哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？

njzz_yy · 发表于 2021-6-22 08:50

较大范围的数据，对理论值的支持较完美，较小范围数据，波动略大，客观表现了素数的波动特征

大傻8888888 · 发表于 2021-6-22 22:22

yangchuanju 发表于 2021-6-22 05:51
大傻老师：
您好！
寻找素数时，确实只用小于等于整数n的平方根内的素数进行筛分就行了，但计算哥猜 ...

yangchuanju先生，您好！欢迎您的质疑！
“计算哥猜数时，不能图省事只计算≤√（n）中的素数”，这不是图省事和不图省事的事，根据筛法，只要筛去相加构成偶数的两个奇数其中至少一个是√（n）中的素数的倍数，剩下就应该是素数对（当然1+素数筛不掉）。当偶数比较小时，用连乘积表示哥猜数为D(N)～ ∏[(p-1)/(p-2)](N/2)∏(1-2/p)（其中√N＞p＞2）即可。而当n充分大时用连乘积表示哥猜数则为D(N)～ ∏[(p-1)/(p-2)](N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2（其中√N＞p＞2），这个公式和D(N)～ 2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2得出的值非常吻合，所以D(N)～ 2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2（其中同样是√N＞p＞2）。当然当N=2p时D（2p）～ 2cN/(lnN)^2+1，因为2cN/(lnN)^2远远大于1，所以也可以认为D（2p）～ 2cN/(lnN)^2，而不是∏[(p-1)/(p-2)]2cN/(lnN)^2。我很佩服yangchuanju的计算能力，您可以计算一下您能计算的最大的2p就可以得出结论。我对我的看法是有信心的。
另外愚工688先生的计算方法和计算公式，他的修正系数如何得出的其实很简单，不过是根据数值比较大时一个偶数哥猜数的实际值和D(N)～ ∏[(p-1)/(p-2)](N/2)∏(1-2/p)（其中√N＞p＞2）计算值的误差得到一定区间的修正系数，并以用这个修正系数计算在这个区间的任意值与实际值接近而心满意足。而我根据梅腾斯定理和素数定理得出偶数哥猜数D(N)～ ∏[(p-1)/(p-2)](N/2)∏(1-2/p)（其中√N＞p＞2）的计算值在N充分大时是实际值的1.2609......倍，我相信N越来越大就会越接近1.2609......倍（愚工688先生的修正系数也就大约是1.21倍左右）。

yangchuanju · 发表于 2021-6-23 06:05

大傻8888888 发表于 2021-6-22 22:22
yangchuanju先生，您好！欢迎您的质疑！
“计算哥猜数时，不能图省事只计算≤√（n）中的素数”，这 ...

首先要明确三个问题：
1、计算基准——单计哥猜数；
2、连乘积中的p是偶数n的素因子还是小于等于n平方根的全部奇素数；
3、大傻先生文中有2个连乘号，这2个连乘号中的p取值一样吗？

对于第一个问题不做解释。
第二个问题中，杨强调的是，p要取尽偶数n的全部大于等于3的素因子；大傻先生强调的是p只取小于等于偶数n平方根的大于等于3的素因子即可。
显然对于有限的n来说，杨的计算值要大于大傻先生的计算值，更接近真实值一点。
当n逐渐增大并趋于无穷大时，二人的计算结果会趋于相同，故大傻先生的算法当n趋近于无穷大时是正确的。
然而我们是要计算的是——有限的偶数n的哥猜数，这样只取小于等于偶数n平方根的大于等于3的素因子，计算值会更偏离真实值一些！

第三个问题，大傻先生的两个连乘号中的p取值不应该一样，一个要取尽全部奇素数，最终形成孪生素数常数0.66016181584686957392...；另一个连乘号中的p就是上面所论及的p的取值范围了。请大傻先生标明！

yangchuanju · 发表于 2021-6-23 06:23

2^n及邻近的2p型偶数的无序哥猜数比较表：数据已扩大
n 2^n 大一点的2p 小一点的2p 2^n哥猜数大2p哥猜数小2p哥猜数
2 4 4 —— 1 1 ——
3 8 10 6 1 2 1
4 16 22 14 2 3 2
5 32 34 26 2 4 3
6 64 74 62 5 5 3
7 128 134 122 3 6 4
8 256 262 254 8 9 9
9 512 514 502 11 14 15
10 1024 1042 1018 22 22 20
11 2048 2062 2042 25 33 30
12 4096 4106 4078 53 53 51
13 8192 8198 8186 76 84 79
14 16384 16418 16382 151 144 141
15 32768 32822 32762 244 256 242
16 65536 65542 65498 435 440 401
17 131072 131074 131042 749 768 742
18 262144 262202 262142 1314 1305 1293
19 524288 524294 524278 2367 2406 2354
20 1048576 1048618 1048574 4239 4268 4319
21 2097152 2097166 2097146 7471 7629 7598
22 4194304 4194338 4194286 13705 13662 13767
23 8388608 8388638 8388602 24928 24881 24739
24 16777216 16777234 16777186 45746 45628 45663
25 33554432 33554518 33554426 83467 83347 83690
26 67108864 67108934 67108786 153850 153886 153705

