细说哥猜中的“哈代_李特伍德公式”

熊一兵

下面引用由重生888在 2009/12/06 06:55pm 发表的内容：
熊先生好!因以前您不常看我的帖子,我在东陆有专区,来数学中国也有两年,若从头说,难度太大!大体说来
:WDY筛子(中国网眼筛子,一次性筛去2.3.5的倍数)得到8类WDY数:
7. 37. 67......
11 41......
13 43.....
若您有兴趣,我可将有关整理的材料寄给你!谢谢1

我想研究你的资料，我的地址：641200四川省资中县人民医院钟克励转熊一兵收。
过去在东陆论坛上，我忙于系统《概率素数论》，上论坛忙于求助，让众网友帮助《概率素数论》出世，这个理论是中国数学爱好者网友共同努力的结果。那时没精力来参与你们的哥猜系列研究。现在想参与大家的哥猜系列研究，梦想在大家共同努力下有较大进展。

重生888

谢谢熊先生!研究问题需要团对合作!我将陆续把资料寄给您,或发到您的邮箱里.谢谢!

熊一兵

下面引用由重生888在 2009/12/10 08:04am 发表的内容：
谢谢熊先生!研究问题需要团对合作!我将陆续把资料寄给您,或发到您的邮箱里.谢谢!

最好发到我的邮箱：njzz_yy@163.com
，谢谢！

熊一兵

下面引用由白新岭在 2009/12/07 05:06pm 发表的内容：
熊一兵先生你好，我的文字功底很差，表达能力也非常差，不能用更通俗，更贴切的数学语言来表达我的思路，分析问题的方法，这样会导致大家不能更好的沟通和传递数学知识。
如果从最浅显的知识，具体的知识入手，　...

“问题1：方程x+y=n,在单条件2，3，5，7，8，9时的解组数。（条件是x,y不能整除给的值）”
1、“单条件2，3，5，7，8，9时”，是指对谁而言？
2、“（条件是x,y不能整除给的值）”，是不是可以理解成：（条件是x,y不能整除n）”?

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/12/10 11:32am 第 1 次编辑]

下面引用由熊一兵在 2009/12/10 10:57am 发表的内容：
“问题1：方程x+y=n,在单条件2，3，5，7，8，9时的解组数。（条件是x,y不能整除给的值）”
1、“单条件2，3，5，7，8，9时”，是指对谁而言？
2、“（条件是x,y不能整除给的值）”，是不是可以理解成：（条件是x ...

问题1，“单条件2，3，5，7，8，9时”，是指对谁而言？
答：指x,y不能整除某一个条件值时的情况，例如求x,y不能整除2时，不同n的解的组数（n相对于2，可以分成2种情况，即一类是奇数，无解；另一类是偶数，有n/2组正整数解）。
再例如求x,y不能整除9时，不同n的解的组数（n相对于9，可以分成9种情况，分别为9t+1,9t+2,9t+3,9t+4,9t+5,9t+6,9t+7,9t+8,9t+9,你能用t的一次函数式写出这9种情况的准确解的组数吗？)
所谓的条件就是不定方程中的未知数不能整除给的值（限制条件），可以是任何正整数（1一般不考虑，它太简单了），也可以是多个条件，但是必须互质。
问题2：
答，整个问题不涉及未知数与n的整除性，即不是x,y能不能整除n的问题,也不是n能不能整除给的条件问题，条件仅指与未知数的整除性问题。

熊一兵

对回答：
问题1，“单条件2，3，5，7，8，9时”，是指对谁而言？
答：指x,y不能整除某一个条件值时的情况，例如求x,y不能整除2时，不同n的解的组数（n相对于2，可以分成2种情况，即一类是奇数，无解；另一类是偶数，有n/2组正整数解）。
再例如求x,y不能整除9时，不同n的解的组数（n相对于9，可以分成9种情况，分别为9t+1,9t+2,9t+3,9t+4,9t+5,9t+6,9t+7,9t+8,9t+9,你能用t的一次函数式写出这9种情况的准确解的组数吗？)
的理解：计算同余方程
x+y mod 9=n mod 9
的解数问题；
对
问题2：
答，整个问题不涉及未知数与n的整除性，即不是x,y能不能整除n的问题,也不是n能不能整除给的条件问题，条件仅指与未知数的整除性问题。
还没能理解

