数学理论的本质与阐述方法

elim

实数的无尽小数表示的存在不以人的计算为转移，先于人对它的计算．
jzkyllcjl 吃狗屎与搞数学不能兼得．

jzkyllcjl

elim 发表于 2020-6-5 03:41
实数的无尽小数表示的存在不以人的计算为转移，先于人对它的计算．
jzkyllcjl 吃狗屎与搞数学不能兼得．

实数的无尽小数表达式 是寻求 计算实数十进小数之后提出的 表达式，你说的 先于人对它的计算 不仅 不符合事实，而且 需要研究这种表达式的无尽的实际意义与应用性质。 例如：1/3的无尽 循环小数0.333……是康托尔基本无穷数列的 简写，并提出 这个数列中 存在着1/3的 任意误差界1/10^n 下的 十进小数 近似表达式，所以笔者称这个数列是1/3的全能近似表达式。 但不存在1/3的绝对准 十进小数表达式。最重要的是： 数学理论 的价值在于应用： 如果 将一元钱，分给 三个人， 两个人 的0.33元，一个人的0.34元 就可以了，无法进行每个人得0.333……元 的 工作。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-6-5 10:04
在现代数学教科书中，从小学的无尽小数，到大学的无穷数列、无穷级数、无限大、无限小、无穷集合都用到了无 ...

由于jzkyllcjl先生，至今停留在有限认识的基础上，始终坚持“无尽循环小数具有永远写不到底的性质，这些无尽不循环小数具有永远算不到底的性质”。Jzkyllcjl 认为：“在现代数学教科书中，从小学的无尽小数，到大学的无穷数列、无穷级数、无限大、无限小、无穷集合都用到了无穷、无尽、无限 这几个定语。 使用后，出现了三分律反例、连续统假设、无穷集合中整体与真子集元素个数相等、无尽小数是实数、无穷次加法可以实现、无穷次判断能不能实现等的许多值得研究的问题。为此，笔者认为：首先需要肯定：在语文中，无穷或无尽、无限这几个定语都是“无有穷尽、无有终了的意思；然后需要结合各个问题的实际情况进行具体地深入研究。”对于jzkyllcjl先生不负责任的说法，我们在前面的交流中已经证明：在实无穷观念下实数不存在三分律反例；根据恩格斯辩证无穷观，我们也证明了在无穷的情况下“整体大于部分”不再成立（参见恩格斯《反杜林论》纪念马克思诞辰200周年选辑P40页）。并且公理化集合论亦不再有连续统假设大难题。至于“无尽小数是实数、无穷次加法可以实现、无穷次判断”也能实现，其它相关问题均已得到解决。下面我们再对jzkyllcjl先生，至今仍未解惑的无限循环小数0.333……＝1∕3给出几个等价的证明：
1、根据康托尔实数理论，证明无限循环小数0.333……＝1∕3
证明：易知数列{An}:{0.3,0.33,0.333,……（1∕3）（1－10^(-n）……｝是康托尔基本序列；数列{Bn}：{1∕3，1∕3，1∕3，……，1∕3，……}也是康托尔基本序列，且对任给的ε>0,存在N＝[log(1∕ε]+1,当n>N时有∣An-Bn∣<ε。所以，实数An等于实数Bn;即无限循环小数0.333……＝1∕3。
2、马克思在《数学手稿》P19页给出：1∕3本身是它自身的极限，假如我们把它表成级数，那未（参见图一①），所以1∕3＝3∕10+3∕100+3∕1000+3∕10000+……，在这种情况下，1∕3成为它的无穷级数的极限。
证明：因为1∕3＝3∕10+3∕100+3∕1000+3∕10000+……＝0.3+0.03+0.003+0.0003+……＝0.3333……（参见图一②③④），所以，1∕3＝0.3333……
3、已知如图二：在射线OS上OP＝PQ＝QR，C点坐标为（1，0）；PA∥QB∥RC；求证①1∕3＝0.333……；2∕3＝0.666……
证明：因为：射线OS上OP＝PQ＝QR，C点从标为（1，0）；PA∥QB∥RC；所以，OP∕OR＝OA∕OC；即1∕3＝OA∕1,也就是1∕3＝OA，因为A在X轴上，所以A点的坐标为十进制无限循环小数0.333……；所以，1∕3＝0.333……；同理2∕3＝0.666……。
4、①用反证法证明无限循环小数0.999……＝1；②当1≦a≦8（a是整数）时，0.aaa……=a∕9.
证明①(反证法)：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1。
②因为无限循环小数0.999……=1  （1），（1）式两端同乘以（1∕9）得：0.111……＝1∕9（2）；又因为1≦a≦8（a是整数）；所以，0.aaa……＝a/9.特别的当a=3时，有0.333……=1/3。
最后再次强调，实数对四则运算封闭。所以，在弄懂实数定义的情况下、无穷次加法可以实现、无穷次判断也可以进行，其它相关问题也就迎刃而解了。

