春风晚霞成了坚持错误的骂人大王

elim

一个序列趋向极限但不等于这个极限很正常。为什么要求达到？ 1/3 - 0.333... 不等于0等于多少？
为什么 除法的结果是数列而不是商？ 谁告诉你长除法是求商的算法？ 谁让你拿序列冒充商？ 你 jzkyllcjl 吃上了狗屎，就不会算账，\(\dfrac{1}{3}=(1-10^{-n})/3+\dfrac{1}{3\cdot 10^n}=0.\underset{n \text{个} 3}{\underbrace{33\ldots 3}}+\dfrac{1}{3\times 10^n}\)
令\(\,n\to\infty\) 便得 \(\dfrac{1}{3}=0.333\ldots\)

学渣 jzkyllcjl 是主张全是错的。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-8-25 09:37
春风晚霞：
第一，数学理论是需要进步的，欧几里得的《几何原本》用了两千多年，现在不用了。现行的《几何 ...

jzkyllcjl：
       第一、你认为【数学理论是需要进步的，欧几里得的《几何原本》用了两千多年，现在不用了。现行的《几何基础》与实数理论、才使用一百多年】。请先生明示现行教科书中的《平面几何》是欧几里得几何体系，还是非欧几里得几何体系？现行的《几何基础》属于欧几里得几何体系，还是非欧几里得几何体系？我多次要求先生回答，从马克思的无穷级数\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…，经殴几里得等量代换公理得\(1\over 3\)=0.3333…究竟哪一步错了，为什么错了？你总是避而不答。现在又拿〈欧几里得的《几何原本》用了两千多年，现在不用了〉来搪塞。不妨告诉你，殴几里得等量公理在现行教科书中仍在应用，并且它还是解方程、解不等式的主要工具。
       是的〈任何理论都需要在实践中接受检验。〉不过这里的“实践”应是数学社会的公众实践。决非是某一个人根据“狗要吃屎”的事实，臆想出的“要吃狗屎”的实践。
       对于【你说哩可以，但不能以现在的发行量多少为论据，不能以是不是正教授或专家作依据 】，对不起，我的看法恰恰与你相反。作为己正式出版的数学刊物，再版次数和发行量多寡恰是该刊物得到数学社会认可程度的直接反映。作为高校的从业教师，技术职称则是对他从业过程中取得的业绩的综合评定。所以技术职称也在一定程度上，反咉专业论文含金量多少。
       jzkyllcjl，现行教科书无穷级数和的定义是：\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞ a_k\)=S，该式左端表示无穷级数所有项之和，右端S表示级数前n项和(或称部分和)的极限(即S=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n\)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)。该式左右两端都表示级数所有项之和，根本就不存在所谓意义不同之说。
       jzkyllcjl像反对康托尔实数定义一样，先把无穷级数前n项和的极限篡改为〈无穷级数前n项和的数列的趋向性极限〉，然后再大加攻击说【无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限才是S，它不等于无穷级数的无穷次相加，现行教科书中的等式∑a(n)=S 左端是无法进行的无穷次加法运算，右端是其前n项和的数列的趋向性极限，两端的意义不同，现行教科书混淆了两端的不同概念，所以等式∑a(n)=S 不成立】。很明显jzkyllcjl的这番言论，是在为他的“无尽就是无有穷尽，无有终了之意。因无尽小数写不到底，算不到底。所以，无尽小数不是定数，也不是实数”鸣冤叫屈。而【这个等式造成了许多错误的数学等式。例如； 1被3除，本来是永远除不尽的操作，这个除法运算得到的无穷级数的前n项和的无穷数列Sn=0.33……3（n个3）与1/3的差为：3×10^n 分之一，这个差趋向于0，但永远不等于0，达不到0。这说明：这个无穷数列Sn 具有性质：①永远小于1/3；②可以无限接近于1/3，但达不到1/3。
