函数了。
22：所谓的良序化之链具有什么样的性质？
答：由于素数有无穷多个，故而，任何的一个良序化之链均包含于某一更大的良序化之链中。换言之，所谓的良序化之链并没有最大的链，为循序渐进的潜无穷。
23：为什么奇数表为两个奇素数之和的个数为零？
答：显然，这是一个凭常识就可回答的问题；但对于数学而言，需要用数学的方式来回答。由于在奇数N的素约数中没有素数2，故而，在加法关系N=a+b中，2并不是特征。我们已经知道，对于非特征的素数，与之互素的a+b元素有互素系数为1-2/q；如此，对于奇数而言，就有互素系数1-2/2=0。存在着零因子。
如此，从集合G的良序化之角度上来看，良序化之链从一开始就已被中断了，并没有下降之链。换言之，在加法关系N=a+b中，当N为奇数时，在a+b元素中的最小素因数皆是2，是无法进行良序化操作的。
24：偶数M表为两个奇素数之和的个数是否有可能为零？
答：不可能。设M为偶数，可知，素数2与M有公约数，2为加法关系M=a+b中的特征。我们知道，除了素数2之外，其它的素数p之值均大于2，因此，1-2/p＞0。由此可知，对于偶数M而言，与不大于√M的诸素数互素的a+b元素之互素系数中，并不存在着零因子。由于诸互素系数均为大于零，如此，我们就可以根据条件概率中的乘法定理，求得诸商集化子集S(p)的出现概率；且根据良序化之链中的最小链条件，可知，下降之链必中断于√M处。由于最小链条件等价于最小条件，可知，该良序化之链中必定地存在着只有由素数元素而构成的商集化子集S(p)。所以，偶数M表为两个奇素数之和的个数是不可能为零的。
25：怎样地从良序化之链中求取偶数M的p(1,1)之互素函数呢？
答：我们知道，所谓的选择公理就是将集合中的元素按商集合的概念予以分割，且由此而构成了真子集包含关系的下降之链。若下降之链中断于有限处，则说明，我们是可以用数学归纳法而求取其中的函数。
对于偶数M而言，由于没有零因子，所以，这样的集合G是可以良序化的。但因为不同的偶数M有不同的特征，我们只能举例予以说明了。
设M=2^n，可知，其只有唯一的特征2，且有互素系数1-1/2；而其余的素数p皆不是特征，均有互素系数1-2/p。对集合G中的a+b元素商集化，则有商集化子集S(p)：
S(2)=(M/2)/2
S(3)=M/2*2/3(1-1/2)
S(5)=M/2*2/5(1-1/2)(1-2/3)
S(7)=M/2*2/7(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)
S(11)=M/2*2/11(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)
……
如此，按序逐步地予以删除，有：
π(2)=M/2-(M/2)/2=M/2(1-1/2)
π(3)=π(2)-S(3)=M/2(1-1/2)-M/2*2/3(1-1/2)=M/2(1-1/2)(1-2/3)
π(5)=π(3)-S(5)=M/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)
π(7)=π(5)-S(7)=M/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)
……
当n→∞时，则有：
p(1,1)=M/2(1-1/2){∏p＞2}(1-2/p)
其中，{∏p＞2}(1-2/p)为无穷乘积。
26：在集合G中，p(1,1)的一般之解是什么？
答：根据蔡梅罗先生的选择公理：【对任一不空集合X，都存在一个函数f，其定义域为X的所有不空的元素，取值分别在其作用的不空集合之中。】可知，在集合G中，是可以运用外测度而求取a+b元素的互素系数，且可根据条件概率而求取诸商集化子集S(p)的出现概率。
既然诸互素系数是可乘积的，那么，我们只要将诸互素系数按条件概率的方式予以相乘，就可获得集合G中p(1,1)的一般之解：
p(1,1)=N/2∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|N q⊥N
27：为什么用一般之解计算出来的p(1,1)之数据与实际的p(1,1)有误差？
答：由于非特征的素数q是除不尽M的，则由公式M=nq+r=(n-m)q+mq+r而获得的互素系数1-2/q，就必须用外测度来测量。我们知道，用外测度计算出来的数据肯定与实际函数的数据有一定的距离，所以，用一般之解计算出来的p(1,1)之数据，肯定与实际上的p(1,1)之个数存在着一定的误差。
28：是否有办法消除这种计算上的误差？
答：没有办法。因为，非特征的素数q除不尽M是客观存在的，而运用外测度来测量又是求取集合G中所存在着的互素函数之唯一的方法。所以，对于p(1,1)的计算，只能让其存在着一定的误差。
但是，对于误差，存在着正误差和负误差两种。如果我们将计算出来的数据大于实际的p(1,1)之个数的叫做正误差；反之，则称之为负误差。那么，只要让函数计算出来的误差总处于负误差的状态，也就可以满足哥德巴赫猜想的要求。
29：如何地求取具有负误差的p(1,1)的互素函数？
答：根据集合论的替换公理：【对于任意的公式A(x,y)，对于任意的集合t，当x∈t时，都有y，使得A(x,y)成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对所有的x∈t，在集合S中都有一元素y，使得A(x,y)成立。也就是说，由A(x,y)所定义有序对的类的定义域在t中时，那么它的值域可限制在集合S之中。】显然，我们只要改变一下函数中的定义域，就可以将值域限制在负误差的状态之中。
我们知道，互素系数的定义域是不大于√M的诸素数p的乘积，一般而言，该定义域远大于互素函数中的定义域M，所以，两者的定义域是不相匹配的。由于偶数M的定义域是不可变动的，剩下的也只有改变互素系数中的定义域了。
展开一般之解p(1,1)=M/2∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|M q⊥M的乘积，由于在互素系数中，除了3-2=1外，其余相邻的素数之差值，均是不会小于2的：若i＜j，则(p_j)-2≥p_i。由此可知，后一因式中的分子之值总是大于或等于前一因式中的分母。根据“每一个不大于M的合数都有一个不大于√M的素约数”之定理，则系数中最大的素数之值是不会大于√M的。如此，将后一因式中的分子移位与前一因式中的分母相约，且保留所谓的最后因式的分母，其余的相约后均以1而表之。由于3-2=1，而素数3有可能不是特征，则第一个因式1-1/2，也须保留。于是有：
p(1,1)≥(M/2)*(1/2)*(1/p_n)≥(M/4)*(1/√M)=√M/4
由此可知，任取一充分大的偶数M表为两个奇素数之和的个数并不会少于√M/4。当M→∞时，有lim √M/4→∞。
30：哥德巴赫猜想之解有无数学上的意义？
答：应该是意义重大。如果仅仅是证明了p(1,1)≥√M/4，以确定哥德巴赫猜想为真，那么，这样的证明毫无数学上的意义。然值得注意的是，哥德巴赫猜想的一般之解所述说的是互素系数，与自然数列中的互素系数∏(1-1/p)相比较，哥德巴赫猜想的一般之解有着诸多的特征之值。这不同的特征之值所反映的究竟是什么现象呢？乃是一个值得深思的问题。
我们知道，自然数集N是可数集的代表，其基数在无穷集合的基数中被视之为最小的。然而，我们以良序化的方式对自然数集N中的元素予以划分，其互素的系数所得到的只能是无穷乘积∏(1-1/p)，始终不能越雷池一步。但在对哥德巴赫猜想的研究中，轻易地就可越过无穷乘积∏(1-1/p)的束缚，而获得具有特征的一般之解。比较无穷乘积∏(1-1/p)与哥德巴赫猜想一般之解的互素系数之大小，不难发现：
∏(1-1/p)∏(1-1/q)＞∏(1-1/p)∏(1-2/q)
无穷乘积∏(1-1/p)的互素系数大于任何特征的p(1,1)函数中的互素系数。此一现象意味着什么？应该说，只有在稠密度不相同的情况时，才会发生。换言之，自然数集N中元素的稠密度疏于加法关系M=a+b的集合G中元素的稠密度。
我们知道，在对实数集R中的诸点作述说时，谓之为处处稠密；而在对自然数集N中的诸点作述说时，谓之为离散的。显然，这稠密度是可以用来衡量无穷集合的基数之大小。由此可知，哥德巴赫猜想的一般之解所表达的应该是介于自然数集N与实数集R之间的一些无穷集合的基数。
胡桢写于06-07-23. [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 胡思之 在 时添加 -=-=-=-=-
哥德巴赫猜想一百问(中篇1)－－胡桢
31：为什么数论学家会说不能用概率的方法求解哥德巴赫猜想？
答：这是因为，数论学家都认为素数的出现概率等于零；所谓的素数的出现概率是指lim π(N)/N。而让数论学家有这样认知的是因为无穷乘积∏(1-1/p)；所谓的无穷乘积∏(1-1/p)指在自然数列中自然数与无穷多个素数互素时的系数：lim π(N)/N=∏(1-1/p)。有人凭想象而认为无穷乘积∏(1-1/p)发散于零(华罗庚语)，也有人用归谬法欲证明无穷乘积∏(1-1/p)=0。总而言之，在认定了无穷乘积∏(1-1/p)=0的情况下，也就不可能再运用概率的方法求解哥德巴赫猜想了。
32：无穷乘积∏(1-1/p)是否真的等于零？
答：肯定不等于零；只要运用数学归纳法就可证明无穷乘积∏(1-1/p)＞0。
在相邻的素数之差中，除了3-2=1之外，其它的素数之差必定有：若t＞s，则有p_t-1＞p_s。显然，只要将乘积中后一因式的分子移位至前一因式的分母上，且予以相约，就可以获得：
{n∏i=1}(1-1/p_i)＞1/p_n
之式；哪怕让n→∞，在自然数列中也不会有后一素数与前一素数是相同的情况出现。由此可知，若运用数学归纳法，自始至终，都是存在着不等式：
∏(1-1/p)＞lim 1/p_n→0
换言之，数论学家所认为的无穷乘积∏(1-1/p)=0乃是谬误的。
33：数论学家对无穷乘积∏(1-1/p)的谬误认知具体表现在哪里？
答：先说华罗庚先生在《数论导引》的书中，其对于无穷乘积∏(1-1/p)发散于零之定理并无任何的证明，仅仅是继叙述欧拉恒等式之后说了这样的一句话；如此，就必须从欧拉恒等式上予以考查。我们知道，所谓的欧拉恒等式是指：
{∞∏k=1}(1-1/{p_k}^m)^(-1)≡{∞∑ι=1}1/ι^m m＞1
当m=1时，左边的是无穷乘积∏(1-1/p)^(-1)，右边的是调和级数∑1/ι，而此时的恒等关系并不成立。
欧拉恒等式是以等比级数而展开函数(1-1/p^m)^(-1)的：
(1-1/p^m)^(-1)=1+1/p^m+1/p^2m+… (1)
且将诸素数p_1,p_2,…,p_n按序对函数(1-1/p^m)^(-1)作乘积，根据(1)式，两边可得：
{n∏i=1}(1-1/{p_i}^m)^(-1)=1+1/2^m+1/3^m+…+1/N^m+1/(N1)^m+… (2)
这样的全等式。在这里，之所以要用N,N1,N2,…等书写之，乃是因为，若是有大于p_n的素数为素因数时，这样的自然数就不可能在(2)式中出现，所以，自N始，之后的分母不再按自然数序而排列，相对于自然数列而言，有缺项。当n→∞时，则有全等式：
{∞∏k=1}(1-1/{p_k}^m)^(-1)={∞∑ι=1}1/ι^m+1/N1^m+1/N2^m+…
所谓的恒等关系就是在不顾及无穷小量ε之存在的基础上成立的：
1/N1^m+1/N2^m+…＜ε
但当m=1时，由于调和级数∑1/ι是发散的，有1/(N1)+1/(N2)+…＞ε，则恒等关系并不成立。
所谓的恒等关系是在不顾及缺项的情况下而使之恒等的；这说明，实际上，恒等式的左边是小于右边的。但为了不至于无穷无尽地纠缠下去，稍许扩大一点点左边的数值，补齐了那些缺项，也就可以使之恒等了；这在一致收敛的级数中是被允许的。但这样的恒等关系在m=1时并不存在，因为，调和级数∑1/ι是发散的。
可是，数论学家为了让调和级数∑1/ι也参与进来，则对于发散的调和级数∑1/ι中的缺项予以了删除；如此，就有了：
{∞∏k=1}(1-1/{p_k})^(-1)＞{∞∑ι=1}1/ι
之式，且又让{∞∑ι=1}1/ι等于了调和级数∑1/ι。
在这里，数论学家全然不顾被截了肢的调和级数∑1/ι已经不再是发散的级数了，纵然所书写的是{∞∑ι=1}1/ι，但其实际上已是一个不折不扣的有限级数。正确的推理应该是：
{∞∏k=1}(1-1/{p_k})^(-1)=∑1/ι-A
这里的A为在全等式中所归纳的诸缺项之集合。移项，有：
{∞∏k=1}(1-1/{p_k})^(-1)+A=∑1/ι
则有：
{∞∏k=1}(1-1/{p_k})^(-1)=∏(1-1/p)^(-1)＜∑1/ι
从而，有：
∏(1-1/p)＞0
可见，无穷乘积∏(1-1/p)并不发散于零，而是大于零。
在王元先生的《谈谈素数》一书中，有：
【引理4：无穷乘积∏(1-1/p)=0，此处p通过所有的素数。
证：如果引理不成立。由于1＞1-1/p＞0, 所以
∏(1-1/p)=a＞0
从而
1/a=∏(1-1/p)^(-1)
记M=2^t，这儿t=2([1/a]+1)。所以得
1/a=∏(1-1/p)^(-1)＞{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)
={∏p≤M}({∞∑i=0}1/{p_i})
＞{M∑(n-1)}1/n＞1+(t/2)=[1/a]+2＞(1/a)+1.