jzkyllcjl

春风晚霞： 的上述贴子 的根本问题是图一。  图一 写了 等式：1/3=0.333……3(n个3) +10^-n, 这个 等式 是对的， 但他 接下去的 n→∞ 的取极限  之后的 结果 1/3=0.333…… 错了。 错误之处在于他把 应有的等式
1/3= lim n→∞=0.333……3(n个3), 写成了0.333…… 不是定数的 等式1/3=0.333……。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-6-8 09:57
春风晚霞： 的上述贴子 的根本问题是图一。  图一 写了 等式：1/3=0.333……3(n个3) +10^-n, 这个 等式 是 ...

Jzkyllcjl先生认为“春风晚霞的上述贴子的根本问题是图一。 图一写了等式：1∕3＝.333……3(n个3) +10^-n, 这个等式是对的， 但他接下去的 n→∞的取极限之后的结果1∕3＝.333…… 错了。错误之处在于他把应有的等式1∕3= lim n→∞=0.333……3(n个3), 写成了0.333…… 不是定数的等式1∕3=0.333……”。并非春风晚霞拒谏饰非，听不进不同意见，实因Jzkyllcjl先生言不在理。春风晩霞提请Jzkyllcjl先生反思以下10个方面：1、图一①是马克思把1∕3展开成无穷级数3∕10+3∕100+3∕1000+3∕10000+……竖式演算式，②③④则是在①的基础上的进一步深入。2、无限循环小数0.333……任何数位上的数都是3，因此说无限循环小数0.3333……是变数这与历代数学认识相悖。就是高斯、庞加莱、伽罗华……这些资深的潜无穷数学家也不认为这种任何数位上的数字都是定值的数“不是定数”。3、马克思《数学手稿》多处提到极限一词，但马克思没有一处用到极限符号“lim n→∞”；4、由于马克思的“1∕3=3∕10+3∕100+3∕1000+3∕10000+……”，只需用到欧几里得的等量公理，便可得其等价形式1∕3=0.333……；因此竖式演算是符合马克思的论述原意的。5、从《数学分析》发展史看，级数理论早于微积分理论，更早于高斯、威尔斯特拉斯的极限理论；所以早期的《数学分析》级数版块（《数学分析》三大版块：极限、微积分、级数）不用lim n→∞表示极限；6、等式1∕3=0.333……中的省略号“……”，潜无穷论者认为是“无穷、相续”，而实无穷论者认为是“所有、完全”。7、辩证无穷论者（如黑格尔、恩格斯）认为“无穷客观存在，无穷可以认识”、双相无穷论者（如徐利治）认为“潜、实无穷如一枚硬币的正反两面”。8、春风晚霞94#的贴子，从实数定义、代数、几何、马克思极限理论等方面证明了1∕3=0.333……；但毕竟有悖于jzkyllcjl先生“0.333…不是实数、不是定数”的认知，故此，请jzkyllcjl思考究竟谁是谁非。9、jzkyllcjl数学行文不讲数理，多喊口号。甚至信口开河，无中生有（如用“多对一”否证伽利略猜想；生造0.333……是康托尔基本序列的简写；毫无道理限制论敌“反证法不能用”、“一一映射不能用”……等等）。10、jzkyllcjl先生否认极限可达性，否认把一个确定的数化为级数后其值不变。
下面附一极限可达性实例：