所以，现行教科书中的等式1/3=0.333……是错误的。再如，等式π=3.1415926…… 造成了徐利治介绍的布劳威尔提出的三分律反例。这个错误的级数和表达式，造成了无尽小数等于实数的错误定义与连续统假设大难题。 差之毫厘谬之千里。 无穷级数的错误等式 虽然是从外国抄来的，是国内外许多教科书都用的等式，但必须改革】则是对教科书无穷级数理论的栽脏诬陷。虽说无穷级数理论是证明无尽小数是定数，也是实数的一般方法。数学发展史中证明1/3=0.333……、π=3.1415926…… 又岂止无穷级数理论一法？即使jzkyllcjl敢冒反对恩格斯关于无穷级数论述之大不韪，抹黑无穷级数理论，但你难以否定教科书中等式1/3=0.333…、π=3.1415926…的正确性。〈等式π=3.1415926…… 造成了徐利治 介绍的布劳威尔提出的三分律反例。这个错误的级数和表达式，造成了无尽小数等于实数的错误定义与连续统假设大难题〉 之说更是滑天下之大稽。徐利治先生在《自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响》一文中明确说了，实无穷理论不存在Brouwer三分律反例(只须使用两次排中律，即可证明Brouwer数Q>0;Q=0；Q<0 这三种情况有且只有一种情说成立。即现行教科书中的等式π=3.1415926……满足实数三分律)，jzkyllcjl根据徐利治先生在该文最后所说的“至于Q>0; Q=0；Q<0三种情况中究竟哪种情况存立，还待进一步研究”就断定“等式π=3.1415926…… 造成了徐利治介绍的布劳威尔提出的三分律反例”，很明显这既是对现行教科书的栽脏，也是对徐利治先生的诬陷。〈这个错误的级数和表达式，造成了无尽小数等于实数的错误定义与连续统假设大难题〉一说更是令人啼笑皆非。现行教科书中把“有理数和无理数”统称实数。由于jzkyllcjl的《全能近似分析》中，有理数、无理数均无定义。所以，jxkyllcjl认为前述〈级数和表达式，造成了无尽小数等于实数的错误〉。为此，我再次资询，jzkyllcjl先生，你常说“无尽小数不是定数，也不是实数”，那么无尽小数还是不是数？如果是，那么它又该是什么数？至于这个无穷级数等式造成了〈连续统假设大难题〉那就更滑稽了。jzkyllcjl先生，你知道什么是〈连续统假设大难题〉吗？你能否向众网友介绍一下无穷级数的这个等式是如何造成〈连续统假大难题〉的？
       第二、jzkyllcjl，对于你的【无穷数列极限的定义，虽然需要使用ε-N方式 说明，但无穷数列具有写不到底的性质，其极限值具有数列不可达到的性质是必须尊重的事实】一语，春风晚霞分两个方方面予以说明。① 、由于利用极限定义实数(确切的讲应是无理数)，需要定位到具体的每个客观存在并且取值唯一的数。所以Cauchy的“无限趋近”的潜无限描述方式就显得不够用了，这个不够用也客观上造成了Cauchy“不能证明由他自己创立的‘数列收敛准则’的充分性”【参见周民强编著《实变函数论》P71页】，所以Weierstrass在Cauchy极限概念的基础上给出了极限的“ε-\(\delta\)、ε-N”语言定义。现在以“ε-N”语言定义数列{\(a_n\)}的极限是常数A：定义：对于数列{\(a_n\)}和常数A，如果对任意预先给定的、无论怎样小的正数ε，存在自然数N，当n>N时恒有|\(a_n\)-A|<ε，则称数列{\(a_n\)}的极限是A，记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)=A。如果当n\(\to\)∞时，\(a_n\)只是“趋向但不等于”A，那么这时必有|\(a_n\)-A|=\(\alpha\)>0，令ε=\(\alpha\over 2\) ，则存在自然数N，当n>N时，恒有|\(a_n\)-A|=\(\alpha\)>ε，所以数列{\(a_n\)}的圾限不是A。所以若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)=A。那么当n\(\to\)∞时，\(a_n\)=A(即极限可达)。②、〈所有无尽小数都是康托尔基本数列的简写，它们都是变数而不是定数〉。jzkyllcjl虽然骚整了一个《全能近似分析数学理论基础及其应用》，但没有一样是他独立的创新见解。如他在篡改康托尔实数定义的基础上得到的康托尔基本数列(有时他又称这样的数列为“全能近似数列”或“变量性数列”，以后称其为“变量性数列”以避免与教科书中康托尔实数基本序列混淆)，由于jzkyllcjl颠倒近似对准确的依赖关系。他的变量性序列只能以无限循环小数为例。对于无限不循环小数如\(\sqrt 2\)、π的十进制展开，他只有利用计算器先求出它们足够多位的近似值，然后再根据其不同的近似程度(即保留小数位数的多少)作出它们的变量性数列：
