实数集可数定理和 归 0 证明法

春风晚霞

APB先生 发表于 2021-1-29 07:47
忙中出错，83 楼又改错了，不会删掉错贴，越改越长。

APB先生：读完你回C9、回C10的改后贴，我有以下几个问题想与你交流
1）、生生在回C9中给出了关于\(0.\dot 9\)≠1逻辑演绎，先生写道：因为\(0.\dot 9\)≡\(0.\dot 9\)；1≡1；所以\(0.\dot 9\)≠1。从表面上看，这是一个完整的演译三段式，其实这只是先生的循环论证。即先生从\(0.\dot 9\)≠1的前提出发，论证\(0.\dot 9\)≠1。APB先生，这可是犯了逻辑证明的大忌哟。
2）、先生在回C9中写道：“因为\(0.\dot 9\)是小数，1是自然数，所以\(0.\dot 9\)和1不等价”。那么什么是等价呢？在实数理论中等价的定义是：对任给的无论怎样小的正数ε>0，存在自然数N，当n>N时恒有叫等价呢？现行实数理论中等价的定义是：对于任意给定的无论怎样小的正数ε>0，存在自然数N，当n>N时，恒有|\(a_n-b_n\)|< ε，则称\(a_n与b_n\)等价（记为\(a_n\Longleftrightarrow b_n\)。我们不难验证\(0.\dot 9\)\(\Longleftrightarrow\)1;\(0.\dot 1\)\(\Longleftrightarrow\)\(1\over 9\)  ；\(0.\dot 2\)\(\Longleftrightarrow\)\(2\over 9\)   ；\(0.\dot 3\)\(\Longleftrightarrow\)\(3\over 9\)  ……从这些等价式可以看出由\(0.\dot 9\)\(\Longleftrightarrow\)1;根本就不会出现“如果说它们等价，就可以说：小数不是小数是自然数，自然数不是自然是小数”的荒唐情形。
3）、再论无穷小小数不存在
先生定义的\(0.\dot 0x\) x∈{0、1、2、……9}的无限小小数不存在。这个定义是先生根据对有限的认知构造出来的一种新形数，我认为这种新形数是不存在的。其理由是：从先生的贴文举例看，先生是想在\(0.\dot 0\)的末尾加上一个x；现在的问题是\(0.\dot 0\)有末尾吗？如果有，那么它就与\(0.\dot 0\)是以数字0为循环节的循环小数矛盾。如果没有，那么数字x就没存放之处。所以形如\(0.\dot 0x\)无穷小小数不存在。
4）、在\(0.\dot 9\)和1之间存在无穷多个纯小数是伪命题
先生为了证明\(0.\dot 9\)<1给出了不等式（1）：\(0.\dot 9\)<\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)<\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 02\)<……<\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 09\)。如\(0.\dot 0x\)不在，则（1）式已表明在\(0.\dot 9\)和1之间不存在纯小数。若\(0.\dot 0x\)存在，则它表示在\(0.\dot 0\)末尾加了一个x。不妨设x前边的0的个数为k，则\(0.\dot 0x\)是一个k+1位纯小数。设\(b_{k+1}=0.\dot 9\)前的k+1位数。则\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 0x\)>\(b_{k+1}+0 .\dot 0x\)>1，所以（1）式非真；事实上，当且仅当\(0.\dot 01\)加在\(0 .\dot  9\)的倒数第二位时才有1=\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)成立。亦即当卫仅当\(0.\dot 9\)是有限数时才有\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)=1，这与\(0.\dot 9\)是无限循环小数矛盾。所以，\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)=1不成立。
由于\(0.\dot 01\)不成在，所以\((0.\dot 01)^2\)、\((0.\dot 01)^3\)、……、\((0.\dot 01)^n\)也就不存在。所以你的不等式\(0.\dot 01\)<\((0.\dot 01)^2\)<\((0.\dot 01)^3\)<……<\((0.\dot 01)^n\)也就无从说起。同时，1=\(0.\dot 01+0.\dot 99\)也未必成立。由于\(0.\dot 9x\) x∈｛1，2，…，9｝不存在，所以你给出的等式只有1=1=\(0.\dot 9\)、2=2=\(1.\dot 9\)、3=3=\(2.\dot 9\)成立，其余等式均不成立。因此也不会出現生生所担心的全体实数和全体复数都成了多值函数的荒唐事。
APB先生，没有人否认你的数学思想和发现，然而你的发现虽没有证明康托尔、华罗庚他们的\(0.\dot 9\)=1和\(0.4\dot 9\)=0.5就错了。至于你进军《宇宙数学》那是好事，我期待并祝愿你成功。