jzkyllcjl

春风晚霞正教授： 现在逐个 回答你的十个方面如下。1，马克思把1∕3展开成无穷级数3∕10+3∕100+3∕1000+3∕10000+……竖式演算式，那么根据级数和 是其前n项和的数列极限的定义，这个级数和就是无穷数列0.3，0.33，0.333，…… 的极限值1/3。 而不是你使用0.333……是定数 1/3 的错误概念，2虽然无限循环小数0.333……任何数位上的数都是3，但 无限循环小数0.3333……是永远写不到底的事物。只有把它看作无穷数列0.3，0.33，0.333，…… 的变数 时 才有用处， 如果 将一元钱，分给 三个人， 两个人 的0.33元，一个人的0.34元 就可以了，无法进行每个人的0.333……元 的 工作。3，你说到：马克思《数学手稿》多处提到极限一词，但马克思没有一处用到极限符号“lim n→∞”，对你说的没有，我无法查找，但 根据 级数和的定义，级数和计算 需要用到“lim n→∞。4，你说到：只需用到欧几里得的等量公理，便可得其等价形式1∕3=0.333……；因此竖式演算是符合马克思的论述原意的”。 但是 马克思 没有说0.333……是定数。所以你的 等式1∕3=0.333…… 不成立。5，你说的“早期的《数学分析》级数版块（《数学分析》三大版块：极限、微积分、级数）不用lim n→∞表示极限” 不足为凭，应当使用现行级数理论中的 级数和 定义， 你讲级数理论时，不用现行级数理论吗？！6与7，你说到：“等式1∕3=0.333……中的省略号“……”，潜无穷论者认为是“无穷、相续”，而实无穷论者认为是“所有、完全”。那么， 究竟哪个 符合事实呢？ 8，我的“0.333…不是实数、不是定数”的认知”， 是有事实根据的，事实是“无穷或无尽、无限这几个定语都是“无有穷尽、无有终了的意思；所以，不是我错了，而是你违背了实践的事实。9，我的“多对一” 是 对“正整数集合 S1= {1, 2, 3，… n，…} 与正整数的平方数集合  S2= {1, 4, 9，… n2,…} 的两个集合中，哪一个元素更多一些呢？”的伽利略 困惑问题 讲的，这时S1 中的元素1、2、3 对应的都是 S2中的第一个元素1；S1 中的元素4、5、6、7、8对应的S2 中的第二个元素4 ；…… 我讲的是事实，这种 讲法 就消除了整体等于部分 谬论； 不是信口开河，无中生有，不是毫无道理限制论敌“反证法不能用”、“一一映射不能用” 。10， 你强调极限可达性，那么你 计算中的limΔθ→0,是Δθ=0吗？ 如果是，那你的 计算中就有 0 做除数的“违背0不能作除数”的问题。所以，必须肯定Δθ→0,而不是是Δθ到达-0，=0。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-6-9 10:35
春风晚霞正教授： 现在逐个 回答你的十个方面如下。1，马克思把1∕3展开成无穷级数3∕10+3∕100+3∕1000+3 ...