如π的“变量性数列”为：{3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926，…}；\(\sqrt 2\)的“变量性数列”为{1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，1.414213，1.4142135…}不难看出jzkyllcjl的“变量性数列”只是决定该数列的那个确定数的近似程度在变而，那个确定数本身并没有变。所以这两个“变量性数列”的圾限分别是π和\(\sqrt 2\)。
       jzkyllcjl认为【现行教科书中的 等式π=3.14159……，√2=1.4142……；1/3=0.333…… 都不成立。我从来没有说过：π≠π，√2≠√2，1/3≠1/3. ，这几个不等式是你对我的污蔑。】
         ①、其实，现行教科书中的等式π=3.14159……，√2=1.4142……；1/3=0.333…… 都是成立的。因jzkyllcjl是数学上的另类，他只知道“狗要吃屎”的事实，根本认识不了数学上大量的“人不吃屎”的范例。jzkyllcjl叫器的“改革”，其实质就是根据他“要吃的屎”的实践，摧毁几干年人类在公众实践中创立的一切数学体系(包括殴几里得数学体系)，用他漏洞百出，前后矛盾的《全能近似分析数学理论基础及其应用》取而代之。当然，志大才疏，蚍蜉撼树，事难成焉。
       ②、jzkyllcjl认为〔我从来没有说过：π≠π，√2≠√2，1/3≠1/3，这几个不等式是你对我的污蔑。〕你虽然没有明目张胆地说“π≠π，√2≠√2，1/3≠1/3”但根据你的“要吃狗屎”的理论论推出的又岂只这几个不等式。现我们根据恩格斯关于无穷级数的论述，以及jzkyllcjl关于[无穷级数和是其前n项和的趋向性极限值]的观点，我们对\(\sqrt 2\)、\(\pi\)和马克思的无穷级数分别计算如下：
       ①:\(\sqrt 2\)=1+\(1\over 2\)-\(1\over 8\)+\(1\over 16\)+.......-\({(-1)}^n\)\({(2n-3)!!}\over 2^nn!\)+.....=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)[1+\(1\over 2\)-\(1\over 8\)+\(1\over 16\)+.......-\({(-1)}^n\)\({(2n-3)!!}\over 2^nn!\)]\(\lower{-7pt}{\underline{\underline {趋向但不等于}}\kern{-3pt}{\lower{7.5pt}{>}}}\)\(\sqrt 2\)；即是\(\sqrt 2\)\(\ne\)\(\sqrt 2\)。
    ② ：\(\pi\)=4[1-\(1\over 3\)+\(1\over 5\)+…+\(({-1})^n\)\(1\over {2n+1}\)+……]=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)4[1-\(1\over 3\)+\(1\over 5\)+…+\(({-1})^n\)\(1\over {2n+1}\)]\(\lower{-7pt}{\underline{\underline {趋向但不等于}}\kern{-3pt}{\lower{7.5pt}{>}}}\)\(\pi\)；亦即是\(\pi\)\(\ne\)\(\pi\)。
       ③：\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)[\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…+\(3\over 10^n\)]\(\lower{-7pt}{\underline{\underline {趋向但不等于}}\kern{-3pt}{\lower{7.5pt}{>}}}\)\(1\over 3\)； 也就是\(1\over 3\)\(\ne\)\(1\over 3\)。
       jzkyllcjk，这几个不等式可不是我对你的污蔑，而是根据你“要吃狗屎”理论算出的必然结果嘛！