即1/a＞1/a+1。这是不可能的，因此引理成立。】
这是用归谬法对无穷乘积∏(1-1/p)=0的证明。一开始，王元先生就已设定了∏(1-1/p)^(-1)＞{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)，之所以言之为“设定”，因为这里并没有证明，而是凭想当然地赋予了大于符号之存在。当然，若王元先生认为这一个{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)是有限乘积，这样的关系肯定是存在的。问题就在于，乘积中所讲的是：记M=2^t，这儿t=2([1/a]+1)，其中的1/a是∏(1-1/p)^(-1)。如此，就存在着究竟是∏(1-1/p)^(-1)大还是{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)大的问题？
让我们用数学归纳法来看一下。
设{n∏i=1}(1-1/p)=a、M=2^t、t=2([1/a]+1)，且存在着有穷乘积{∏p≤M}(1-1/p)。
当n=1时，a=1-1/2=1/2，而M＝2^{2(2＋1)}＝2^6＝64，则有1/2＞{∏p≤64}(1-1/p)，即2＜{∏p≤64}(1-1/p)^(-1)。
当n=2时，a=(1-1/2)(1-1/3)=1/3，而M=2^{2(3+1)}=2^8=256, 则有1/3＞{∏p≤256}(1-/p)，即3＜{∏p≤256}(1-1/p)^(-1)。
依此类推，当n→∞时，有{∞∏i=1}(1-1/p)=∏(1-1/p)=a，而从指数函数M=2^t中可知，M应该是比∏(1-1/p)^(-1)更高阶的无穷大。
倘若一定要设定∏(1-1/p)^(-1)＞{∏p≤M}(1-1/p)^(-1)，那么，这里的t就不能是t=2([1/a]+1)，应该是t=2([1/b]+1)；引理所推理的则是1/a＞1/b+1。对于这样的不等式，毋庸置疑，乃是毫无意义的。
再说，如果让p通过所有的素数，这样的说法根本是违背了数论中的定理。假设这样的说法成立，则在等差数列kn+i中会引起什么样的后果呢？
我们知道，所谓的等差数列kn+i，实际上就是模k的简化剩余类：M＝kn+r。因此，在等差数列kn+i中，由于(k,i)=1, 所以，凡与k有公约数的自然数，均不可能出现在等差数列kn+i中。
由于k的任意性，设(k,p)=d＞1；这里的p通过所有的素数。于是，在等差数列kn+1中：(k+1),(2k+1),(3k+1)，…等都是素数。
理由是：凡与k有公约数的合数不可能出现在等差数列kn+1中，而所有的合数均与k有公约数。于是，在等差数列kn+1中，只可能是由素数而构成。
换言之，当认为p已经通过了所有的素数时，却有无穷多个素数在其后面。之所以会引出如此的悖论，原因就在于：假设了p可以通过所有的素数。
34：若无穷乘积∏(1-1/p)=0对数学会造成什么样的影响？
答：若无穷乘积∏(1-1/p)=0对数学所造成的负面影响应该是很大的。我们知道，所谓的无穷乘积∏(1-1/p)指的是自然数列中与无穷多个素数互素时的系数，倘若无穷乘积∏(1-1/p)=0，则表示，从此不能再从选择公理的角度上对无穷集合的基数予以考察了。因为，自然数集N是所有的无穷集合中基数最小的一个，而无穷乘积∏(1-1/p)正是自然数集N的良序化之链中函数的系数，其值若为零，则是在说，不可能再存在着比无穷乘积∏(1-1/p)更小的系数。然而，所谓的选择公理正是从真子集的包含关系中选择其所需要的函数，而函数的系数则起着与无穷乘积∏(1-1/p)这样的互素系数之同样的作用。如果连无穷乘积∏(1-1/p)都已等于零，毋庸置疑，良序化之链决定了其它的无穷集合的函数系数也只能是等于零。以不变应万变，如此，选择公理也就成为是多余的了。
可以说，而今对选择公理的种种质疑，正是由于无穷乘积∏(1-1/p)=0所造成的。
35：若无穷乘积∏(1-1/p)=0对哥德巴赫猜想会造成什么样的影响？
答：若无穷乘积∏(1-1/p)=0，显然，就不能再从互素的角度上对哥德巴赫猜想予以考察了。如此，除了胡说八道之外，数论学家是再也没有其它的办法可对哥德巴赫猜想述说一些什么了。
36：数论学家为什么要在哥德巴赫猜想之问题上胡说八道的呢？
答：显而易知，当数论学家认定了无穷乘积∏(1-1/p)=0，也就必须回避小于无穷乘积∏(1-1/p)的互素系数之存在。于是乎，所有对哥德巴赫猜想的解释，数论学家全都是围绕着如何地做出一些大于无穷乘积∏(1-1/p)的互素系数而努力；否则，也就没有“素数的出现概率为零”的立足之地了。
37：数论学家在哥德巴赫猜想问题上的胡扯具体表现在哪里？
答：天下的数论学家全都认为，可以用逐步逼近的方法来促使哥德巴赫猜想就范。由于长时间以来哥德巴赫猜想未曾获得解决，迫使某些数论学家别出心裁地认为，如果不能一步到位地解决哥德巴赫猜想，则可从殆素数上着手，逐步地下降p(x,y)中素约数的个数，使之最终到达p(1,1)之解。
如此思惟，应该是很幼稚的。因为，数论学家所求解p(x,y)的方法，是基于与不大于x^(1/c)的素数互素的基础上的。譬如，布郎先生的p(9,9)乃是与不大于x^(1/10)的素数互素；陈景润先生的p(1,2)乃是与不大于x^(1/3)的素数互素，…等等。然而，真的能与不大于x^(1/c)的诸素数互素吗？这只能是数论学家一厢情愿的事。
须知，x是变量，从而不大于x^(1/c)的素数也是在不断地变化着。对于不大于100^(1/2)的素数，若放置于1000中，则是不大于1000^(1/3)的素数；若放置于10000中，则是10000^(1/4)的素数。反之，对于不大于10000^(1/4)的素数，若放置于100中，则是不大于100^(1/2)的素数。
然而，当x→∞时，无论是x^(1/2)，还是x^(1/3)，抑或是x^(1/10)，它们均有唯一的互素系数，这就是无穷乘积∏(1-1/p)。换言之，当x→∞时，与不大于x^(1/c)的素数互素，不管c什么样的整数，只要c是有限之值，并无任何的区别。
哥德巴赫猜想是一个必须让x→∞的习题，所以，对其求解，也只有唯一的答案是可以作为的，这就是p(1,1)之解。
对哥德巴赫猜想的求解中，有布郎先生的p(9,9)，有陈景润先生的p(1,2)，…等等。若非是在胡扯，那么，他们的答案应该是一致的。但布郎先生的p(9,9)与陈景润先生的p(1,2)所述说的，答案却是不一样的。
38：数论学家缘何能有如此的胡扯？
答：这应该与所谓的解析数论自成一体的系统有关。譬如，在求解哥德巴赫猜想的问题上，数论学家并不是根据选择公理对所涉及的元素予以分割，而是以其自创的东西而述说着。不接受正宗的数学原理作为解析数论之系统的原理，让胡扯充斥其内，也就不足为怪了。
39：数论学家又是怎样地胡扯的呢？
答：让我们来看一下，所谓的大筛法究竟是怎么回事？下面之式摘自王元先生所著的《哥德巴赫猜想》一书中：
【{∑k≤x,(h,k)=1}max|π(x;k,i)-Lix/φ(k)|=o(x/{(log x)^c_1})】
其中，π(x;k,i)为等差数列kn+i中的素数个数；Lix函数就是素数定理中用于与函数π(x)等价的函数；φ(k)为欧拉函数。
如果我们仍用解析数论的语言作解释，肯定是说不清楚的；如此，让我们采用正宗的初等数论之语言来作解释。
π(x;k,i)所指的是等差数列kn+i中所存在着的互素函数，由于k与i互素，故而，凡与k有公约数的自然数(x,k)=d，肯定是不会出现在等差数列kn+i中的。如此，在π(x;k,i)函数中，是可以先期地将k{∏p|k}(1-1/p)所表述的元素排除于外；k为等差数列kn+i中的步长。
若将Lix函数还原为π(x)函数，则有：π(x)=x{∏p≤√x}(1-1/p)；而φ(k)函数为k{∏p|k}(1-1/p)。可知，π(x)/φ(k)有：
π(x)/φ(k)=x{∏p≤√x}(1-1/p)/k{∏p|k}(1-1/p)
这就是说，π(x)/φ(k)所述的是将k{∏p|k}(1-1/p)之元素从π(x)函数中排除于外。换言之，有：π(x;k,u)=π(x)/φ(k)。
由此可知，所谓的大筛法若用初等数论的语言作解释，则有：
|π(x;k,i)-π(x)/φ(k)|=0
这样的结论肯定不会是数论学家所需要的。于是乎，用Lix函数替代π(x)函数，制造出了|π(x;k,i)-Lix/φ(k)|这样的具有差值的大筛法，也就可以在所谓的等价函数o(x/{(log x)^c_1})掩护下，无中生有了。
40：所谓的解析数论又是怎样地推理演绎的呢？
答：让我们摘抄一段解析数论用于某定理之证明的全过程：
【(3) {∏p≤x}(1-1/p)≥1/(log x)^32, x＞9.