jzkyllcjl 先生，现对你的逐个回答再次商榷如下：
1、jzkyllcjl先生，你凭什么说“马克思把1∕3展开成无穷级数3∕10+3∕100+3∕1000+3∕10000+……竖式演算式，那么根据级数和 是其前n项和的数列极限的定义，这个级数和就是无穷数列0.3，0.33，0.333，…… 的极限值1/3”？马克思能预测到他逝世百年后，你会提出 0.333……不是定数的谬论吗？2、“虽然无限循环小数0.333……任何数位上的数都是3”，那么这个数就是定数。什么是常数（定数），什么是变数？除你之外，人类还有把每一个数位上的数字都是定值的数叫变数的吗？“无限循环小数0.3333……是永远写不到底的事物。只有把它看作无穷数列0.3，0.33，0.333，…… 的变数 时 才有用处”？jzkyllcjl先生，你也未免太“唯吾” 了吧？什么是数学，数学任务是什么？“如果将一元钱，分给 三个人， 两个人 的0.33元，一个人的0.34元 就可以了”。但如果要求是把这一元钱，平均分结三个人，你这样的分配符合要求吗？更何况三分之一的“一”就是一元钱的一吗？如果这个一是表示长度为一光年的“一”，要求把这个“一”平均分成三分长度相等的部分，你的两个0.33（光年），一个0.34（光年）误差是不是太大了？你要知道，目前最小的长度单位是幺米（ym），1幺米=1/1亿兆毫米。即1亿兆幺米=1毫米。你的那种近似分配还是平均分配吗？
3、jzkyllcjl先生，“马克思《数学手稿》多处提到极限一词，但马克思没有一处用到极限符号’lim n→∞’，对你说的没有，我无法查找，但根据级数和的定义，级数和计算需要用到’lim n→∞。’”jzkyllcjl先生，你有马克思的《数学手稿》，查一下并不费力。你不愿查的原因是，你如查了，就不能再拉大旗作虎皮了。4、jzkyllcjl先生，你认为春风晚霞所说的“’只需用到欧几里得的等量公理，便可得其等价形式1∕3=0.333……；因此竖式演算是符合马克思的论述原意的’。 但是 马克思 没有说0.333……是定数。所以你的 等式1∕3=0.333…… 不成立”。那么，jzkyllcjl先生，你倒说说马克思说过他的那个等式是你的C托尔基本数列0.3，0.33，0.333，…的简写吗？马克思又什么时候说过他的那个等式是你的C托尔数列的“趋向性极限”？
5、Jzkyllcjl先生，你认为我“说的’早期的《数学分析》级数版块（《数学分析》三大版块：极限、微积分、级数）不用lim n→∞表示极限’不足为凭，应当使用现行级数理论中的 级数和 定义， 你讲级数理论时，不用现行级数理论吗？”问得好啊！74年到77年这个时段，我所使用的教材正是马克思的《数学手稿》，我在教学中正是按照教材体系去讲的。忠于教学大纲，忠于教材，这是教师的职业道德嘛！其实就是在高校教育走上正规后，也有教材的级数版块不用limt这个符号的。你可以去查查菲赫金哥尔茨的《数学分析系理》，看是是这样的？6与7、jzkyllcjl先生，你问我：“等式1∕3=0.333……中的省略号’……’，潜无穷论者认为是’无穷、相续’，而实无穷论者认为是’所有、完全’。那么， 究竟哪个 符合事实呢？”其实对“…”的认识，我认为仁者见仁，智者见智。徐利治先生对你提出的这个问题有明确答复，你还是自己去看吧！ 8、jzkyllcjl先生，你认为“我的’0.333…不是实数、不是定数’的认知， 是有事实根据的，事实是无穷或无尽、无限这几个定语都是’无有穷尽、无有终了的意思’；所以，不是我错了，而是你违背了实践的事实”。jzkyllcjl先生，谁规定“无有穷尽、无有终了”的无限小数就不是实数了？那么，你说说你的实数定义是什么？像圆率3.14159…，无限循环小数0.333…；0.999…，…这些数又该是什么数？9、jzkyllcjl先生，你认为“我的’多对一’是 对’正整数集合 S1= {1, 2, 3，… n，…} 与正整数的平方数集合  S2= {1, 4, 9，… n2,…} 的两个集合中，哪一个元素更多一些呢？’的伽利略 困惑问题讲的，这时S1 中的元素1、2、3 对应的都是 S2中的第一个元素1；S1 中的元素4、5、6、7、8对应的S2 中的第二个元素4 ；…… 我讲的是事实，这种 讲法 就消除了整体等于部分 谬论； 不是信口开河，无中生有，不是毫无道理限制论敌’反证法不能用’、’一一映射不能用’ 。”Jzkyllcjl先生，你用“S1 中的元素1、2、3 对应的都是 S2中的第一个元素1；S1 中的元素4、5、6、7、8对应的S2 中的第二个元素4 ；……”这是在比较两个集合中元素相等吗？你为什么不用S1中的元素x对应S2中的元素x的平方呢？你以为你篡改伽利略猜想的题设和结论后，就“消除了整体等于部分谬论”？你可知道恩格斯对“整体大于部分”这个命题是怎样评述的？你以为你用“一一对应不能用”、“反证法不能用”、……这不能用，那不能用就封住了论敌的嘴，数学界就会认为你的胡说八道是真理？jzkyllcjl先生，太狂了吧？你以为真能如你所愿吗？
10，jzkyllcjl先生，我“强调极限可达性”那是指“我们在求极限或求微分的过程中，虽然扬弃了高阶无穷小，但并不影响计算的准确度；这一特性就是现行实数理论的极限可达性。”如我们证明，当n→∞时，（1∕3）[1－10^(-n)]的极限可达。Jzkyllcjl先生，在我的计算中什么时候我给出limΔθ→0了？你到底看懂那个附加的极限可达性实例了吗？你知道“在求极限或求微分的过程中，虽然扬弃了高阶无穷小，但并不影响计算的准确度”的含意吗？你能如实解释这个例子的三种证法得到结果相同的基本原因吗？你能正确解释94楼四种证明方法都证得1∕3 ＝0.333……吗？jzkyllcjl先生，数学讨论可不是吵架，只要坚持就是胜利。你在网上奋斗多年，支持你的学者有多少呢？

