非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/04 00:02pm 第 1 次编辑]

下面引用由jzkyllcjl在 2009/09/04 11:45am 发表的内容： 关于显微镜的表示法，对陆教授来讲是他的创造！陆教授在这个网站上为许多同志解决了不少问题，值得称赞！但是，对陆教授推行《非标准分析》的工作，我想说一点意见。第一，你的显微镜的解说，在美国70年代的] H. Jerome Keisler, （ ISBN 0-87150-213-5, Printed in the United States of America, 1976）中已经有了。他对超穷数域有一套公理性的介绍。 第二，我在第七章中批判了他的数轴概念。

我从来没有说过“无穷小显微镜”“无穷大望远镜”是我的创造发明。在第 85 楼的帖子中，我说得很清楚： 在国内外介绍非标准分析的各种书中，常常可以看到超实数域的图像显示，这些图示都是像本帖子第 24 楼那样的图： 用带“无穷小显微镜”和“无穷大望远镜”的一条直线来表示超实数域。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/09/04 11:12am 发表的内容：
其实，互为排斥的两个事物之间，并不一定能找到一个截然分明的分界线。
例如，“有理数”与“无理数”是两个互相排斥的事物，你能不能找出“有理数”与“无理数”之间一条截然分明的分界线？
你可能会说：“有理数”与“无理数”是互相穿插在一起的，是无法分开的，当然找不出分界线。
但是“无穷大量”与“非无穷大量”，是互相分开的，并不是互相穿插在一起的，为什么也找不到分界线呢？
下面我举一个互相分开、不是互相穿插的例子：
在超实数域中，紧靠在 0 点右边的是“正无穷小量”，在“正无穷小量”的右边，是“非无穷小正数”。
“正无穷小量”与“非无穷小正数”，一个在左、一个在右，互相分离，并不是互相穿插在一起的。
请问：你能不能找出“正无穷小量”与“非无穷小正数”之间一条截然分明的分界线？
如果你能找到这个分界点，那么，我只要将它取倒数，就是“正无穷大量”与“非无穷大正数”的分界点。
但是，很显然，我们是找不出“正无穷小量”与“非无穷小正数”之间的界线的。
仔细想想就会明白，这与我们找不出“有理数”与“无理数”之间的界线，其实是同一个道理。
既然找不出“正无穷小量”与“非无穷小正数”界线，当然也就找不出“无穷大量”与“非无穷大量”之间的界线了。

陆老师不反对我们讨论逻辑问题吧？
在逻辑中，有所谓的矛盾关系和反对关系。如果在两个概念之外有第三者，就叫反对关系；如果没有第三者，则叫矛盾关系。
这样看来，在数学中，有理数和无理数就是矛盾关系；而“大于0”和“小于0”则是反对关系。所以，有理数和无理数之间没有第三者，“大于0”和“小于0”之间有第三者（即“分界点”），这个比较明确。
这样看来，显然“无穷大量”与“非无穷大量”也是一种矛盾关系（所有的A与非A都是矛盾关系），所以，在它们之间不会存在第三者，也就是说，两者之间是找不到所谓“分界点”的。
但是，事情并不那么简单。
代数上的A与非A，在几何上往往不成立。从代数的角度来说，我们当然可以人为地把全体实数分为“＞a”和“≤a”两个部分，但是，如果站在几何的角度上，拿一把想象中的砍刀对着实数轴一刀砍下去的话，砍中的一定是某个实数点a，而不会是两个实数之间的一个空档（因为根据实数的稠密性，任意两个实数之间都存在无穷多实数），即：把直线上的点划分成两类，是使一类中的每一个点位于另一类中每一个点的左方，就必有一个且只有一个点产生这个划分 。这样分割的结果就是，不管这个a是有理数还是无理数，它只能是“＞a”和“＜a”这两个区域的分界点，而不可能属于这两个区域之一。这就是说，把全体实数分为“＞a”和“≤a”（或“≥a”和“＜a”）两个互为矛盾的部分，在实际的几何分割操作中是办不到的，我们能够办到的只能是把整个实数分为“＞a”、“＜a”和“＝a”三个部分。其原因就在于“三岐性”反映了无限事物的本质，而“排中律”只能反映有限事物的属性。
所以说，在“无穷大量”与“非无穷大量”之间一定有一个“分界点”，问题是我们目前还找不到而已。

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2009/09/04 00:34pm 发表的内容：
陆老师不反对我们讨论逻辑问题吧？
在逻辑中，有所谓的矛盾关系和反对关系。如果在两个概念之外有第三者，就叫反对关系；如果没有第三者，则叫矛盾关系。
这样看来，在数学中，有理数和无理数就是矛盾关系；而“ ...