证：令
y={∏p≤x}(1-1/p),
则
log y=log {∏p≤x}(1-1/p)={∑p≤x}log (1-1/p). (3.33)
因为当0≤a≤1/2时，2a+log(1-a)≥0，所以
log(1-1/p)≥-2/p.
将上面的不等式代入(3.33)得到
log y≥-2{∑p≤x}1/p,
再将(3.31)代入上式得到
log y≥-32loglog x.
即
y≥1/(log x)^32, x＞9.】
上述的推理摘抄于潘承恩先生所著的《素数分布与哥德巴赫猜想》一书中。
这里的y={∏p≤x}(1-1/p)，也就是说，有：
{∏p≤x}(1-1/p)≥1/(log x)^32
我们知道，当x→∞时，y所表示的是无穷乘积∏(1-1/p)，而无穷乘积∏(1-1/p)在π(x)函数的地位是互素系数。如果没有搞错的话，π(x)函数应该是与x/log x函数等价的。则有：
∏(1-1/p)≈lim 1/(log x)
这个1/(log x)就是所谓的素数密率，为素数定理所证明。根据独立事件的乘法定理，应该有：
{∏(1-1/p)}^32≈lim 1/(log x)^32
换言之，若从正宗的素数定理而言，lim 1/(log x)^32所等价的应该是32维的直积集合N^32中的互素系数{∏(1-1/p)}^32，而不是等价于自然数集N中的互素系数∏(1-1/p)。
41：什么是圆法？
答：应该说，所谓的圆法是一种“脱裤子放屁－－多此一举”的方法。
我们知道，圆法是利用了三角和函数与剩余类同构的情况，以积分的形式而叙述的。若用于哥德巴赫猜想，其必须满足的充要条件是：p1+p2-N=0。由于谁也不知道对三角和函数的积分能得到的究竟是什么？于是乎，数论学家只好将积分函数的上下限细分为无数个小区间，让所谓的黎曼猜想起作用。但是，光有黎曼猜想中的零点是不够的，因为，还必须满足充要条件p1+p2-N=0。如此，在圆法的求解中就必须让除数函数的∑1参与进来，且在测量∑1之值时，赋予了p1+p2-N=0这样的条件。
如果在除数函数的∑1中已然知道了具有p1+p2-N=0这样条件的元素，如此，也就已然知晓了p(1,1)的情况；还要这圆法作甚？
42：圆法在哥德巴赫猜想中所起到的作用又是怎样的呢？
答：虽然说，圆法只是一种“脱裤子放屁－－多此一举”的方法，但其在求解哥德巴赫猜想时所起到的作用却是巨大的。因为，用于哥德巴赫猜想中的互素系数Cx：
Cx={∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)
正是在圆法中所提到的，且以符号Cx而闻名。这并非是说，用圆法可以获得这样的互素系数，而是说，这样的互素系数是在圆法中获得推广的。
我们知道，用圆法对三角和函数求取积分，是什么也得不到的；但是，抵不住圆法可以利用这无法积分的情况而胡扯呀！所谓的Cx这样的互素系数，据哈代先生说，最早是由西尔怀斯特先生于1871年发表的一篇短文中所作的建议，但并没有给出任何的证明。若用哈代先生的话，这就是：“其真实性由经验检证”。
43：为什么说Cx是经验之式？
答：这是因为，数论学家根本就不知道Cx这样的互素系数来自于何处？但由于其确实能近似地计算出p(1,1)的个数之值，弃之可惜，用之又不能求证；不得已，只好将Cx言之为是经验之式了。
44：能否将Cx的来历找出来？
答：尽管数论学家含糊其词地不愿意将Cx的来历讲述清楚，且以经验之式而论之。但只要细心地予以分析，也就可知其来自于：
(1-2/p)/{({p-1}^2)/p^2}={(p-2)/p}*{p^2/({p-1}^2)}
={(p-2)*p^2}/{p*({p-1}^2)}={(p-2)*p}/{(p-1)^2}
={p^2-2p}/{p^2-2p+1}={1-1/(p-1)^2}
原来这所谓的互素系数1-1/(p-1)^2是用(1-2/p)除以(1-1/p)^2而获得的。
45：什么是除数函数？
答：所谓的除数函数就是在集合中记录下能被某一数字d所整除的元素的个数之值：{∑d|n}1。若用通常的除法来解释，也就是：n是被除数，d是除数，而商值{∑d|n}1必须是取整的；不要那个余数。
除数函数乃是一个很简单的函数，然而，其在数论中所起的作用却是至关重要的。因为，数论之最为重要的功能之一就是求取与某相关素数的个数之函数，如此，除数函数也就成了求取该函数唯一的依据。譬如，π(x)函数就是根据自然数列中的除数函数而求得的函数。
正因为除数函数是如此的简单，所以，它是数论中最基础的函数。
46：在哥德巴赫猜想中是否也必须用除数函数来求解？
答：当然如此。因为，唯有运用除数函数才能测量出所涉及的集合的元素个数。但是，必须注意的是，对于所涉及的集合之元素个数的测量，只有在正宗的数学理论指导下，才能完成之。
譬如，在加法关系M=a+b中，根据抽屉原理，从公式M=np+r=(n-m)p+mp+r中可测量出二个具有素因数p的a+b元素之集合，且这二个集合彼此并不相交。如此，利用除数函数，我们就可以有：
1-1/p-1/p=1-2/p
这样的互素系数。
任何另辟蹊径的做法，皆是违背了数学的原理，乃是在对数学的歪曲。
47：所谓的解析数论是如何地利用除数函数的呢？
答：由于数论学家全都认为素数的出现概率为零，故而，解析数论对除数函数的运用并不是以测度理论而测量的，却是采用了所谓的Mǒbius变换，欲将所搜索到的离散数据变换成为其所需要的连续函数：
g(n)={∑d|n}f(d)h(n/d)
应该说，该Mǒbius变换是模仿了全概率公式：
P(B)={n∑i=1}P(A_i)P(B/A_i)
的形态而作出的变换。如果说，Mǒbius变换真的能将那离散的数据变换成为连续函数，未尝不是一种好办法。但是，所谓的解析数论除了在欧拉恒等式所作的变换之外，却从来就没有确切无疑地变换成功了什么连续函数，仅是利用了Mǒbius变换胡扯乱侃一番而已。
在圆法中，数论学家意欲对三角和函数求积分，可是失败了；因为，谁也不知道对三角和函数的积分能获得什么样的函数。其实，在此种积分函数中，所谓的三角和函数所起的作用与除数函数所起的作用，完全是一样的，是在对∑1求积分。可以说，解析数论利用所谓的Mǒbius变换除了成功地将调和级数∑1/ι变换成为对数函数logι之外，真的不知道是否还有第二个成功之例。
48：数论学家又是如何地在除数函数上胡扯的呢？
答：我们知道，log N函数是对数函数，其中并无任何素数出现的规律可言，之所以会将log N函数用于素数的问题上，原因就在于：N/log N≈π(N)；故而，1/log N是被当作素数密率而论之，其所对应的是π(N)中的互素系数∏(1-1/p)。既然如此，那么，就应该时刻记住这素数密率1/log N的功能，决不能肆意胡为。
根据独立事件的乘法定理，那么，素数密率的平方(1/log N)^2也就是直积集合N*N中的素数密率{∏(1-1/p)}^2的替代品。依此类推，则在n维的直积集合N^n中，素数密率(1/log N)^n所替代的是{∏(1-1/p)}^n，而不是其它。
但数论学家在所撰写的论文中，根本就不管素数密率1/log N的功能，而是肆意地将除数函数变换成不同指数的log N函数。有指数为5的，有指数为11的，也有指数为1.1的；下笔最狠的当数陈景润先生，竟然会以指数为200的数值赋予了log N函数。
诚然，在利用log N函数的指数胡扯时，那些数论学家最终都会将素数密率中的指数回归于平方之数：(1/log N)^2；然此乃数论学家的无奈之举。这是因为，加法关系M=a+b中的a+b元素，在直积集合N*N中是以{a,b}元素而表示的；在直积集合N*N中，是不可能测量出比{∏(1-1/p)}^2更高阶指数的互素系数的；故而，在实际数据的束缚下，只能将函数回归于指数为平方的素数密率(1/log N)^2中。
从数论学家滥用素数密率1/log N的指数上可知，除了胡扯之外，数论学家根本就没有真正地作出过合乎规律的Mǒbius变换，将所涉及的除数函数积分成为连续函数。须知，除数函数只能是采用出现概率的方式而测量，并无第二种的测量方法。
49：为什么不能利用素数密率1/log N的指数来求解哥德巴赫猜想呢？
答：我们知道，对Lix函数与π(N)函数之间的等价关系之严格证明是素数定理，所谓的素数密率1/log N仅仅是一种不正规的叫法。但是，无论是素数定理，还是N/log N函数，它们所替代的始终都是π(N)函数。既然要利用素数密率1/log N来计算素数的个数，那么，就必须遵守其中素数的出现规律而叙述。由于素数密率1/log N所替代的是∏(1-1/p)，那么，在利用对数函数log N时，就应该知道，与之相对应的是什么？而不能肆意妄为之。
我们知道，在自然数集N中，π(N)/N=∏(1-1/p)所指的是素数的出现概率；那么，∏(1-1/p)^2所指的就是直积集合N*N的有序对{a,b}中二个自然数皆是素数的出现概率。在直积集合N*N中，与a+b元素相对应的有序对{a,b}为：
{1,N-1} {2,N-2} {3,N-3} {4,N-4} {5,N-5} … {N/2,N/2}
此仅仅是直积集合N*N中的有序对{a,b}：
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} … {1,n-1} {1,n} …
{2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} … {2,n-1} {2,n} …
{3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} … {3,n-1} {3,n} …
{4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} … {4,n-1} {4,n} …
……
{n,1} {n,2} {n,3} {n,4} {n,5} {n,6} … {n,n-1} {n,n} …
……
之一部份。如果仅以N/2∏(1-1/p)^2来计算与a+b元素相对应的有序对{a,b}，这是在将直积集合N*N中的互素系数∏(1-1/p)^2摊派于N/2个有序对{a,b}上。应该知道，奇数表为两个奇素数之和的个数为零，由此可知，将互素系数∏(1-1/p)^2摊派于N/2个有序对{a,b}上的概率是随机的，并非是规律性的东西。
50：为什么说数论学家运用对数函数log N求解哥德巴赫猜想是在胡扯？
答：我们知道，互素系数∏(1-1/p)与素数密率1/log N之间仅相差了一个乘积因子e：e=1.123…：
N/2∏(1-1/p)^2≈N/2*e^2*(1/log N)^2
而直积集合N*N中的素数密率之摊派都是随机的。须知，根据Mǒbius变换使之成为log N函数的是调和级数∑1/N，并非是任何的等差数列kn+i都可以为之的。
一般而言，数论学家在计算p(x,y)的数值时，都会用上Cx这种互素系数的，而Cx这样的互素系数也总是与(1/log N)^2这样的函数牢牢地结合在一起，想将它们分开也办不到；如此，也就应该对此问上一个“为什么”。但是，数论学家仅是将Cx这样的互素系数视之为经验之式，却不问Cx这样的互素系数为什么必须与(1/log N)^2这样的函数结合在一起？正因为数论学家根本就不知晓Cx之互素系数的来历，于是乎，随意地改变对数函数log N的数值以求取哥德巴赫猜想之解，也就成为了数论学家唯一的选择。
然而，函数(1/log N)^2乃是直积集合N*N中的素数密率对有序对{a,b}元素之摊派，又岂是可以随意地予以改变的？所以，在哥德巴赫猜想的问题上，数论学家除了胡扯之外，别无它法矣！
胡桢写于06-07-27.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 胡思之 在 时添加 -=-=-=-=-
哥德巴赫猜想一百问(中篇2)－－胡桢
51：数论学家的临门一脚是什么？
答：由于数论学家采用解析数论而解的哥德巴赫猜想一派胡言，故而，欲想从中作出合乎数理的推断，根本是不可能的。但是，在对实际的p(1,1)之数据作计算时，又不能过于地离谱，从而，数论学家都会将所计算的函数之互素系数，回归于cxCx/(log N)^2这样的函数上来。
那么，回归到(1/log N)^2这样的素数密率上来有什么作用呢？
无疑，这与Cx之式有关。我们知道，数论学家所采用的Cx之式为：