jzkyllcjl

春风晚霞：1，马克思没有提出 0.333……是定数，我说它不是定数 符合马克思的 论述，因此我的话不是谬论。2  “虽然无限循环小数0.333……任何数位上的数都是3”，但根据无尽是无有终了的事实，无限循环小数0.333…… 就不是定数，当然 也不是数，它没有数的意义。只有把它看作无穷数列0.3，0.33，0.333，…… 的变数 时 才有用处。3，’lim n→∞ 是级数理论中用了的，至于 马克思 ，由于他说了级数极限的 话，我不需要再查他的书中有没有’lim n→∞ 的符号。4，根据级数和的定义，马克思说了级数的极限， 就是说了  那个级数和是C托尔基本数列0.3，0.33，0.333，…的 极限。5，我多次说过：对于你讲级数理论不用lim n→∞表示级数和的极限，而用无穷项相加 表示 级数和的 做法 是不严肃的，是张冠李戴的错误。6、7，徐利治说到难以解决的 反例，就表明：完成了的整体的实无穷 观点 行不通，为此我尊重无尽不循环小数算不到底的事实。8，对于你提出的 “你的实数定义是什么？的问题，我说过多次，现实数量大小（例如线段长度）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与根号2 ）。
对于 你提出的 像圆率3.14159…，无限循环小数0.333…；0.999…，…这些数又是什么数？的问题，我提出了 “除0以外的每一个理想实数 都存在唯一的以它为极限的无尽小数（与现行无尽小数概念不同，我认为 ；无尽小数都是对实数 的满足误差界条件 的以n位十进小数 为通项的理想实数 的不足近似值的康托儿基本数列的简写）表达式，这些基本数列（包括无尽小数）收敛于这个理想实数 。所以无尽小数都不是实数，而是实数的 以十进小数为项  康托尔 基本数列的简写。9，伽利略困惑问题需要用事实说明，集合的整体的元素个数大于其真子集的元素个数是事实。10，极限理论是需要的，极限值也是需要提出的。计算 切线斜率 需要使用理想极限。当n→∞时，（1∕3）[1－10^(-n)]的极限为1/3 的极限值需要用，但 变数性无穷数列 达不到其 极限的性质 也需要知道。 你的解法2中写出了limΔθ→0，这个表达式 不能理解为Δθ到达 0。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-6-9 15:46
春风晚霞：1，马克思没有提出 0.333……是定数，我说它不是定数 符合马克思的 论述，因此我的话不是谬论。2 ...

jzkyllcjl先生：1、马克思也没有说 0.333……是变数，所以你说0.333…不是定数就是谬论。2  、无限循环小数0.333…始于0.3终于1∕3，所以你的“无尽是无有终了”不是事实。因此你的“无限循环小数0.333…… 就不是定数，当然 也不是数”就是反人类数学谬论。3、你不是不查，而是不敢面对。因为你不查或许还感觉良好，查了也可能就不那么心安理得了。4、马克思说了级数的极限，但没有说他说的极限就是你的“趋向性极限”，你少在这里自鸣得意。5、你多次说过有什么用？对于不管数的发展历史，不管人类对数学的共识的学者，说得越多，破坏作用越大。你对无穷项相加表示级数和既不知其然也不知其所以然。貌似严肃，其实是装腔作势，蓄意害人。6、7，你根本读不懂徐利治的任何一篇文章，完成了的整体的实无穷观点是当今数学主流观点。行不通的倒是你所尊重“无尽不循环小数算不到底的事实”。8，你对“你的实数定义是什么？虽然回答过多次，但是“现实数量大小（例如线段长度）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数”语意含混，私货太多，不符合定义逻辑语法，不能作为实数的定义。9，伽利略困惑你是引自张锦文《集合论与连续统假设浅说》P19页“伽利略问题”，但你并没有忠实张锦文对这个问题的看法和评价。在无限的情况下“集合的整体的元素个数大于其真子集的元素个数”才不是事实，恩格斯对此有明确的论述（参见恩格斯《反杜林论》P40页）。10、我95楼的附例意在说明“我们在求极限或求微分的过程中，虽然扬弃了高阶无穷小，但并不影响计算的准确度；这一特性就是现行实数理论的极限可达性。”因你根本就不懂极限，更不懂什么叫高阶无穷小。所以我很后悔，对你这种“唯吾”主义者，肯定是不会有任何作用的。至于你说我的“解法2中写出了limΔθ→0”，我不管是你有意还是无意，我解法2中的Δθ是自变量增量，自变量增量趋向于0但不等于0，这是克服老牌唯心主义者贝克莱主教非难时就明确了的。当自变量增量趋向于0但不等于0时，函数扬弃一个高阶无穷小，这时函数的值仍能达到准确值，这就是极限可达性。

青山

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不要试图以任何形式证明0.999…=1，否则只会自取其辱