jzkyllcjl

第一，我说的【无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限才是S，它不等于无穷级数的无穷次相加，现行教科书中的等式∑a(n)=S 左端是无法进行的无穷次加法运算，右端是其前n项和的数列的趋向性极限，两端的意义不同，现行教科书混淆了两端的不同概念，所以等式∑a(n)=S 不成立】。是事实。
我说的“无尽就是无有穷尽，无有终了之意。因无尽小数写不到底，算不到底。所以，无尽小数不是定数，也不是实数”也是事实。
我说的【这个等式造成了许多错误的数学等式。例如； 1被3除，本来是永远除不尽的操作，这个除法运算得到的无穷级数的前n项和的无穷数列Sn=0.33……3（n个3）与1/3的差为：3×10^n 分之一，这个差趋向于0，但永远不等于0，达不到0。这说明：这个无穷数列Sn 具有性质：①永远小于1/3；②可以无限接近于1/3，但达不到1/3。所以，现行教科书中的等式1/3=0.333……是错误的。再如，等式π=3.1415926…… 造成了徐利治介绍的布劳威尔提出的三分律反例。这个错误的级数和表达式，造成了无尽小数等于实数的错误定义与连续统假设大难题。 差之毫厘谬之千里。 无穷级数的错误等式 也是事实。
根据上是事实，对国内外许多教科书都必须改革。我是根据事实说话，而不是对教科书无穷级数理论的栽脏诬陷。现行教科书虽然是经过专家审定的，但使用无穷级数理论证明无尽小数是定数，证明1/3=0.333……、π=3.1415926…… 的那些方法都是错误的。我没有反对恩格斯关于无穷级数论述，我尊重恩格斯“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”，
我说的〈等式π=3.1415926…… 造成了徐利治 介绍的布劳威尔提出的三分律反例。这个错误的级数和表达式，造成了无尽小数等于实数的错误定义与连续统假设大难题〉也是事实。 春风晚霞引用的【徐利治先生在《自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响》一文中明确说了，实无穷理论不存在Brouwer三分律反例(只须使用两次排中律，即可证明Brouwer数Q>0;Q=0；Q<0 这三种情况有且只有一种情说成立。】是对徐利治论文的断章取义，事实上徐利治在这篇论文的最后部分指出“看来，这还是一个不易解决的难题”,“希望对布劳维尔(Brouwer)反例感兴趣的读者继续研究下去”。根据徐利治的这个希望。我的研究就是很具茅以升在《十万个为什么》190-195页最后说的“永远算不完的，这是个无尽的数啊！”的事实，指出“布劳威尔反例中的三个命题都是不可判断猫的命题，三分律不能用，这就消除了这个反例”。无尽小数算不到底、写不到底是事实，根据事实解决问题、说明问题的做法 不是春风晚霞说的 {是对现行教科书的栽脏}}，而是对先行教科书的应有改革。
第二，春风晚霞说指责笔者的《全能近似分析》中，有理数、无理数均无定义。但是我多次说过我的如下的定义。定义3（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段长度）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 根号2）. 我与现行教科书的区别仅仅是指出“无尽小数是实数康托尔基本数列的简写，它们都是变数，而不是定数，它们的极限才是实数。”至于连续统假设大难题，在张锦文《 集合论与连续统假设浅说》[M]. 上海：上海教育出版社，1980出版，有详细介绍，其中最后-87指出是个大难题。

elim

什么是无穷次相加, 吃狗屎的 jzkyllcjl?

jzkyllcjl

含有无穷多加号的表达式就是无穷项相加的表达式。 这种无穷次加法运算无法被人们完成。无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限才是S，它不等于无穷级数的无穷次相加，现行教科书中的等式∑a(n)=S 左端是无法进行的无穷次加法运算，右端是其前n项和的数列的趋向性极限，两端的意义不同，现行教科书混淆了两端的不同概念，所以等式∑a(n)=S 不成立。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-8-26 10:57
第一，我说的【无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限才是S，它不等于无穷级数的无穷次相加，现行教科 ...