Cx={∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)
一般而言，数论学家都会以cxCx/(log N)^2这种方式以作为最后的陈述，因为，这是数论学家的经验之式。若将(log N)^2还原为∏(1-1/p)^2这样的互素系数，且注意：
{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)={∏p＞2}(1-2/p)/(1-1/p)^2
那么，所谓的Cx/(log N)^2这样的函数，所指的就是互素系数：
1/4{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}(1-2/p)
两者仅相差了(log N)^2还原为∏(1-1/p)^2时的一个常数因子之平方e^2。
显然，还原后的互素系数就是运用双筛法而求得的互素系数。但是，由于其中的互素系数1-2/p小于1-1/p，也就为数论学家所不容。于是乎，数论学家宁可绕着圈子采用Cx/(log N)^2之式，也不愿意采用初等数论的方法，直接地从加法关系M=a+b中求取偶数M的p(1,1)之互素系数：
1/2{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}(1-2/p)
既然不愿意书写1-2/p这样的互素系数，那么，cxCx/(log N)^2之式也就成为数论学家唯一的选择了。
52：为什么数论学家的临门一脚在p(1,1)处会失效呢？
答：应该说，数论学家的临门一脚所采用的cxCx/(log N)^2之式，在p(1,1)处并不会因此而失效，主要是数论学家在胡扯时所引入的那些函数于p(1,1)处会失效。以陈景润先生为例，他在论文中引入了：
{∑x^(1/10)＜p1＜x^(1/3)＜p2＜(x/p1)^(1/2)}(1/log {x/p1*p2})
这种除数函数，且计算一直是围绕着此种所谓的除数函数而展开着。一般而言，除数函数按所给之条件所测量得到的只能为∑1；而陈景润先生按条件还能测量出(1/log {x/p1*p2})这样的函数？这确是陈景润先生的创举。然而，在p(1,1)处，殆素数不复存在时，也就再也无法利用此种所谓的除数函数，予以胡扯了。
53：所谓的解析数论在哥德巴赫猜想问题上最大的卖点是什么？
答：解析数论在哥德巴赫猜想问题上最大的卖点并非是函数所作出的解析，却正是所谓的经验之式：cxCx/(log x)^2。
因为，数论学家在其所作的解析中，根本就没有严格地对其所应用的函数作过任何确切的证明，仅是一味地胡扯一番而已。须知，素数定理在证明Lix函数与π(x)函数等价时，化费了多大的劲，才将这二个函数的等价关系搞定；难道说，那些数论学家在将离散的除数函数转换成为连续函数时，只需要廖廖数语就能搞定？数论学家在证明哥德巴赫猜想时，乃是一直不停地将除数函数予以述说，且不断地变换着其中的互素条件；如这样的条件之变化而获得的函数，应该比之Lix函数与π(x)函数的等价关系之证明，更难。但是，数论学家却可以在毫不费劲的情况下，轻易地就写下了与这些除数函数等价的连续函数。
数论学家总是将他们所采用的函数，言之为是前人所证明的。但从p(10,10)至p(1,2)，在数论学家的眼中应该是不一样的，那么，哪里来的前人所证明的且可沿用的与所陈述的除数函数等价的函数耶？
然而，数论学家在最后的一步都是会将函数回归于cxCx/(log x)^2上，所不同的仅仅是其中的常数系数c之不同。毋庸置疑，解析数论最大的卖点也就是这个所谓的经验之式：cxCx/(log x)^2。所以，数论学家的种种胡扯，仅仅是为了给这个经验之式配之以某一个常数系数c而已。
54：为什么cxCx/(log x)^2会成为数论学家的最终选择？
答：这是因为，对cxCx/(log x)^2函数配之以不同的常数系数c，确能十分有效地反映出p(x,y)的数据。经验告诉了数论学家，存在着cxCx/(log x)^2这样的一个函数，若配之以某一常数系数c，是可以确切无疑地计算出p(x,y)的个数：选择较大的常数系数c，所反映的是外测度上的数据，也就是函数的外点；所得到则是殆素数的数据。选择较小的常数系数c，所反映的是内测度上的数据，也就是函数的内点；所得到的则是p(1,1)的具有负误差的数据。正是由于数论学家早已知晓了这样的函数之存在，却苦于无法对该函数作出合理的解释；不得已，只好运用解析数论中的某些函数，胡扯一番了。
但是，胡扯归胡扯，p(x,y)的数据必须采用cxCx/(log x)^2函数才能作出近似的计算。从而，数论学家的最终都会选择Cx/(log x)^2函数以作最后的陈述。
55：cxCx/(log x)^2函数是由谁首先提出来的呢？
答：最早将cxCx/(log x)^2函数公诸于世的是西尔怀斯特先生。该函数是西尔怀斯特先生于1871年所发表的一篇短文中的建议，但并没有给出任何的证明；所以，一直以来，数论学家总是将该函数作为经验之式而论之。
西尔怀斯特先生所建议的函数是：2xCx/(log x)^2，其中，Cx为：
Cx={∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)
显然，西尔怀斯特先生所建议的函数仅以常数系数2而论之，是过于粗糙了；且又没有证明。如此，尽管该函数一直被数论学家所采用，但数论学家却并不承认西尔怀斯特先生已然证明了哥德巴赫猜想。倒是那些并不知晓该函数之来龙去脉的数论学家，凭经验利用了cxCx/(log x)^2函数，却享誉着世人的瞩目。
譬如，陈景润先生运用所谓的解析数论作了一番胡扯之后，就将常数系数c配之以0.67：0.67xCx/(log x)^2；则言之为证明了p(1,2)。在这里，特别需要说明的是，西尔怀斯特先生的常数系数为2，是将p1+p2及p2+p1当成二个不同的元素对待的；而在陈景润先生处则是当成同一个元素对待的。
56：西尔怀斯特先生建议的函数所指的到底是什么？
答：在西尔怀斯特先生所建议的函数中，有以概率之形式而书写的，还有以对数函数之形式而书写的。将这样的两种风马牛不相及之形式，于函数中拉扯在一起，居然能确切地计算出与实际的p(1,1)之个数十分接近的数据，实在是一件令人匪夷所思的事；但情况正是如此。那么，西尔怀斯特先生所建议的函数到底是什么样的呢？
让我们将1/(log x)^2还原成为∏(1-1/p)^2，代入于2xCx中，就可得到：
2xCx/(log x)^2=2x/4{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}(1-2/p)
也就是说：
2xCx/(log x)^2=x∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|x q⊥x
换言之，西尔怀斯特先生所建议的函数，其实就是用双筛法而求得的一般之解。只不过，西尔怀斯特先生对集合G中的个数，是以x而论之的。
57：西尔怀斯特先生为什么不采用双筛法中的一般之解的形式呢？
答：显然，这应该与数论学家所强调的无穷乘积∏(1-1/p)=0的认知有关。
毋庸置疑，西尔怀斯特先生首先得到的应该是：
∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|x q⊥x
这样的互素系数；但是，由于其中的互素系数1-2/q小于1-1/q，为数论学家所不容。不得已，西尔怀斯特先生只好变着法儿欲让∏(1-2/q)从人们的视线中消失，将∏(1-2/q)除以∏(1-1/p)^2，则可得到{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)之式。显然，倘若直接地写上了{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)乘以∏(1-1/p)^2，太过明显了。于是，用1/(log x)^2替代∏(1-1/p)^2，则可将除以∏(1-1/p)^2之步骤掩盖。
从西尔怀斯特先生所采用的集合G的个数为x中可知，其函数最前面的系数2所强调的就是为了与4作相除：2/4=1/2；以完整偶数的互素系数中(1-1/2)之特征。倘若西尔怀斯特先生所采用的集合G之个数为x/2，也就不会再有最前面的那个系数2了，如此，2*(1-1/2)^2=2/4之情况也就无法在函数中被反映出来了。
显然，西尔怀斯特先生是知晓双筛法(暂拟西尔怀斯特先生并不知晓更为复杂的单筛法)的，但囿于无穷乘积∏(1-1/p)=0的束缚，并不敢直接地将小于无穷乘积∏(1-1/p)的互素系数呈现于世人的面前，所以，故意地隐瞒了函数的证明。但又于心不甘，于是乎，只好在函数2xCx/(log x)^2的最前面，特别地强调了系数2的存在。
58：双筛法的一般之解中的互素系数是怎样演绎而成为2xCx/(log x)^2的？
答：我们知道，双筛法的一般之解中的互素系数为：
∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|x q⊥x
若统一地使用素数符号p，则用(1-1/p)除以(1-2/p)，有：
(1-1/p)/(1-2/p)={(p-1)/p}/{(p-2)/p}=(p-1)/(p-2)=(1+1/{p-2})
一般之解中的互素系数也就可以写成为：
(1-1/2){∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}∏(1-2/p)
这般的式样。
若用{∏p＞2}∏(1-2/p)除以∏(1-1/p)^2，一般有：
(1-2/p)/(1-1/p)^2={(p-2)/p}/{({p-1}^2)/p^2}
={(p-2)/p}*{p^2/({p-1}^2)}={(p-2)*p^2}/{p*({p-1}^2)}
={(p-2)*p}/{(p-1)^2}={p^2-2p}/{p^2-2p+1}={1-1/(p-1)^2}
注意，在上述的演绎中，并没有最前面的因式之相除：
(1-1/2)/(1-1/2)^2=(1/2)/(1/4)=2
代入，一般之解中的互素系数则可写成为：
2{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}{1-1/(p-1)^2}∏(1-1/p)^2
用1/(log x)^2替代∏(1-1/p)^2，则有：
2{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}{1-1/(p-1)^2}/(log x)^2
将其中的{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}{1-1/(p-1)^2}书之为Cx，于是有：
2Cx/(log x)^2
如此，双筛法的一般之解中的互素函数，也就被演化成为：2xCx/(log x)^2。
59：能否逆向地从1/(log x)^2中求得具有Cx这样的系数呢？
答：这是不可能的。应该知道，1/(log x)^2仅是∏(1-1/p)^2的替代品，当西尔怀斯特先生发表文章之时，还没有所谓的素数定理的证明，人们只知道采用1/(log x)函数是可以近似地表示那个互素系数∏(1-1/p)，以计算自然数列中的素数之个数。所以，西尔怀斯特先生是不会采用函数1/(log x)去解析哥德巴赫猜想的。
纵然是现在，互素系数∏(1-1/p)^2也只能是用于直积集合N*N上，以概率的摊派作用于有序对{a,b}元素上。对于这样的摊派，只能将函数1/(log x)还原为∏(1-1/p)^2，却不能将函数1/(log x)^2上还原到双筛法的一般之解。既然直积集合N*N中的摊派是不可能还原为双筛法的一般之解，也就无法逆向求得Cx这样的互素系数。
60：为什么要修正函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c呢？
答：这是因为，双筛法的一般之解中的互素系数是运用外测度而获得的，所以，用一般之解来计算p(1,1)的个数，与实际的p(1,1)之数据有着一定的误差。哥德巴赫猜想要求由函数计算出来的数值，只可以是函数的内点中的数据，不可以是函数的外点中的数据，故而，必须对一般之解计算出来的数据，作出修正。
对于函数cxCx/(log x)^2而言，只要修正其中的常数系数c，也就可以将函数的数据，由外点修正而成为函数的内点。