白新岭

无论单条件，还是多个条件，我们只研究未知数符合条件的元素相对公共周期的余数合成问题，整周期的连带问题容易处理。这里的公共周期等于条件的连乘积，因为它们互质，所以在n上形成周期变化的最小值就是它们的最小公倍数。例如在x,y,z不能整除3，4，5的情况下，符合条件的元素在3*4*5=60时，形成一个完整的周期，即每隔60，出现符合条件的元素个数相同，都是60*(1-1/3)*(1-1/4)*(1-1/5)=2*3*4=24,分别为60t+1,60t+2,60t+7,60t+11,60t+13,60t+14,60t+17,60t+19,60t+22,60t+23,60t+26,60t+29,60t+31,60t+34,60t+37,60t+38,60t+41,60t+43,60t+46,60t+47,60t+49,60t+53,60t+58,60t+59.
对于任何一个t值（每一个周期），t≥0,都有符合条件的24个元素，除t不同外，余数（符合条件的元素相对于60的余数）都是上面式子的纯数字部分，出现几率相同，都是1/60，符合条件的元素出现的几率为24/60=0.4.

白新岭

这里是与熊一兵先生的聊天记录：
求不定方程x+y+z+........+u=n（有m个未知数）的正整数解的组数，在组合数学中应该有吧！（我不知道），这个问题很好解决，我们把n个整数1看成n个物体，把这n个物体排列成一排，则n个物体间有n-1个空隙，拿m-1块木板把这n个物体隔开，正好分割成有序的m堆物体，按顺序把x,y,z,.....u与分割好的m堆物相对应，未知数取每堆物体的个数，则每一种分法就是方程的一组正整数解，而木板的方法等于从n-1个空隙上抽m-1个空隙法，即为C(n-1,m-1),所以不定方程x+y+z+........+u=n（有m个未知数）的正整数解的组数为：C(n-1,m-1)=(n-1)!/(m-1)!/(n-m)!.
有了这个结论，就可以得到不定方程x+y+z+........+u=n（有m个未知数）的非负整数解的组数。方程两边各加上m,变为（x+1）+（y+1）+（z+1）+........+（u+1）=n+m,另X=x+1,Y=y+1,Z=z+1,...,U=u+1,则方程变为X+Y+Z+.....+U=n+m,变形后方程的正整数解的组数为：C(n+m-1,m-1),这也就是原方程的非负整数解的组数。
在后边方程解的基础上，我们就可以解决条件方程解的组数了。
例如方程x+y+z=n,x,y,z不能整除6,则x,y,z只能取6t+1,6t+2,6t+3,6t+4,6t+5这5类数，n可以有t的6种函数式表示，   未完待续，我要下班了。
上午举得例子未写完（不知你看了没有）。拿一个具体的数，比较好理解。就设n=604吧。这个n分成两部分，一个为6的整倍数部分是600，除6，等于100，另外一部分是4，因为x,y,z不能整除6，所以把x,y,z也分成两部分，即把x,y,z写成6t+b的形式，这里0<b<6，为整数。先看b组成余数4的情况，至于周期t的分配好算出，是X+Y+Z=100的非负整数解的组数。那么有：1，2，3，4，5这5个元素做3元加法，会得到怎样的分布呢？
独木星空 16:05:21
   1   2   3   4   5
1  2   3   4   5   6
2  3   4   5   6   7
3  4   5   6   7   8
4  5   6   7   8   9
5  6   7   8   9   10
第一行和第一列为参与运算的5个元素，其余部分是2元加法运算的结果。
                   1               2               3               4                             5
2→ 3→ 4→ 5→ 6→ 7
3→ 4→ 5→ 6→ 7→ 8
4→ 5→ 6→ 7→ 8→ 9
5→ 6→ 7→ 8→ 9→ 10
6→ 7→ 8→ 9→ 10→ 11
3→ 4→ 5→ 6→ 7→ 8
4→ 5→ 6→ 7→ 8→ 9
5→ 6→ 7→ 8→ 9→ 10
6→ 7→ 8→ 9→ 10→ 11
7→ 8→ 9→ 10→ 11→ 12
4→ 5→ 6→ 7→ 8→ 9
5→ 6→ 7→ 8→ 9→ 10
6→ 7→ 8→ 9→ 10→ 11
7→ 8→ 9→ 10→ 11→ 12
8→ 9→ 10→ 11→ 12→ 13
5→ 6→ 7→ 8→ 9→ 10
6→ 7→ 8→ 9→ 10→ 11
7→ 8→ 9→ 10→ 11→ 12
8→ 9→ 10→ 11→ 12→ 13
9→ 10→ 11→ 12→ 13→ 14
6→ 7→ 8→ 9→ 10→ 11
7→ 8→ 9→ 10→ 11→ 12
8→ 9→ 10→ 11→ 12→ 13
9→ 10→ 11→ 12→ 13→ 14
10→ 11→ 12→ 13→ 14→ 15