jzkyllcjl
      第一、我曾多次说过，论证数学命题的真伪，应以数理逻辑为据。若用直觉感观和所谓“事实”代替逻辑推理，必将出现公说公有理，婆说婆有理的现象。就好比人之大便，狗觉得是美味佳肴，人则视之为垃圾浊物。对人之大便处理，狗则乐于饱食，人则弃之于厕。先生的“趋向性极限”就是在尊重“狗要吃屎”的事实上，履行“要吃狗屎”的实践得到的。先生指责现行教科书的那些“事实”都是在你篡改教科书级数和定义后得到的“要吃狗屎”事实。你对教科书的批判也无非是把“己之大便弃之于厕”是暴殄天物。你的“第一”中一连用了好多个“事实”，请jzkyllcjl扪心自问，你的这些事实那个没有渗杂你“要吃狗屎”的认知？jzkyllcjl先生，你不是要“改革”现行教科书的数学体系，你而是要摧毁人类几千年数学发展的历史。
      徐利治先生在《自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响》一文中明确说了，实无穷理论不存在Brouwer三分律反例(只须使用两次排中律，即可证明Brouwer数Q>0;Q=0；Q<0 这三种情况有且只有一种情况成立。你根据[徐利治在这篇论文的最后部分指出“看来，这还是一个不易解决的难题”,“希望对布劳维尔(Brouwer)反例感兴趣的读者继续研究下去”。]就断言教科书上的等式π=3.1415926… 造成了徐利治 介绍的布劳威尔提出的三分律反例，是不是过于草率(或过于霸道)？经你研究后弄出来的〈布劳威尔反例中的三个命题都是不可判断的命题〉这恰好说明你的《全能近似分析》存在Brouwer)三分律反例嘛！所以我说你批评教科书上的等式π=3.1415926…造成了徐利治介绍的布劳威尔提出的三分律反例是对现行教科书的栽脏，是对徐利治先生的诬陷，对你来说一点也不冤枉！
       jzkyllcjl先生，你认为【我没有反对恩格斯关于无穷级数论述，我尊重恩格斯“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”】先生反对恩格斯关于无穷级数的论述事例较多。如你一再强调教科书上不成立的那几个等式，都可根据恩格斯关于无穷级数的论述得到证明。请jzkyllcjl先生想一想，你捕风捉影(或说断章取义)地引用恩格斯的那段话“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”与恩格斯关于无穷级数的论述“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识上来说，这是荒谬的。但是，如果没有无穷级数和二项式定理，我们能走多远呢？”【参见恩格斯《自然辩法》2018年2月版P195页】有什么关系？jzkyllcjl先生，你这是尊重恩格斯关于无穷级数的论述吗？
       第二、【春风晚霞说指责笔者《全能近似分析》中，有理数、无理数均无定义。】是的，确实如此。在你的《全能近似分析》中不仅“有理数、无理数均无定义”而且连“实数”也无定义，甚至连“无尽小数是不是数”都没有任何说明。否则就不会有〈无尽就是没有穷尽，没有终了的意思。无尽小数因写不到底、算不到底，所以，它不是定数，也不是实数，只有它的趋向性极限才是实数”的说法。
        你的【定义3（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段长度）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 根号2）. 我与现行教科书的区别仅仅是指出“无尽小数是实数康托尔基本数列的简写，它们都是变数，而不是定数，它们的极限才是实数”】本身就是对现行教科书实数理论地反动(注意这里的反动是指与数学发展方向逆向而动之意，不带任何政治色彩)。你在任何时候都没忘记你的“写得到底、算得到底”和“趋向(趋向于，但不等于)性极限”两大在“要吃狗屎”的实践中取得的经验。本来读工科、教工科的老师研究近似计算这是很正常的。但颠倒近似对准确的依赖就不正常了。不知先生想过没有，支撑你《全能近似分析》的实数康托尔基本数列，除无限循环小数外，不借助无穷级数理论(数学用表、计算器计算原理都是把确定数展开成无穷级数算得的)你是写不出来的。你若不信，那就请你写出arcsin\(3\over 4\)的“实数康托尔基本数列”给众网友看看。至于连续统假设大难题，任何一本讲实变函数理论的教科书都要介绍。不过，就是对《非标准分析》研究颇有心得的张锦文先生，在他《 集合论与连续统假设浅说》一书中，也没有说“连续统假设大难题”是因为等式\(\pi\)=3.1715926…造成的嘛！

elim

jzkyllcjl 95楼：
含有无穷多加号的表达式就是无穷项相加的表达式。 这种无穷次加法运算无法被人们完成。无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限才是S，它不等于无穷级数的无穷次相加，现行教科书中的等式∑a(n)=S 左端是无法进行的无穷次加法运算，右端是其前n项和的数列的趋向性极限，两端的意义不同，现行教科书混淆了两端的不同概念，所以等式∑a(n)=S 不成立。

jzkyllcjl 说无穷项和无法通有限次加法操作完成是不错的。但这不能作为级数和
的定义，在不给出无穷项和的非有限构造性定义时，无穷项和就不是一个明确的
数学对象。因而也不能判断它是否等于其部分和序列的极限。
虽然有限算法不能得到无穷项和，但正项级数和如果存在，它必须是不小于级数
的任一部分和的数中的最小者。由此可知
\(\displaystyle\sum_{n=\infty}^\infty a_n=\sup\{s_n\mid n\in\mathbb{N}\}\;(a_n\ge 0\,\forall n).\) 但此时\(\{s_n\}\) 单调不减,
故得 \(\displaystyle\sum_{n=\infty}^\infty a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k\)。这是形式和意义的完美统一.
syntax 和 semantics 的这个高度统一是比 jzkyllcjl 仔细考察更仔细的
考察的结果。符合否定之否定的辩证规律。
jzkyllcjl 需要戒吃狗屎，好好学习天天向上。