yangchuanju · 发表于 2021-6-23 06:25

（接上楼）
n 计算值1 计算值2 计算值3 比1 比2 比3
2 1.37 1.37 —— 1.3740 1.3740 ——
3 1.22 1.25 1.23 1.2214 0.6226 1.2338
4 1.37 1.52 1.33 0.6870 0.5067 0.6635
5 1.76 1.80 1.62 0.8794 0.4512 0.5390
6 2.44 2.64 2.40 0.4885 0.5274 0.8010
7 3.59 3.69 3.49 1.1964 0.6146 0.8724
8 5.50 5.58 5.47 0.6870 0.6198 0.6076
9 8.69 8.71 8.57 0.7896 0.6220 0.5713
10 14.07 14.25 14.01 0.6396 0.6475 0.7006
11 23.26 23.37 23.21 0.9303 0.7083 0.7735
12 39.08 39.16 38.95 0.7374 0.7388 0.7638
13 66.60 66.64 66.57 0.8764 0.7934 0.8426
14 114.86 115.05 114.85 0.7607 0.7989 0.8145
15 200.11 200.38 200.08 0.8201 0.7827 0.8268
16 351.75 351.78 351.59 0.8086 0.7995 0.8768
17 623.18 623.19 623.06 0.8320 0.8114 0.8397
18 1111.72 1111.92 1111.71 0.8461 0.8520 0.8598
19 1995.55 1995.57 1995.52 0.8431 0.8294 0.8477
20 3601.96 3602.09 3601.96 0.8497 0.8440 0.8340
21 6534.18 6534.21 6534.16 0.8746 0.8565 0.8600
22 11907.32 11907.40 11907.28 0.8688 0.8716 0.8649
23 21788.82 21788.89 21788.81 0.8741 0.8757 0.8807
24 40021.83 40021.86 40021.76 0.8749 0.8771 0.8765
25 73768.23 73768.40 73768.22 0.8838 0.8851 0.8814
26 136405.75 136405.87 136405.61 0.8866 0.8864 0.8875
计算值1/2/3分别是2^n、大一点的2p、小一点的2p按0.6601618158*n/ln(n)^2的计算值，
2^n中不含3及3以上素因子，2p虽含有素因子p未计，故3数都没有乘以连乘号；
比1,2,3分别表示2^n、大一点的2p、小一点的计算值与真实值的比值；
随着n的增大，3个比值都组间增大，并在n趋近于无穷多时趋近于1。

yangchuanju · 发表于 2021-6-23 06:58

n 计算值2' 计算值' 比2' 比3' 比2/比2' 比3/比3'
2 —— —— —— —— —— ——
3 1.66 2.47 0.8301 2.4676 0.75000000 0.50000000
4 1.69 1.59 0.5630 0.7962 0.90000000 0.83333333
5 1.93 1.76 0.4813 0.5880 0.93750000 0.91666667
6 2.71 2.49 0.5425 0.8286 0.97222222 0.96666667
7 3.74 3.55 0.6241 0.8872 0.98484848 0.98333333
8 5.62 5.51 0.6246 0.6125 0.99230769 0.99206349
9 8.74 8.60 0.6245 0.5736 0.99609375 0.99600000
10 14.27 14.04 0.6488 0.7020 0.99807692 0.99803150
11 23.40 23.23 0.7090 0.7743 0.99902913 0.99901961
12 39.18 38.97 0.7392 0.7642 0.99951267 0.99950932
13 66.66 66.58 0.7936 0.8428 0.99975598 0.99975562
14 115.06 114.86 0.7990 0.8146 0.99987817 0.99987790
15 200.39 200.09 0.7828 0.8268 0.99993906 0.99993895
16 351.79 351.60 0.7995 0.8768 0.99996948 0.99996946
17 623.19 623.07 0.8115 0.8397 0.99998474 0.99998474
18 1111.93 1111.72 0.8521 0.8598 0.99999237 0.99999237
19 1995.58 1995.52 0.8294 0.8477 0.99999619 0.99999619
20 3602.09 3601.97 0.8440 0.8340 0.99999809 0.99999809
21 6534.22 6534.17 0.8565 0.8600 0.99999905 0.99999905
22 11907.41 11907.28 0.8716 0.8649 0.99999952 0.99999952
23 21788.89 21788.81 0.8757 0.8807 0.99999976 0.99999976
24 40021.87 40021.77 0.8771 0.8765 0.99999988 0.99999988
25 73768.40 73768.22 0.8851 0.8814 0.99999994 0.99999994
26 136405.88 136405.61 0.8864 0.8875 0.99999997 0.99999997
计算值2'、3'乘以了(p-1)/(p-2)；
比2'、比3'分别等于计算值2'、计算值3'除以相应的真实哥猜数；
比2/比2'、比2/比2'都小于1；但随着n的增大最终都要趋近于1。