有第一行的一元的5个元素与第一列的25个2元加法结果再相加，得到最终结果：
3元结果→ 出现次数
3→ 1
4→ 3
5→ 6
6→ 10
7→ 15
8→ 18
9→ 19
10→ 18
11→ 15
12→ 10
13→ 6
14→ 3
15→ 1

余数4在第一周期出现了3次，即余数1，1，2的全排列；在第二周期它（10=6+4）出现了18次，即余数1，4，5的全排列，余数2，3，5的全排列，余数2，4，4的全排列，余数3，3，4的全排列；第三周期未出现。
所以当n=604时，方程的正整数解的组数为：3*C(100+3-1,3-1)+18*C(100-1+3-1,3-1)+0*C(100-2+3-1,3-1)=3*102*101/2+18*101*100/2+0=106353.
解决问题思路，把n分成两部分，一部分是条件的整倍数，一部分是余数，整倍数的取得是减1后向下取整，即为[(n-1)/6],中括号为取整函数。不知道大家能否理解。有兴趣的可以求一下x+y+z=n,这里的未知数不能整除3，4.(给的条件要互质），它有12种情况，即n=12t+1,12t+2,12t+3,12t+4,12t+5,12t+6,12t+7,12t+8,12t+9,12t+10,12t+11,12t+12.(t从0到无穷大），谁能给出关于t的2次函数公式表达式。
在解决歌猜前，还是先把不定方程在限制条件下方程解的组数问题搞清楚，弄明白为好，这样会对歌猜有深刻的认识，水到渠成，磨刀不误砍柴工。

白新岭

下面引用由熊一兵在 2009/12/10 11:46am 发表的内容：
对回答：
问题1，“单条件2，3，5，7，8，9时”，是指对谁而言？
答：指x,y不能整除某一个条件值时的情况，例如求x,y不能整除2时，不同n的解的组数（n相对于2，可以分成2种情况，即一类是奇数，无解；另一类是偶 ...

问题1的理解是否有误？
我不知同余方程的解组数是如何定义的，如果是大概意思是这样的话：
求x+ymod9=nmod9的解组数
我的理解是，这里x,y为不大于n的正整数，x的余数+y的余数=n的余数，例如n=91,则n对于9的余数是1，那么在不大于91内的正整数中有哪些两个数的和相对于9的余数为1呢？
实际上只要x+y=91,对于余数方程都成立，有91-1=90组解，因为用9的全部余数0-8做2元加法，其合成方法一致，总方法为9*9=81，共有9类，每类拥有合成方法为81/9=9，这与含条件9，或者不含条件9是没有区别的。
如果同余方程的解，不是那样定义的，而是x,y的取值不能为9的倍数，值域n不限定，此时求同余方程解的组数可以与不定方程在限制条件下求解的组数等价。
问题2，只能告诉是，或否。
在不定线性方程中，与其他函数一样有“定义域”和值域，在限制条件下，就是对“定义域”而言，未知数可以取什么样的数，未知数只能取不能整除所给条件的数，n是可以给任何正整数的，只要它大于0的整数即可，不管的是否有解或无解，也不管它能整除所给条件，还是不能整除所给条件，都是不限制的。
至于，问什么要把n分类，那是解决这类问题必须要做的事情，不分类就无法求得方程符合条件的解组数，除非你去统计，这只能解决有限的问题，不能解决无限的问题，或者一个大的n值时，方程解的组数问题，也就是说，把n分类只是解决问题的一种处理方法。

熊一兵

下面引用由白新岭在 2009/12/10 03:16pm 发表的内容：
问题1的理解是否有误？
我不知同余方程的解组数是如何定义的，如果是大概意思是这样的话：
求x+ymod9=nmod9的解组数
我的理解是，这里x,y为不大于n的正整数，x的余数+y的余数=n的余数，例如n=91,则n对于9的余数　...

其实，对同余的概念，我也是知知皮毛，手头有书只是大概看看；
既然是解，就应该有一个至多几个确定的值。
刚才专门看了一下同余的概念，x对模m的余记作x(modm),若它与y同余，记为
x(modm)≡y(modm)
否则
x(modm)≠y(modm)    （注：不同余是三横带斜划线，这里用≠代替）
x(modm)+y(modm))=x+y(modm)
简言之：0≤x(modm)<m