APB先生

如果一个定数可以变成另一个定数，那么 1 就可以变成 10000。违背算术常识的多么高级的理论，都是错误的。

APB先生

春风晚霞

APB先生 发表于 2021-1-29 20:31

APB先生:现就先生91#的发言，我谈谈我的看法：
一、关于等价关系的定义
1）一般（抽象）定义:设x∈A；y∈A，若关系R满足下列三个条件：(1) xRx(反身性)；（2）若xRy，则yRx(对称性);(3)若xRy且yRZ，则xRZ（传递性）；则称关系R为等价关系。
2）康托尔实数等价关系的定义:
定义：对于任意给定的无论怎样小的正数ε>0，存在自然数N，当n>N时，恒有|\(a_n-b_n\)|< ε，则称\(a_n与b_n\)等价（记为：\(a_n\Longleftrightarrow\)\(b_n\)）。
两点说明
(1)、康托尔实数等价定义是一般定义的具体化。
(2）、康托尔实数等价定义对常数依然适用。如对任给的无论怎样小的定数ε>0，对任意自然数都有|1-\(0.\dot 9\)|<ε，∴\(1\Longleftrightarrow 0.\dot 9\)
二、关于1\(\Rightarrow 0.\dot 9\)与\(0.\dot 9\Rightarrow\)1的问题
1）由1\(\Rightarrow 0.\dot 9\)
由\(1\over 9\)=\(0.\dot 1\)的两端同乘以9得， 1=\(0.\dot  9\)      所以 1\(\Rightarrow 0.\dot 9\)
2)由\(0.\dot 9\Rightarrow\)1
因为\(0.\dot 9\)=\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {9\over 10^n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))=1       所以\(0.\dot 9\Rightarrow\)1  所以  \(1\Longleftrightarrow 0.\dot 9\)。
三、\(\color{red}{再论无限小小数不存在}\)
先生定义的\(0.\dot 0x\) x∈{0、1、2、……9}的无限小小数不存在。这个定义是先生根据对有限的认知构造出来的一种新形数，我认为这种新形数是不存在的。其理由是：从先生的贴文举例看，先生是想在\(0.\dot 0\)的末尾加上一个x；现在的问题是\(0.\dot 0\)有末尾吗？如果有，那么它就与\(0.\dot 0\)是以数字0为循环节的无限循环小数矛盾。如果没有，那么数字x就没存放之处。所以形如\(0.\dot 0x\)的\(\color{red}{无限小小数不存在}\)。先生在点评中说道“如果无穷小小数 0.0……01 不存在，那么形如 0.5999…… 的一切无限小数都不存在。”\(\color{red}{请先生注意：0.0……01是有限数，不是无限小小数。}\)而0.5999……是无限循环小数，它们有本质的不同。
四、在\(0.\dot 9\)和1之间存在无穷多个纯小数是伪命题
先生为了证明\(0.\dot 9\)<1给出了不等式（1）：\(0.\dot 9\)<\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)<\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 02\)<……<\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 09\)。如\(0.\dot 0x\)不存在，则（1）式已表明在\(0.\dot 9\)和1之间不存在纯小数。若\(0.\dot 0x\)存在，则它表示在\(0.\dot 0\)末尾加了一个x。不妨设x前边的0的个数为k，则\(0.\dot 0x\)是一个k+1位纯小数。设\(b_{k+1}=0.\dot 9\)前的k+1位数。则\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 0x\)>\(b_{k+1}+0 .\dot 0x\)>1，所以（1）式非真；事实上，当且仅当\(0.\dot 01\)加在\(0 .\dot  9\)的倒数第二位时才有1=\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)成立。亦即当且仅当\(0.\dot 9\)是有限数时才有\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)=1，这与\(0.\dot 9\)是无限循环小数矛盾。所以，\(0.\dot 9\)+\(0.\dot 01\)=1不成立。这样我们又再次证明了\(0.\dot 0x\)不存在。由于\(0.\dot 01\)不存在，所以\((0.\dot 01)^2\)、\((0.\dot 01)^3\)、……、\((0.\dot 01)^n\)也就不存在。所以你的不等式\(0.\dot 01\)>\(0.\dot 01)^2\)>\((0.\dot 01)^3\)>……>\((0.\dot 01)^n\)也就无从说起。同时，1=\(0.\dot 01+0.\dot 99\)也未必成立。由于\(0.\dot 9x\) x∈｛1，2，…，9｝不存在，所以你给出的等式只有1=1=\(0.\dot 9\)、2=2=\(1.\dot 9\)、3=3=\(2.\dot 9\)成立，其余等式均不成立。APB先生:\(0.\dot 9\)与1等价是等价的反身性（如1是某个网友的真名，而\(0.\dot 9\)是该网友的网名），而不是把“一个定数变成另一个定数”，1=\(0.\dot 9\)但1≠\(0.\dot 3\),1≠\(0.\dot 4\)≠……至于“ 1 就可以变成 10000”，康托尔实数理论可没有这个本事，先生还是不要危言耸听好了。