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，我尊重恩格斯“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了” 的说法是正确的、有用的，至于恩格斯关于无穷级数的论述“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西”也需要联系事实 使用“无穷级数和是其前n项和的趋向性极限的事实去说明”。
第二，我的【定义3（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 根号2）. 是在实数二字之前，加上“理想”二字的定义，因此就可以使用理想与现实、精确与近似对立统一法则阐述实数理论。于是就有了“无尽小数是实数康托尔基本数列的简写，它们都是变数，而不是定数，它们的极限才是实数”的反映事实的实数理论。就有了3.1415926…是算不到底的康托尔的基本数列的简写，它不是定数，它无限接近于圆周率但不等于圆周率的事实。
第三，有了第二中的事实，就可以知道：“完成了的整体的实无穷观点”对无尽小数不成立，Brouwer三分律反例(中三个命题：①这个无尽不循环小数展开式中没有百零排（ 百零排指100个连续的0）；②这个无尽不循环小数展开式中有偶数个百零排；③这个无尽不循环小数展开式中有奇数个百零排。 都是不可判断的命题，不能使用两次排中律，得到rouwer数Q>0;Q=0；Q<0 这三种情况有且只有一种情况成立的证明。这样就解决了徐利治在这篇论文的最后部分指出“看来，这还是一个不易解决的难题”。
第四，我说了“实数的康托尔基本数列都是算不到的无穷数列”，arcsin 3/4 与arccos7/8 都是如此。都需要近似计算。
第五，在,张锦文的《 集合论与连续统假设浅说》一书中，虽然没有说  “连续统假设大难题”是因为等式圆周率=3.1715926…造成的 话，但他证明了{0，1}不可数定理，这个定理的区间内有3.1415926……-3=0.1415926……的实数，这个实数与圆周率有关，由于这个无尽小数具有算不到底的事实，这个 定理证明中的涉及排中律的反证法 不成立，这样就消除了这个许多教科书介绍的这个“不可数定理”。这样就消除了这个大难题。这就是对立统一法则的唯物辩证法在数学理论中的重大贡献。

elim

无穷的概念不是从数学败类对吃狗屎的实践而来，这一点请吃狗屎的 jzkyllcjl 务必充分注意。

级数不能解读为无穷次相加，因为无穷操作没有意义。它是一个映射
\(\{a_n\}\mapsto s.\) 对于非负项级数，当\(\{a_n\}\)的部分和序列 \(\{s_n\}\)有界时
易见无穷项和\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\}=\lim_{n\to\infty} s_n\). 于是对一般的级数,
\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty} s_n\) 就是合理的推广. 只要\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\)存在.
所以收敛的\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 不是序列而是一个定数。
由级数和的这个现行数学定义立即得到 \(0.\dot{3}=3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{1}{10^n}=\frac{1}{3}.}\)

通俗地说，一堆物体的总重量无从算起时可以通过对其上秤来解决．一堆
正数的和是一个正数，它不小于且只是不小于这堆数的每个有限和．不难
从这个朴素的思想得出正项级数和的定义：
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sup\{s_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).  由单调有界定理此即\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n\).
一般项级数的定义是正项级数和定义的代数延拓，

jzkyllcjl

恩格斯的“数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了” 的说法确实是正确的、有用的，至于恩格斯关于无穷级数的论述“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西”也需要联系事实 使用“无穷级数和是其前n项和的趋向性极限的事实去说明”所以第一，应当提出全能近似等式：1/3~0.333……；π~3.1415926……；√2~1.4142……。，第二，应当使用，趋向性极限方法证明 柯西收敛定理；区间套定理；却界定里，详细论述请参看笔者的专著《全能近似分析数学理论基础及其应用》。