61：能否用解析数论再来修正函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c呢？
答：这是不可能的事。应该知道，函数cxCx/(log x)^2是西尔怀斯特先生为了回避从双筛法中获得的一般之解的互素系数而作的演绎；但从1/(log x)^2中又不能逆向地求出双筛法的一般之解。由此可知，无论怎样地解析，也是不可能从所谓的等价函数的操作中修正函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c的；因为，常数系数c的数据并非是可以由解析数论中的等价函数求得的。
我们知道，函数cxCx/(log x)^2所等价的双筛法的一般之解，它们之间的关系早已被确定，是不允许作修正的。所谓的常数系数c所反映的仅由∏(1-1/p)^2转换成为1/(log x)^2时的误差e，而对常数系数c所能作出的修正，也仅在于精确地计算出其中所存在着的误差e之数据，而不是对函数作任何的修正。
我们知道，解析数论是以缩系的形式来求解哥德巴赫猜想的；如此，先期地获得了互素系数∏(1-1/p)。比较∏(1-1/p)与cCx/(log x)^2之间的差别，关键在于互素系数1-1/p与1-2/p之间的差别。解析数论欲想修正函数2xCx/(log x)^2中的常数系数2，首先，必须修正的是互素系数1-1/p与1-2/p之间的差别，因为，这是原函数上的差别；然后，才有可能对函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c作出误差上的修正。须知，解析数论也是以除数函数作为依据的。
但由于数论学家并不承认存在着1-2/p这样的互素系数，所以，解析数论是不可能对函数cxCx/(log x)^2中常数系数c作出修正的。
62：怎样地修正函数cxCx/(log x)^2中的常数系数呢？
答：由于双筛法的一般之解是从加法关系M=a+b中的集合G之互素的角度上求解的，而1/(log x)^2函数所对应的却是直积集合N*N中素有序对{p,q}的互素系数∏(1-1/p)^2；这是风马牛不相及的两个互素系数，根本就不存在相互间作出修正之类的步骤。因为，任何的修正必须是其内在的东西，欲以外部的东西而为之，必定地是在胡扯。然而，不存在相互间的修正之步骤，并不等于相互间不可作比较；只要在比较中能分出孰大孰小？也就可以知晓函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c应该取什么样的数据了。
63：函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c应该取什么样的数据呢？
答：从(1-2/p)/(1-1/p)^2={1-1/(p-1)^2}中可知：
{∏p＞2}(1-2/p)/{∏p＞2}(1-1/p)^2={∏p＞2}{1-1/(p-1)^2}
而在三素数定理中，有：
{∏p＞2}{1-1/(p-1)^2}＞1/2
如此，则有：
2{∏p＞2}{1-1/(p-1)^2}＞1
从而可知，有：
1/2{∏p＞2}(1-2/p)/∏(1-1/p)^2＞1
换言之，双筛法的一般之解中的互素系数1/2{∏p＞2}(1-2/p)之值大于直积集合N*N中的素有序对{p,q}的互素系数∏(1-1/p)^2之值。我们规定集合G中的a+b元素为x/2个，如此，有：
p(1,1)=(x/2)(1/2){∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2}){∏p＞2}∏(1-2/p)
＞x/2{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})∏(1-1/p)^2
我们知道，∏(1-1/p)与1/(log x)之间相差了一个常数因子e：e=1.123…，则∏(1-1/p)^2与1/(log x)^2相差的常数因子为e^2。代入，有：
p(1,1)＞0.63{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})x/(log x)^2
其中，0.63x/(log x)^2为p(1,1)的下界线，{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})为特征。
必须明白，0.63之常数系数并非是对函数中的常数系数c之修正，而是直积集合N*N中的互素系数∏(1-1/p)^2对x/2个有序对{a,b}元素的摊派。0.63这个常数系数仅仅是一个摊派之值，与修正常数系数c之值是毫无关系的。欲想更为精确地计算出函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c，唯有对∏(1-1/p)与1/(log x)之间所相差的常数因子e之数值，作出更为精确的计算，且消除不等式中的大于之因素：
1/2{∏p＞2}∏(1-2/p)＞∏(1-1/p)^2
中由大于符号所表达的误差，才是真正的“有的放矢”。
64：采用0.63{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})x/(log x)^2之式有什么样的好处？
答：我们知道，双筛法的一般之解所采用的是互素系数，而素数是离散的；所以，用双筛法的一般之解来计算p(1,1)的近似值，乃是一件很繁琐的事。倘若采用0.63{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})x/(log x)^2这样的函数来计算，则方便了许多。因为，x/(log x)^2是连续函数；如此，除了{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})这样的特征是不可回避的因素之外，也就没有了计算离散数学的麻烦。
65：采用0.63{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})x/(log x)^2之式有什么样的缺点？
答：我们知道，哥德巴赫猜想是加法关系x=a+b中的一道习题，其所涉及的是离散数学中的问题。倘若以连续函数x/(log x)^2作为计算的工具，也就将其中离散的规律性掩盖住了，如此，也就不能真正地认识哥德巴赫猜想。
我们知道，那些数论学家是将函数cxCx/(log x)^2作为经验之式的，且一直采用对数函数log x的方式欲修正函数cxCx/(log x)^2中的常数系数c。无疑，此乃是由于数论学家并没有真正地认识到哥德巴赫猜想实为离散数学中的习题，仅仅是从经验之式cxCx/(log x)^2中见到了x/(log x)^2是连续函数。可见，数论学家的一番胡扯，正是上了这连续函数的当；因为，x与Cx是不可作修正的，于是，只剩下了在连续函数上的胡扯以修正常数系数c的数据了。
66：什么是布郎筛法？
答：所谓的布郎筛法乃是根据摩根定律：
A~∩B~=(A∪B)~=G-A∪B=G-A-B+A∩B=G-H+A∩B
欲对哥德巴赫猜想而作的一种求解方法，但布郎先生并没有做好，最终不得不将布郎筛法变成了一个四不象。
我们知道，将摩根定律运用于哥德巴赫猜想上，可以有二种方法：G-A∪B是双筛法，而G-H+A∩B是单筛法；显然，这是二种不同形式的计算方法。双筛法是针对着集合G中的a+b元素而计算的，单筛法是针对着集合G中的自然数而计算的；两者所计算的对象是完全不同的。所以，双筛法G-A∪B与单筛法G-H+A∩B是不能混为一谈的。
布郎先生在求解哥德巴赫猜想时，其本意是想采用单筛法G-H+A∩B而求解。但由于布郎先生是以x之值作为集合G的数据，故而，在做了G-H这一步骤之后，也就不会再继续做+A∩B这样的步骤了。于是乎，只好借助于解析数论的方法，以缩系的方式而对哥德巴赫猜想之解胡扯了一番。由于缩系x-H的方法是布郎先生首先采用的，所以，凡采用x-p=p的方法来求解哥德巴赫猜想的，均被称之为运用了布郎筛法。
67：布郎先生是如何地进行其筛法的呢？
答：应该说，在求解哥德巴赫猜想时，一开始，布郎先生所用的方法是很初等的。最早是对偶数26中的情况进行了探索，然后是60、1000等偶数；但是，布郎先生所探索的并非是针对加法关系x=a+b，而是自然数列。由此，从埃氏筛法中布郎先生首先获得了缩系x-H，且以欧拉函数φ(α)作为缩系x-H中的互素系数。面对采用埃氏筛法而获得的素数，布郎先生再将那些单吊的素数删除，剩下的也就是那些相加等于M的素数了。应该说，布郎先生对于他的筛法之思路是清楚的：x-H-R；但在数学的表达方式上是欠缺的。
68：现在对布郎筛法又是怎样地表述的呢？
答：1997年7月，《科学学报》第40卷第4期中，刊登了由单、阚俩位先生所撰写的《大偶数表为一个素数与一个殆素数之和：素数属于某个等差数列》之文章，其中，对所求解的GC问题之定义是：
【#{p:p＜x,p≡b(mod α),(α,b)=1,(x-b,α)=1,p+Pr=x}】
这里的p≡b(mod α)是指以p为先起元素，步长为α的等差数列：p+αn；b为等差数列p+kn中的元素。
用此定义可以很好地对布郎筛法作解释。设α为不大于√x的诸素数之乘积，那么，(α,b)=1就是指与不大于√x的诸素数互素，剩下来的自然数b就是大于√x至x中的素数，则有缩系x-H，且以欧拉函数φ(α)作为缩系x-H中的互素系数。接下来再作x-b置换，(x-b,α)=1是对置换后的自然数作第二次的互素。在第二次互素中没有被删掉的那些自然数，所构成的也就是一些p+q=x的两个奇素数之和(定义中，p+Pr=x的Pr指的是殆素数，α指的是不大于x^(1/c)的诸素数之乘积)。
69：布郎筛法能否对哥德巴赫猜想求解？
答：应该说，当x为已知的偶数时，布郎筛法确能求解哥德巴赫猜想。
譬如，设α=2*3=6，且x不大于120。则p≡b(mod α)是模6的简化剩余类。按互素条件(α,b)=1，则在缩系中有5+6n及7+6n这二个等差数列。b(α)有元素：
5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 …
当x=56时，x-b有元素：
51 49 45 43 39 37 33 31 27 25 21 19 15 13 9 7 3
根据(x-b,α)=1之条件，删除一些与α有公约数的自然数，则有：
49 43 37 31 25 19 13 7
将上述的元素相加且等于x，有：
49+7 43+13 37+19 31+25
当x=58时，x-b有元素：
53 51 47 45 41 39 35 33 29 27 23 21 17 15 11 9 5 3
根据(x-b,α)=1之条件，删除一些与α有公约数的自然数，则有：
53 47 41 35 29 23 17 11 5
将上述的元素相加且等于x，有：
53+5 47+11 41+17 35+23 29+29
当x=60时，x-b有元素：
55 53 49 47 43 41 37 35 31 29 25 23 19 17 13 11 7 5
根据(x-b,α)=1之条件，删除一些与α有公约数的自然数，则有：
55 53 49 47 43 41 37 35 31 29 25 23 19 17 13 11 7 5
将这样的素数相加且等于x，有：
55+5 53+7 49+11 47+13 43+17 41+19 37+23 35+25 31+29
显然，上面所述的是在对p(1,2)之元素的求取。那么，根据同样的定义，能否求得p(1,1)之元素呢？答案是肯定的。
例如，设α=2*3*5*7=210，则有模210的简化剩余类，且x不大于120。则在缩系中剩下的唯有一些素数作为元素：
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 …
当x=56时，x-b有元素：
45 43 39 37 33 27 25 19 15 13 9 3
根据(x-b,α)=1之条件，删除一些与α有公约数的自然数，则有：
43 37 19 13
将这样的素数相加且等于x，有：
43+13 37+19
当x=58时，x-b有元素：
47 45 41 39 35 29 27 21 17 15 11 5
根据(x-b,α)=1之条件，删除一些与a有公约数的自然数，则有：