APB先生

春风晚霞 发表于 2021-1-30 00:25
APB先生:现就先生91#的发言，我谈谈我的看法：
一、关于等价关系的定义
1）一般（抽象）定义:设x∈A ...

elim

楼上引入某种不加释义的形式来与现行数学争议。但可以预见这种东西不能引起学术关注。

春风晚霞

APB先生 发表于 2021-1-30 11:33

APB先生，读了先生95楼的宏论，我向先生请教以下几个问题
1)、请问先生如何区分0.0…01与0.0.…02这两个数是无穷小小数，还是有限小数？
2）、请问先生\(0.\dot 99\)的展开式是0.99……99吗？如果不是，那它是不是就是0.999……
3）由先生的永真公式1=\(0.\dot 01\)+\(0.\dot 99\),只能说明在\(0.\dot 99\)与1之间存在无穷多个纯小数，并不能说明在\(0.\dot 9\)与1之间存在无穷多个纯小数。
4)、验证两数等价是不是只需验证两数是否满足等价的定义？如果不是，还要两数等价的定义何用？如某网友的真名与他的网名相对该网友是否等价？
5)、因为1=\(0.\dot 9\)，所以\((0.\dot 9)^2\)=\((0.\dot 9)^3\)=\((0.\dot 9)^4\)=……=\((0.\dot 9)^n\)…=\((0.\dot 9)^{-2}\)=\((0.\dot 9)^{-3}\)=……=\((0.\dot 9)^{-n}\)=\(1^z\)=1，其中n∈N，z∈Z，何来多值一说?

APB先生

早已经释义过了，懒得再啰嗦。

jzkyllcjl

无尽是无有穷尽的意思，康托尔把基本数列定义为实数的定义是错误的。

elim

jzkyllcjl 发表于 2021-1-30 01:45
无尽是无有穷尽的意思，康托尔把基本数列定义为实数的定义是错误的。

错在人家没像你那样吃狗屎吗？