楼上（天茂），实在让人无语。一个“匀速”变大的自然数集合，居然可以【推理】出一个“分界点”，……

所以说，在“无穷大量”与“非无穷大量”之间一定有一个“分界点”，问题是我们目前还找不到而已。

典型的反例——自然数集合[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

“道”学的【三分】，楼上（天茂）所说的“三岐性”，是要求“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑的

天茂

请教陆老师：
您的回帖原则是不是改成这样才算完整：凡是纯数学问题一定热心回帖，凡是数学以外的问题一概不回！
我猜想得对不对呢？您是不是这个意思？

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2009/09/05 11:38am 发表的内容：
请教陆老师：
您的回帖原则是不是改成这样才算完整：凡是纯数学问题一定热心回帖，凡是数学以外的问题一概不回！
我猜想得对不对呢？您是不是这个意思？

不“严谨”的东西，陆教授不喜欢扯的，浪费【时间】嘛

jzkyllcjl

天茂：你提出分界点的问题，是应该的！但是这个问题，鲁宾逊也回答不了你！希望你自己去解决！鲁宾逊的最后一章，请你看看。他无法说明无穷小、无穷大的真实性。他引用了莱布尼茨的“可以看做足够大、足够小”的话。那个《非标准分析》可以说是：在美国上世纪时兴了一段时间，后来失败了。1974年鲁宾逊的第二版发表之后，1976年keisler的<初等微积分>在五所学校使用之后也出版了，但是这实际上是上世纪70年代美国数学改革的失败。我已经指出：没有大小的点，使用显微镜，仍然是没有大小的，无穷小数是不存在的。我希望你先看看我的我的第七章。

天茂

下面引用由jzkyllcjl在 2009/09/06 07:55am 发表的内容：
天茂：你提出分界点的问题，是应该的！但是这个问题，鲁宾逊也回答不了你！希望你自己去解决！鲁宾逊的最后一章，请你看看。他无法说明无穷小、无穷大的真实性。他引用了莱布尼茨的“可以看做足够大、足够小”的 ...

谢谢先生的解释。只是不知道先生的第七章在哪里？我找找看先。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天茂 在 时添加 -=-=-=-=-
是这个吗？
第七讲 15自然数形式系统的不完善性及其改革[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天茂 在 时添加 -=-=-=-=-
看了一遍，这个第七讲中没有我要的东东。希望先生继续提供有关资料。

lethe

那么就是说lz的超实数系实际上是实数集的一个单超越扩张R(Ω)上补充定义一个忠实于加乘运算的良序关系？
那么，
1.lz如果要lnΩ,e^Ω这些概念有意义，必须补充定义y=lnx,y=e^x
2.R(Ω)上的测度应该怎么定义
3.R上的函数如何延拓到R(Ω)上？

（btw，to某些人，所谓点集的长度实际上就是在所有点集上定义一个满足一些条件的函数，就是所谓测度。一个比较符合直观的测度里单点集测度是0。当然你完全可以否认这个是长度，自己给出一个测度，因为数学本来就是公理化的）

zhaolu48

在《泛函》与《拓朴》中讨论完备集时，
有定理：任何非空的、上方胡界的数集都有上确界。
当f(Ω)仍为无穷大时，则f(Ω)大于任意（有限）实数，因此f(Ω)是（有限）实数的一个上界，因此（有限）实数集应当有“上确界”，设这个上确界为P，那么就可认为不大于P的实数称为有限实数，大于P的实数就可称为无穷大实数，从而Ω与任意的f(Ω)都可称为是一个无穷大实数，您所称的实数实质是就是有限实数，因为有了Ω，才推论出来了P。
　　P是有限实数的上确界，那么P-1,p+1,lnP,P^P等，都可取来作这个上确界，从而P可看作是上确界实数集的单位。因此就出现了一个可作上确界的数集。
　　拓朴上给出了一个可数无穷的概念，因此，Ω可看作是可数无穷（集）的单位。
　　不可数无穷可称为连续无穷，连续无穷也是一个集合，也可规定她的单位为Ψ。
　　两个可数集里的元素根本就不可能都参与一一映射，可参加一一映射的元素个数也可以构成一个集合，可称为可取集，也可给可取集定义一个单位Λ，这个集里的元素可称为可取无穷大。
　　这样就出现了五个集，从小到大依次是有限实数集，可作上确界集，可取无穷大集，可数无穷大集，连续无穷大集。后四个集合中的实数，都可看作是无穷大实数，这就是说把无穷大实数取出了四个大级别的集合。根据需要其实还须再取出三个“无穷大集合，共七个无穷大集合，这里就不再具体简述了。
　　我想，在对非标准分析的Ω作上述丰富后，会更准确清晰地表述出超实数集的性质。
　　陆教授认为呢？

lethe

上确界的是由完备性决定的。那么lz倒是给出R(Ω)的一个度量啊，然后证明这是一个完备度量啊

=。=这个论坛的悲剧是几乎所有人都和现代数学隔绝，不懂得定理背后的条件，甚至不懂得逻辑推演。lz似乎是挺有数学修养的人，所以希望lz能把这个理论为什么能展开说明清楚。

我以为非标准分析应该是建立在另一套逻辑之上的，但lz仍然停留在我们常见的代数系统“域”当中，把超实数仅仅看成一个域的单超越扩张这和有理分式域有什么区别？这就是我质疑的根源。但可能是我自己本身就不清楚这套理论。
既然仍然在传统的代数系统中，那么就应该做一些基本的事情，比如定义度量，以及把R上的函数延拓到R(Ω)。