47 41 29 17 11
将这样的素数相加且等于x，有：
47+11 41+17 29+29
当x=60时，x-b有元素：
49 47 43 41 37 31 29 23 19 17 13 7
根据(x-b,α)=1之条件，删除一些与α有公约数的自然数，则有：
47 43 41 37 31 29 23 19 17 13
将这样的素数相加且等于x，有：
47+13 43+17 41+19 37+23 31+29
显然，上述之元素均为两个奇素数之和。
70：布郎筛法能否证明哥德巴赫猜想？
答：不能。原因就在于，布郎筛法变加法关系x=a+b为减法关系x-b=a后，完全改变了赋值语句的性质。我们知道，所谓的赋值语句是将具有两个奇素数之和性质的a+b元素赋值于x，必须在加法关系x=a+b中运用筛法删掉那些非两个奇素数之和的a+b元素。但减法关系x-b=a仅仅是一句减法语句，与加法语句a+b=x一样，并不具有赋值的功能。尽管布郎筛法是以缩系的形式先期地对自然数列中的元素进行了筛选，x-b所表示的是置换；但是，x-b=a已然完成了减法语句的功能，是不可能再添以新的性质的。
须知，哥德巴赫猜想是一个必须于无穷大处也成立的命题；但是，布郎筛法中的x-b置换法，一旦当x→∞时，则连x都是无法知晓到底能具有什么样的数值，更何况x-b了。一个根本就不知晓实质性内容的x，焉能再知晓x-b可等于什么？在不知晓a是什么的情况下，却要对其进行互素的操作，岂非是滑天下之大稽矣！
71：为什么当x为有限值时布郎筛法却能求解哥德巴赫猜想？
答：因为，布郎筛法其实是用单筛法G-H+A∩B的形式而做着双筛法G-A∪B的运作。我们知道，无论是双筛法G-A∪B，抑或是单筛法G-H+A∩B，都是摩根定律的展开式；所以，双筛法或单筛法，皆可求解哥德巴赫猜想。布郎先生欲用单筛法来求解哥德巴赫猜想，却在+A∩B处被卡了壳；为了继续将筛法做下去，布郎筛法就采用了x-b的置换方法，将单筛法转移到了双筛法G-A∪B上。
所谓的布郎筛法是先期地在自然数列中与α互素，这就在自然数列中将那些与α有公约数的自然数a删掉了。然后，通过x-b置换，再作(x-b,α)=1这样的第二次互素；如此而为，实际上所针对的是那些已被删掉了的自然数a。询问一下，与x-b相加的那个自然数a是否已经被删除？倘若没有，则保留自然数b。倘若自然数a与α有公约数，说明曾经被删掉过，则删掉该自然数b。如此，剩下来的自然数相加若等于x，则皆是些与α互素的自然数。显然，这样的操作其实是在询问着a+b元素中是否存在着与α有公约数的自然数？只要有一个自然数是与α存在着公约数的，也就将这a+b元素删掉。
所以，所谓的布郎筛法G-H-R实际上所做的是双筛法G-A∪B，但却是以单筛法的形式而做。
72：布郎筛法G-H-R与双筛法G-A∪B有什么区别？
答：双筛法G-A∪B是严格遵照正宗的数学原理而为的，但布郎筛法却不是。因为，所谓的双筛法G-A∪B是根据抽屉原理而对a+b元素予以筛选；既然所筛选的是抽屉(a+b元素)，也就确定了集合G的完备性条件是A~∩B~=(A∪B)~，是可以按抽屉(a+b元素)的性质予以良序化的。但是，所谓的布郎筛法却并非是遵照正宗的数学原理而为的，其中的x-b置换已改变了摩根定律中的展开式，是在以单筛法的形式做双筛法。由于当x→∞时，根本就无法确定x-b的元素，如此，所谓的良序化则成了一句空话，当然也就无法继续将双筛法正常地做下去了。
73：解析数论又是怎样地运用布郎筛法的呢？
答：我们知道，所谓的大筛法其实只是在将|π(x;k,i)-π(x)/φ(k)|=0中的π(x)函数人为地修改成为Lix函数，从而无中生有地制造出了一个所谓的等价函数：o(x/{(log x)^c_1})；如此而为，也就使之数论学家有话可说了。但是，仅有这样的修改还不够，还必须将等价函数中的指数c_1予以确定，才能算作完成。因为，在等价函数中，若c_1=1时，也就是π(x)函数；若c_1=2时，也就是直积集合N*N中素有序对{p,q}的出现概率对x个有序对{a,b}的摊派。无疑，这一个c_1之值的地位十分地重要，不然，胡扯也就没有必要了。
于是乎，在大筛法|π(x;k,i)-Lix/φ(k)|中，又添加了一个均值定理：
∑maxmax|∑f(α)π(x;α,k,i)-Li(x/α)/φ(k)|《N/{(log N)^A}
当然，这里的∑都有取值范围p＜N^(1/2-ε) x＜N及互素条件(p,i)=1和(p,α)=1的。有了这个均值定理，也就可以对除数函数任意地取舍了；反正只要写上了除数函数，无论情况是怎样的？都是可由均值定理来确定其中具有N/{(log N)^A这样的函数。于是乎，本来无法确定的x-b元素在均值定理的指导下，又成为可以计算的等差数列了。
74：均值定理所计算的是哥德巴赫猜想中的元素吗？
答：应该不是。我们知道，所谓的等差数列kn+i是指模k的剩余类kn+i；若有(k,i)=1，其所指的也仅是模k的简化剩余类。如果均值定理确实成立，也仅是在自然数列中存在，而不是在加法关系N=a+b中存在。
诚然，对于任何的等差数列kn+i中素数的个数，均有无穷多个；若从素数的基数上予以考察，诸π(x;k,i)都是等势的。但是，若是从互素系数上予以考察，一般而言，不同模的简化剩余类都是不相同的；从而，π(x;k,i)=π(x)/φ(k)中的φ(k)函数，亦各不相同。如果以基数上的均值来研究不同模中的互素系数，则就根本就无法知晓加法关系N=a+b中千变万化的p(1,1)之情况。这与自然数集N的基数可同构嵌入于其任何的一个无穷真子集中的情况一样，若以统一的可数集的基数而论之，是无法知晓诸不同的无穷真子集之面目的。譬如，3的倍数有无穷多个，集合H(3)与自然数集N一样，具有可数集的基数；集合H(3)与自然数集N之间以互为倒数的3和1/3联系着。如果仅以一句子集H(3)的基数是可数的而论之，则根本就不能知晓子集H(3)与自然数集N之间的关系。
同理，由于在布郎筛法中，当x-b置换后，首先必须知晓等差数列kn+i中的情况，才能再作第二次的(x-b,α)=1之互素。均值定理模糊了不同的模k之等差数列kn+i中的互素系数的情况，而将N/{(log N)^A}作为诸等差数列kn+i的统一模式，显然，这并非是在讲述哥德巴赫猜想，而是在讲述自然数列。最为明显的例子就是：当N为奇数时，p(1,1)=0；显然，在哥德巴赫猜想问题中并不存在着什么均值之说。应该知道，将奇数表为两个奇素数之和的个数等于零，从加法关系N=a+b中分割出去，乃是人为的，而不是数学上的。在数学的研究中，对所作的解，也必须将奇数时的情况同时反映出来。
75：数论学家在哥德巴赫猜想上的胡扯对数学造成了什么样的影响？
答：应该说，影响是巨大的。我们知道，数论是研究基础数学的，被誉为数学中的王冠。数论学家在哥德巴赫猜想上的胡扯，无疑会对其它的数学分支造成一定的影响。譬如，同为研究基础数学的集合论，其中最为著名的连续统假设，迄今为止，仍被认为是一个不可判定的悬案。其实，若不是数论学家在哥德巴赫猜想上的胡扯，所谓的连续统假设之问题，应该是一个可以解决的问题。
胡桢写于06-07-30.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 胡思之 在 时添加 -=-=-=-=-
哥德巴赫猜想一百问(下篇)－－胡桢
76：为什么同样多的素元素会有不同样的出现概率？
答：显然，这与计算素元素的出现概率时所针对着的集合之稠密度有关。
运用双筛法而求得的一般之解中的互素系数，是在加法关系M=a+b的集合G中所作的测量，而具有∏(1-1/p)^2这样的出现概率，则是在直积集合N*N中所作的测量。我们知道，直积集合N*N的基数与实数集R的基数是等势的，所以，其有序对{a,b}元素之稠密度与具有连续统的实数集R之稠密度是一样的。于直积集合N*N这种稠密度中所测量出来的素有序对{p,q}的出现概率，与在加法关系M=a+b的集合G中所测量出来的素元素p(1,1)之出现概率的不一样性，正好说明了处于不同基数的元素之稠密度，是不一样的。
从1/2{∏p＞2}(1-2/p)＞∏(1-1/p)^2中，可知，直积集合N*N的基数大于加法关系M=a+b的集合G的基数。
77：为什么说集合中元素的稠密度能反映出集合的基数？
答：我们知道，两集合若谓之是同构的，则它们的元素是可以一一对应的，具有双向满射的两集合有着相同的基数。两集合若谓之是同态的，则它们的元素之间只具有单向的满射，而在另一方向上的映射则是无法满射的；显然，同态映射中的两集合的基数是不相同的。
集合中元素的稠密度之疏密，所对应的正好是同构与同态的映射。如果两集合中元素的稠密度是一致的，说明它们之间的元素可以作一一对应。如果两集合中元素的稠密度不是一致的，则稠密度密的那个集合可以向稠密度疏的那个集合作出单向的满射，而稠密度疏的那个集合却不能向稠密度密的那个集合作出满射的。所以，用集合中元素的稠密度是可以衡量出集合的基数之大小。
78：在加法关系M=a+b中的集合G之稠密度又是怎样的呢？
答：为了对稠密度有一个统一的标准，我们可以用自然数集N中的稠密度作为基准，而将不同特征的集合G之稠密度与之作比较。
我们知道，自然数集N中素数的出现概率为无穷乘积∏(1-1/p)，其所反映的是与无穷多个商集化子集S(p)互素的系数。同时，我们还知道，加法关系M=a+b中的集合G是偏序的，其中的互素系数除了特征所具有的互素系数为1-1/p之外，那些非特征的素数均有互素系数为1-2/q。而1-2/q之互素系数所反映的则是具有二个性质相同却又互不相交的商集化子集S(q)，故而，集合G为树状的结构。显然，当M→∞时，集合G中的a+b元素是同态映射于自然数集N中的元素。这是因为，当集合为无穷集合时，每一个商集化子集S(q)中均有无穷多个元素，从而，偏序的集合G是可以对自然数集N作出同态映射的满射；而自然数集N中的商集化子集S(q)只有一个，其只能映射于偏序集G中的一个商集化子集S(q)，而另一个商集化子集S(q)，则没有元素可给予映射了。由此可知，偏序集G与自然数集N之间为同态的映射。显然，不同特征的偏序集G与自然数集N之间的同态映射，是不相同的。
79：集合G的不同稠密度对p(1,1)有什么样的影响？
答：我们知道，尽管p(1,1)的个数在总体上是：p(1,1)≥√M/4，而当M→∞时有无穷多个。但是，在一定的区间范围内，并非是随着偶数M的提升，p(1,1)的个数就会增多，而是呈现出忽多忽少之现象。显然，这是由于诸偶数M的特征之不同而造成的；然而，特征之不同则意味着集合G的稠密度之不同。
由此可知，支配着p(1,1)的个数之多寡，是受着集合G的稠密度之疏密程度而定夺的。
80：怎样地在加法关系M=a+b中划分出相同稠密度的集合G呢？
答：只要按集合G的不同特征而划分；诸如此类，就可将具有相同特征的集合G归纳在一起，构成一集合X。在集合X中，其中的元素G都具有相同的特征，所不同的仅仅是集合G的良序化之链的长度有所不同的。由此，当M→∞时，则构成了一个有着无穷多个元素G的集合X。
81：不同基数的集合X之具体情况是怎样的？
答：例如，设M=2^n；当M=8时，有：
8=1+7=2+(6)=3+5=(4+4)
当M=16时，有：
16=1+(15)=2+(14)=3+13=(4+12)=5+11=(6+10)=7+(9)=(8+8)
当M=32时，有：
32=1+31=3+29=5+(27)=7+(25)=(9)+23=11+(21)=13+19=(15)+17
当M=64时，有：
64=1+(63)=3+61=5+59=7+(57)=(9+55)=11+53=13+(51)=(15+49)
=17+47=19+(45)=(21)+43=23+41=(25+39)=(27)+37=29+(35)
=31+(33)
即在M=2^n时，只有2的倍数可在同一个a+b元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加。
设M=(2^n)(3^m)；当M=6时，有：
6=1+5=2+(4)=3+3
当M=12时，有：
12=1+11=2+(10)=3+(9)=(4+8)=5+7=(6+6)
当M=18时，有：
18=1+17=2+(16)=3+(15)=(4+14)=5+13=(6+12)=7+11=(8+10)=(9+9)
当M=24时，有：
24=1+23=3+(21)=5+19=7+17=(9+15)=11+13.