yangchuanju · 发表于 2021-6-23 08:05

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-23 08:08 编辑

n内素数个数（按素数定理计算，略小于真实值）
n/ln(n)
2n内素数个数
2n/ln(2n)=2n/[ln(n)+ln(2)]
n至2n间素数个数
2n/[ln{n)+ln(2)]-2/ln(n)=[2n*ln(n)-n*ln(n)+n*ln(2)]/[ln(n)^2+ln(2)*ln(n)]=n*[ln(n)-ln(2)]/[ln(n)^2+ln(2)*ln(n)]

n-2n间的素数个数与n内素数个数之比表：
整数n n内素数 2n内素数 n-2n (n-2n)/n
10 4.342944819 6.676164014 2.333219195 0.5372
100 21.7147241 37.74783316 16.03310907 0.7384
1000 144.7648273 263.1266498 118.3618225 0.8176
10000 1085.736205 2019.490598 933.7543933 0.8600
100000 8685.889638 16385.28672 7699.39708 0.8864
1000000 72382.41365 137848.727 65466.31337 0.9045
10000000 620420.6884 1189680.037 569259.3489 0.9175
100000000 5428681.024 10463628.78 5034947.758 0.9275
1000000000 48254942.43 93386320.03 45131377.6 0.9353
10000000000 434294481.9 843205935.9 408911454 0.9416
1E+11 3948131654 7685927426 3737795772 0.9467
1E+12 36191206825 70611075992 34419869167 0.9511
1E+13 3.34073E+11 6.53024E+11 3.18951E+11 0.9547
1E+14 3.1021E+12 6.07361E+12 2.97151E+12 0.9579
1E+15 2.8953E+13 5.67667E+13 2.78137E+13 0.9607
1E+16 2.71434E+14 5.32843E+14 2.61409E+14 0.9631
1E+17 2.55467E+15 5.02045E+15 2.46577E+15 0.9652
1E+18 2.41275E+16 4.74612E+16 2.33337E+16 0.9671
1E+19 2.28576E+17 4.50022E+17 2.21446E+17 0.9688
1E+20 2.17147E+18 4.27855E+18 2.10707E+18 0.9703
1E+30 1.44765E+28 2.86653E+28 1.41888E+28 0.9801
1E+40 1.08574E+38 2.15525E+38 1.06952E+38 0.9851
1E+50 8.68589E+47 1.72678E+48 8.58193E+47 0.9880
1E+60 7.23824E+57 1.44042E+58 7.16597E+57 0.9900
1E+70 6.20421E+67 1.23553E+68 6.15107E+67 0.9914
1E+80 5.42868E+77 1.08167E+78 5.38798E+77 0.9925
1E+90 4.82549E+87 9.61882E+87 4.79332E+87 0.9933
1E+100 4.34294E+97 8.65982E+97 4.31688E+97 0.9940
1E+200 2.1715E+197 4.3364E+197 2.1649E+197 0.9970
1E+300 1.4476E+297 2.8924E+297 1.4447E+297 0.9980