当M=36时，有：
36=1+(35)=3+(33)=5+31=7+29=(9)+27=11+(25)=13+23=(15+21)=17+19
当M=48时，有：
48=1+47=3+(45)=5+43=7+41=(9+39)=11+37=13+(35)=(15+33)
=17+31=19+29=(21+27)=23+(25)
即在M=(2^n)(3^m)时，只有2的倍数和3的倍数可在同一个a+b元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加。
设M=(2^n)(5^m)；当M=10时，有：
10=1+(9)=2+(8)=3+7=(4+6)=5+5
当M=20时，有：
20=1+19=2+(18)=3+17=(4+16)=5+(15)
=(6+14)=7+13=(8+12)=(9)+11=(10+10)
当M=40时，有：
40=1+(39)=3+37=5+(35)=7+(33)=(9)+31=11+29=13+(27)
=(15+25)=17+23=19+(21)
当M=50时，有：
50=1+(49)=3+47=5+(45)=7+43=(9)+41=11+(39)=13+37
=(15+35)=17+(33)=19+31=(21)+29=23+(27)=(25+25)
当M=80时，有：
80=1+79=3+(77)=5+(75)=7+73=(9)+71=11+(69)=13+67
=(15+65)=17+(63)=19+61=(21)+59=23+(57)=(25+55)
=(27)+53=29+(51)=31+(49)=(33)+47=(35+45)=37+43=(39)+41
即在M=(2^n)(5^m)时，只有2的倍数和5的倍数可在同一个a+b元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加。
设M=(2^n)(3^m)(5^k)；当M=30时，有：
30=1+29=3+(27)=5+(25)=7+23=(9+21)=11+19=13+17=(15+15).
当M=60时，有：
60=1+59=3+(57)=5+(55)=7+53=(9+51)=11+(49)=13+47
=(15+45)=17+43=19+41=(21+39)=23+37=(25+35)=(27+33)=29+31
当M=90时，有：
90=1+89=3+(87)=5+(85)=7+83=(9+81)=11+79=13+(77)
=(15+75)=17+73=19+71=(21+69)=23+67=(25+65)=(27+63)
=29+61=31+59=(33+57)=(35+55)=37+53=(39+51)=41+(49)
=43+47=(45+45)
即在M=(2^n)(3^m)(5^k)时，只有2的倍数、3的倍数和5的倍数可在同一个a+b元素中相加，其它的素数之倍数均不能在同一个a+b元素中相加。
无疑，当具有这种特征的素数之指数趋向于无穷时，则具有这种特征的集合G有无穷多个。
82：不同特征的集合X之稠密度又是怎样地作比较的？
答：按集合X的互素系数中特征之值的大小，我们可以排列出：
1/2{∏p＞2}(1-2/p)＜1/2(1-1/3){∏p＞3}(1-2/p)＜…＜∏(1-1/p)
其中，偶数M=2^n时的特征之值1/2为最大，自然数集N的特征之∏(1-1/p)值为最小，由此而构成了一个互素系数之间的上升之链。当然，这样的上升之链是刻意地安排的，但其至少可以反映出一部份集合X的稠密度之大小。
83：哥德巴赫猜想与孪生素数猜想有什么样的关系？
答：一般而言，凡是在求解哥德巴赫猜想时，总会顺便地带上孪生素数猜想一起讲。显然，这与数论学家在求解这两个猜想时，所采用的研究主体有关；而且，它们的解确实存在着一定的雷同。
在求解哥德巴赫猜想时，数论学家所采用的研究主体为顺自然数列和逆自然数列这样的二个数列之组合情况；由此而构成的是a+b元素。在求解孪生素数猜想时，数论学家所采用的研究主体都为顺自然数列，只不过，这二个顺自然数列有位差，第二个自然数列中的元素为第一个自然数列的元素加2而组成：b=a+2；由此而构成的是有序对{a,b}。
显然，在哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的抽屉里，都是只有二个自然数。可知，求解哥德巴赫猜想及孪生素数猜想的完备性条件都是摩根定律：
A~∩B~=(A∪B)~=G-A∪B=G-A-B+A∩B=G-H+A∩B
如此，求解的方法当然是可以一样的了。
然而，数论学家在求解孪生素数猜想时对所采用的研究主体叙述时，却并非是最佳的叙述。
84：孪生素数猜想应该采用什么样的研究主体呢？
答：我们知道，与孪生素数猜想相关的研究，一般而言，继之会有三生素数之类的n生素数的猜想；倘若随便地赋予了孪生素数猜想的一个研究主体，那么，其所阻断的将会是对n生素数猜想的求解。显然，只有正确地叙述求解孪生素数猜想的研究主体，才能从中发现规律性的东西。
研究孪生素数猜想的主体应该是模6的简化剩余类中的有序对{6n+5,6n+7}：
{5,7} {11,13} {17,19} {23,25} {29,31} {35,37} {41,43} …
这是一个步长为6的有序对{a,b}元素的集合L。毋庸置疑，对该主体的研究与对由二个顺自然数列而构成的有序对{a,b}之主体的研究是一样的，都可以在对主体的研究中获得p(1,1)=x/6{∏p＞3}(1-2/p)这样的互素系数。顺便说一声，孪生素数猜想中的主体与M=2^n*3^m时的哥德巴赫猜想之主体同构。
但采用简化剩余类这样的主体作研究，则可揭示出这样的规律：对n生素数的研究可以采用模k的简化剩余类中的有序对{a,b,…,d}作为元素。在这里，有序对{a,b,…,d}中的诸自然数a,b,…,d，只要合乎n生素数所要求的条件也就可以了。
85：对n生素数的研究能说明些什么？
答：诚然，无论是对哥德巴赫猜想的研究，抑或是对n生素数的研究，也仅仅是在做一道极其普通的习题而已。问题就在于，这些习题的背后所隐藏着的数学之真谛。我们知道，对哥德巴赫猜想的研究，可以求得一般之解：
p(1,1)=x/2∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|x q⊥x
其中，∏(1-1/p)∏(1-2/q)是互素系数。那么，对n生素数的研究又能获得什么样的解呢？
以三生素数为例。其可用模12的简化剩余类中有序对{6n+5,6n+7,6n+11}：
{5,7,11} {17,19,23} {29,31,35} {41,43,47} {53,55,59} …
显然，这是一个步长为12的有序对{a,b,c}元素所构成的集合。毋庸置疑，该集合中的三生素数p(1,1,1)之完备性条件是摩根定律：
A~∩B~∩C~=(A∪B∪C)~
在与诸素数互素中则可以获得p(1,1,1)=x/12{∏p＞3}(1-3/p)这样的互素系数。
由此可知，在对n生素数作研究时，只要采用合乎n生素数之条件的模k的简化剩余类，且使之其中的互素系数不存在零因子，也就可以了。如此，我们只要选择k为诸素数的乘积，且在所求取的互素系数中，有x/k{∏p＞n}(1-n/p)，其中，只要不存在零因子就可以了。
将n生素数中的互素系数与哥德巴赫猜想中的互素系数作比较，无疑，n生素数中的互素系数则是另一种系列中的互素系数。
86：这一系列的互素系数所反映的又是什么？
答：n生素数中的互素系数与哥德巴赫猜想中的互素系数上有着不同的系列。由于互素系数所阐述的是与商集化子集S(q)中元素的互素情况，显然，这一系列的互素系数所反映的也就是对树状结构的偏序集之良基性的叙述。
87：能够反映出偏序集的良基性又有什么用呢？
答：至少可以给予选择公理一些实质性的例题。
在集合论的公理系统中，受质疑最甚的就是选择公理。因为，除了本身就是良序的自然数集N之外，选择公理尚未有着具有实质性内容的无穷集合作为佐证。正是由于选择公理缺乏实质性内容的例子为佐证，才引起了某些人对其种种的非议，甚至在集合论的公理系统中，还有将选择公理淘汰出局的举措；这一切，显然就是因为选择公理缺乏了偏序集的良基性之实例。倘若有了对哥德巴赫猜想以及n生素数猜想等研究的例题，以这样的实质性的内容来充实选择公理，那么，对选择公理的种种质疑，也就可不攻自破了。
88：采用实无穷对哥德巴赫猜想的研究存在着一些什么问题？
答：由于集合论是在实无穷的基础上创立的，其没有公正地对待潜无穷所起到的作用。
我们知道，而今的集合论是将集合作为一个实体而对待的，在实体的概念支配下，也就没有了潜无穷的立足之地。在数论中，最为显著的例子就是在对待无穷乘积∏(1-1/p)的问题上；那些数论学家一定要赋予无穷乘积∏(1-1/p)以一个确切的实数，全然不顾无穷乘积∏(1-1/p)乃是一个循序渐进的潜无穷，一旦给予了一个确切的实数之值，也就将无穷乘积∏(1-1/p)的潜无穷性质破坏了。如，将素数集作为一个实体：此处的p通过所有的素数；显然，这完全是受实无穷的概念之影响下所产生的。
然而，在动态的情况下，一旦言说p可以通过所有的素数，也就切断了继续做下去的动力；如此，所谓的素数集也就变成了有限的。在动态的情况下，必须采用潜无穷的概念；只有这样，无穷才能继续地无穷下去。
由此可知，实无穷只能用于静态的实体中；如，自然数集N的基数可同构嵌入其任何一个无穷真子集中。潜无穷是用于动态的过程中；如，无穷乘积∏(1-1/p)就是一个循序渐进的超限数。
89：无穷乘积∏(1-1/p)为什么是一个循序渐进的潜无穷？
答：我们知道，无穷乘积∏(1-1/p)＞lim 1/p_n→0是在与其自身的一个因子之比较中获得的，并非是任何的外在因素所能破坏的(如王元先生的归谬法)。如此，我们就可以剖析一下，为什么无穷乘积∏(1-1/p)是一个循序渐进的潜无穷？
无穷乘积∏(1-1/p)的来历清楚地告诉了我们，这是一个在自然数列中自然数与无穷多个素数互素的系数。如果无穷乘积∏(1-1/p)是一个可以中断的实数，那么，自然数列中的自然数也必须中断。但是，一旦自然数列中的自然数被中断，那么，自然数列中的自然数也就不再是无穷的了。由此可知，在对自然数集N中的自然数予以良序化时，最小链条件对于自然数集N而言，并不成立；下降的良序化之链中并不存在最大的良序化之链。所以，无穷乘积∏(1-1/p)只能是一个循序渐进的超限数，为潜无穷。
90：无穷乘积∏(1-1/p)是超限数会对哥德巴赫猜想的研究有什么影响？
答：只要采用了潜无穷的概念，我们就可以轻易地获得无穷乘积∏(1-1/p)这样的一个循序渐进的超限数；而超限数的获得，则意味着可以用数字的方式来表达无穷集合的基数。显然，无穷乘积∏(1-1/p)所表达的就是自然数集N的基数。
毋庸置疑，无穷乘积∏(1-1/p)一旦被确定为是一个超限数，则强加于无穷乘积∏(1-1/p)身上的种种束缚也就可被一扫而空。如此，我们就可以从超限数的角度来衡量哥德巴赫猜想之解中的互素系数；换言之，我们可以从集合的基数之角度上，来看待哥德巴赫猜想的一般之解。
91：哥德巴赫猜想所涉及的是集合的基数对数学研究有什么影响？
答：我们知道，哥德巴赫猜想有一般之解：
p(1,1)=x/2{∏p|x,p＞2}(p-1)/(p-2){∏p＞2}(1-2/p)
其中，{∏p|x,p＞2}(p-1)/(p-2){∏p＞2}(1-2/p)是互素系数；当x→∞时，它是一个循序渐进的超限数。
若从集合的稠密度之角度上来衡量，不同特征的互素系数之稠密度是不相同的。由此可知，从哥德巴赫猜想中获得的超限数所针对的是不同稠密度的集合；当x→∞时，我们所获得的是一些不同稠密度的无穷集合。我们知道，稠密度所反映的是集合的基数，不同稠密度的无穷集合说明了它们的基数各不相同。
有着这并不相同的无穷集合的基数，于是乎，我们就可以对数学的基础作一番研究了。
92：哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合的位置在什么地方？
答：从与自然数集N的基数之比较中可知，因一般之解中的互素系数均小于无穷乘积∏(1-1/p)，则哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合之稠密度均要比自然数集N的稠密。由此可知，哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合的基数均大于自然数集N的基数。
然而，只知道有着大于自然数集N的基数是没有用的。因为，凡不可数的集合的基数均大于自然数集N的基数，欲想对数学的基础作一番研究，就必须确定这些基数究竟位于什么地方？如此，还必须将哥德巴赫猜想所涉及的集合之基数与实数集R的基数作比较。
93：怎样地求取实数集R的情况？
答：毋庸置疑，对于实数集R的基数也必须运用选择公理来求取。
我们知道，自然数集N的幂集有元素：
{φ} {1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} …
当N→∞时，该幂集具有不可数的性质。显然，只要按商集合的概念来划分自然数集N的幂集，则该集合就满足Jordan可测集合体之要求。
根据集合论的正则公理，必须有一确定的性质作为划分的依据；在自然数集N的幂集中，我们以元素中的最小自然数作为划分之依据。如此，我们就可以获得一系列商集化子集：S(1), S(2), S(3), S(4), S(5), S(6), …，其中，S(n)归纳了幂集中最小自然数为n的一些元素。例如，S(1)有元素：
{1}
{1,2}
{1,3} {1,2,3}
{1,4} {1,2,4} {1,3,4} {1,2,3,4}
{1,5} {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {1,2,3,4,5}
……
再如，S(2)有元素：
{2}
{2,3}
{2,4} {2,3,4}
{2,5} {2,3,5} {2,4,5} {2,3,4,5}
{2,6} {2,3,6} {2,4,6} {2,5,6} {2,3,4,6} {2,3,5,6} {2,4,5,6} {2,3,4,5,6}
……
…等等；依此类推。
如此归纳，显然，诸子集S(n)相互间并无交集，且合乎商集合划分的对称关系之要求。
我们知道，某集合若有元素s个，则它的幂集就有元素2^s个；自然数集N的幂集也不例外，可用2^N作为其元素之个数的标识。显然，若某集合有元素s-1个，则它的幂集之元素有2^(s-1)个。从2^s-2^(s-1)=2^(s-1)中可知，在原集合中由s-1个元素增加至s个元素，于幂集中就增添了2^(s-1)个元素；也就是说，原集合中任何一个元素在幂集的组合元素中所占有比例为：2^(s-1)/2^s=1/2。但这样的子集彼此间有交集，必须用商集合的概念予以划分。
对自然数集N的幂集中的诸元素，我们以最小自然数n为依据而对自然数集N的幂集中的元素予以商集合的划分。显然，在自然数集N的幂集中，商集化子集S(1)由于是首选的子集，故而，占有1/2之比例；商集化子集S(2)由于少了一个自然数1，因此，它所占有的比例为2^(s-2)/2^s=1/4；商集化子集S(3)由于少了二个自然数1与2，则它所占有的比例为2^(s-3)/2^s=1/8；以此类推，可知，商集化子集S(n)所占有的比例为1/(2^n)。我们知道，诸商集化子集彼此间并无交集，如此，根据概率论中的叠加原理，将诸商集化子集的出现概率相加，有：
1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
从这商集化子集的出现概率上也可知晓，自然数集N的幂集与实数集R同构。若以1减之，可知，诸商集化子集之补集的出现概率可以为零；这说明，实数集R乃是处处稠密的。
94：哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合与实数集R的比较可得到些什么？
答：我们知道，哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合之互素系数均大于零，而实数集R是处处稠密的；显然，哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合之稠密度均疏于实数集R的稠密度。由此可知，哥德巴赫猜想所涉及的无穷集合的基数均小于实数集R的基数。由此可知，从哥德巴赫猜想中所获得的无穷集合X，是一些介于自然数集N与实数集R之间的无穷集合。可知，连续统假设并不成立。
95：能否知晓继自然数集N的基数之后的那个基数的无穷集合是孰？
答：不可知。我们知道，介于自然数集N与实数集R之间的无穷集合的稠密度之大小是以互素系数的大小为准则的，只有知晓了继无穷乘积∏(1-1/p)之后的那个超限数的稠密度是怎样的，才能知晓继自然数集N的无穷集合是孰？可是，我们并不能知晓继无穷乘积∏(1-1/p)之后的那个互素系数究竟是怎样的，也就无法知晓继自然数集N之后的超限数是哪一个？由此可知，继自然数集N的基数之后的那个基数的无穷集合，为不可知。
96：加法关系M=a+b中的集合G是否为一可测集合体？
答：如果集合是可测的，则必须满足Jordan可测集合体的四要素：
【Ⅰ 若E1,E2∈T，则E1∪E2∈T；
Ⅱ 若E1,E2∈T，则E1∩E2∈T；
Ⅲ 若E1,E2∈T，又E1＜E2，则E2-E1∈T；
Ⅳ 若E1,E2∈T，E1∩E2=Φ，则v(E1∪E2)=v(E1)+v(E2)。】
如此，让我们逐一地将集合G按Jordan可测集合体的四要素予以对照。
在加法关系M=a+b中的集合G：若有二集合A和B为集合G的子集，显然，它们的并集A∪B也是集合G的子集。若有二个集合A和B为集合G的子集，显然，它们的交集A∩B也是集合G的子集。若有二个集合A和B为集合G的子集，显然，它们的差集A-B也是集合G的子集。若有二个集合A和B为集合G的子集，且彼此间并不相交，显然，它们与某素数之间的互素关系是独立事件，故而，可以分别地予以计算。
由此可知，在加法关系M=a+b中的集合G是一可测集合体。
97：在加法关系M=a+b中的除数函数又是怎样的呢？
答：在对哥德巴赫猜想的求解中，我们可以获得介于自然数集N与实数集R之间的无穷集合，那么，是否加法关系M=a+b中的除数函数与自然数列中的除数函数有异？应该说，在加法关系M=a+b中的除数函数与通常的除数函数一模一样的，并无二致。
根据Jordan测度：
【对于每一个S∈U(X)，就有一个非负实数v(S) (0≤v(S)≤∞)与之对应，并且满足以下条件：
1: 若S，T∈U(X)，S∩T=φ，则v(S∪T)=v(S)+v(T)
2: U(X)＜∞，或者X可表示为X={∞∪n=1}S_n，
这里，S_n∈U(X)，v(S_n)＜∞(n=1,2,…)】
显然，在加法关系M=a+b中的除数函数满足Jordan测度的条件。
我们知道，p(1,1)函数中的互素系数1-2/q是根据公式M=nq+r=(n-m)q+mq+r而求得的，其中，(n-m)q与mq有位差r，从而，所归纳的a+b元素之子集中存在着互不相交的情况；换言之，所归纳的子集满足【S∩T=φ，则v(S∪T)=v(S)+v(T)】之条件。与之互素的a+b元素有元素：
M/2-M/2q-M/2q=M/2(1-2/q)
由此可知，在加法关系M=a+b中的除数函数与通常的除数函数是一模一样的。
98：在加法关系M=a+b中素元素p(1,1)的出现概率又是怎样的呢？
答：根据概率论公理系统对概率所下的定义：
【公理1：对事件体F中每一事件A都有一非负实数P(A)与之相应，这数就叫做该事件的概率。】
在加法关系M=a+b中，与特征素数互素的a+b元素所具有的出现概率1-1/p，与非特征素数互素的a+b元素所具有的出现概率1-2/q，均合乎概率论中的定理。
99：哥德巴赫猜想之解与当今的数学理论相符合吗？
答：根据选择公理，其良序化有着这样的一种条件：
【最小链条件：偏序集M的元素所组成的任意一个真降链
a1＞a2＞…＞an＞…
中断于有限处。换言之，对元素的任意降链
a1≥a2≥…≥an≥…，
必存在这样一个足码n，使链在此处停顿下来，也就是
a_n=a_(n+1)=…。】
显然，对哥德巴赫猜想的求解是合乎该最小链条件的。
我们知道，在对加法关系M=a+b中的a+b元素之筛选中，若存在着p(1,1)这样的素元素，其中的互素条件仅仅是与不大于√M的诸素数互素。当M为偶数时，由于素数2为特征，从而与素数2互素的系数为1-1/2；其它的素数p之值，由于均大于2，故而，互素系数中没有零因子。根据概率论中的条件概率，可知，与不大于√M的诸素数互素构成了一条下降之链。然而，该下降之链只须与不大于√M的诸素数互素，于是乎，下降之链于不大于√M的素数处停顿了下来。
由此可知，在加法关系M=a+b中求取p(1,1)这样的素元素时，其集合G满足于最小链条件。
100：解析数论谬误地求解哥德巴赫猜想对我们有什么样的启迪？
答：由此可知，我们不能仅凭想当然这种先入为主的方法来研究数学。毋庸置疑，将无穷乘积∏(1-1/p)言之为等于零，仅是在主观想象中获得的，根本就没有从演绎中作过合乎数学的严格证明。
显然，正是由于有了这无穷乘积∏(1-1/p)=0的谬误认知，才导致了所谓的解析数论置正宗的数学理论于不顾，另辟蹊径，欲采用对殆素数之剖析的方式而为之；如此而为，所得到的乃是数学中的确定性之丧失。
哥德巴赫猜想问世已有二个半世纪的时间，采用解析数论之方法求解也近一个世纪的时间了；于这么长的时间里，居然没有一个数学家对解析数论之方法予以反省。如此，我们不得不问一句，在数学的领域中，是否还存在着其它谬误的认知占据着主流的位置，而使得数学中的确定性无法发扬光大？
胡桢写于06-08-04. |
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发表于 2006-8-5 16:15
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