整数n 9n内素数 10n内素数 9-10n (9-10)n/n
10 20.00084595 21.7147241 1.71387815 0.3946
100 132.3063467 144.7648273 12.45848059 0.5737
1000 988.4700617 1085.736205 97.2661431 0.6719
10000 7889.501432 8685.889638 796.3882063 0.7335
100000 65644.79581 72382.41365 6737.617844 0.7757
1000000 562052.6365 620420.6884 58368.05196 0.8064
10000000 4913918.997 5428681.024 514762.0271 0.8297
100000000 43651379.03 48254942.43 4603563.403 0.8480
1000000000 392661755.4 434294481.9 41632726.53 0.8628
10000000000 3568161225 3948131654 379970428.7 0.8749
1E+11 32696762961 36191206825 3494443864 0.8851
1E+12 3.01727E+11 3.34073E+11 32345245519 0.8937
1E+13 2.80105E+12 3.1021E+12 3.01055E+11 0.9012
1E+14 2.61374E+13 2.8953E+13 2.81556E+12 0.9076
1E+15 2.44991E+14 2.71434E+14 2.64428E+13 0.9133
1E+16 2.30541E+15 2.55467E+15 2.49262E+14 0.9183
1E+17 2.17701E+16 2.41275E+16 2.35741E+15 0.9228
1E+18 2.06215E+17 2.28576E+17 2.2361E+16 0.9268
1E+19 1.95881E+18 2.17147E+18 2.12666E+17 0.9304
1E+20 1.86533E+19 2.06807E+19 2.02742E+18 0.9337
1E+30 1.26272E+29 1.40095E+29 1.38231E+28 0.9549
1E+40 9.54394E+38 1.05925E+39 1.0486E+38 0.9658
1E+50 7.6709E+48 8.51558E+48 8.44675E+47 0.9725
1E+60 6.41243E+58 7.11958E+58 7.07148E+57 0.9770
1E+70 5.50869E+68 6.11682E+68 6.08132E+67 0.9802
1E+80 4.82822E+78 5.36166E+78 5.33439E+77 0.9826
1E+90 4.29738E+88 4.77247E+88 4.75086E+87 0.9845
1E+100 3.8717E+98 4.29995E+98 4.2824E+97 0.9861
1E+200 1.945E+198 2.1607E+198 2.1562E+197 0.9930
1E+300 1.2988E+298 1.4428E+298 1.4409E+297 0.9953

大家都知道，随着整数n的增大，n内素数个数越来越少，
然而这里却出现了随着整数n的增大，n—2n间的素数个数与n内素数个数的比将趋近于1，
换言之，随着整数n的增大，最终n—2n间的素数个数与n内素数个数是一样多的；
特别地，9n—10n、99n—100n、999n—1000n、9999n—10000n……间的素数个数与n内素数个数也是一样多的！
哪位老师——熊一兵、白新岭、大傻8888888、鲁思顺……能够给以合理的解释？

白新岭 · 发表于 2021-6-23 08:45

yangchuanju 发表于 2021-6-23 08:05
n内素数个数（按素数定理计算，略小于真实值）
n/ln(n)
2n内素数个数

根据素数定理：n前的素数个数---（减去）n至2n间的素数个数的表达式（已经整理化简）：
\(N\over{ln(N)}\)*(1-\({ln(N)-ln(2)}\over{ln(N)+ln(2)}\)), \({ln(N)-ln(2)}\over{ln(N)+ln(2)}\)这个的极限是1（永远小于1，开始因为ln（2）对它影响较大，所以后半部比前半部还是少些）。这与素数越来越少并不矛盾，另外和你说个更离奇的现象，就是随着n的增大，素数的增速与自然数的增速几乎相同，意思是说，自然数扩大10倍，素数个数照样扩大10倍（不可思议，细细想想，还真是那么回事）。

大傻8888888 · 发表于 2021-6-23 12:15

yangchuanju 发表于 2021-6-23 06:05
首先要明确三个问题：
1、计算基准——单计哥猜数；
2、连乘积中的p是偶数n的素因子还是小于等于n平方 ...

数学界公认的计算基准是双计哥猜数，改成单计哥猜数也很容易，乘以1/2即可。
当n充分大时用连乘积表示哥猜数为D(N)～ ∏[(p-1)/(p-2)](N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2（其中√N＞p＞2）前一个连乘积∏[(p-1)/(p-2)]里N整除p，并且p同时是小于N平方根的奇素数，后一个连乘积)∏(1-2/p)是小于N平方根的全部奇素数（因为N是偶数所以小于即可）。
杨先生强调的是，p要取尽偶数n的全部大于等于3的素因子，我觉得没有必要，这是因为大于√n的奇素数在偶数的乘积里只可能有一个，不可能有两个，并且随着偶数增大∏[(p-1)/(p-2)]趋近1，因此可以忽略不计。
另外当p趋近无限大时，Π[1-1/（p-1）^2]才是拉曼纽扬系数等于0.6601618158.......。

yangchuanju · 发表于 2021-6-23 13:18

大傻8888888 发表于 2021-6-23 12:15
数学界公认的计算基准是双计哥猜数，改成单计哥猜数也很容易，乘以1/2即可。
当n充分大时用连乘积表示哥 ...

“大于√n的奇素数在偶数的乘积里只可能有一个，不可能有两个，”，也可能没有；
若没有大于N平方根的素因子，咱们的争论无意义；
若有一个大于N平方根的素因子p，多乘一个(p-1)/(p-2)就是了，这样对于有限的偶数N的哥猜数计算值就更接近真实值一点！（适用于计算公式0.660...*N/ln(N)^2*Σ(p-1)/(p-2)）
对于Σ(p-1)/(p-2)中的p，还是取尽N的全部大于等于3的素因子为好！

以上观点仅针对第一个连乘积；至于第二个连乘积我未涉及不作评论。

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