连乘积公式计算哥猜数误差分析

yangchuanju

2^n±2型偶数哥猜数及对数式c*N/ln(N)^2计算误差分析
对数计算式：0.660161816*N/ln(N)^2*波动系数
误差=（计算值-哥猜数）/哥猜数)，随着偶数趋近于无穷，误差1可能趋近于0；
拟乘修正系数=1/(1+误差)，随着偶数趋近于无穷，拟乘修正系数1可能趋近于1。

2^n±2        哥猜数        波动系数        0.66*N/ln(N)^2*波动        误差1        拟乘修正系数1
4        1        1.0000         1.37         0.3740         0.7278
6        1        1.0000         1.23         0.2338         0.8105
8        1        1.0000         1.22         0.2214         0.8188
10        2        1.0000         1.25         -0.3774         1.6062
14        2        1.0000         1.33         -0.3365         1.5071
16        2        1.0000         1.37         -0.3130         1.4556
18        2        2.0000         2.84         0.4224         0.7030
30        3        2.6667         4.57         0.5218         0.6571
32        2        1.0000         1.76         -0.1206         1.1372
34        4        1.0000         1.80         -0.5488         2.2161
62        3        1.0000         2.40         -0.1990         1.2485
64        5        1.0000         2.44         -0.5115         2.0469
66        6        2.0000         4.96         -0.1726         1.2086
126        10        2.4000         8.54         -0.1465         1.1716
128        3        1.0000         3.59         0.1964         0.8358
130        7        1.3333         4.83         -0.3101         1.4494
254        9        1.0000         5.47         -0.3924         1.6457
256        8        1.0000         5.50         -0.3130         1.4556
258        14        2.0000         11.05         -0.2109         1.2673
510        32        2.8444         24.64         -0.2300         1.2987
512        11        1.0000         8.69         -0.2104         1.2665
514        14        1.0000         8.71         -0.3780         1.6077
1022        18        1.2000         16.86         -0.0633         1.0676
1024        22        1.0000         14.07         -0.3604         1.5636
1026        42        2.1176         29.84         -0.2896         1.4076
2046        75        2.2989         53.42         -0.2877         1.4038
2048        25        1.0000         23.26         -0.0697         1.0750
2050        42        1.3675         31.83         -0.2422         1.3196
4094        51        1.0476         40.93         -0.1975         1.2460
4096        53        1.0000         39.08         -0.2626         1.3561
4098        102        2.0000         78.20         -0.2334         1.3044
8190        292        3.4909         232.47         -0.2039         1.2561
8192        76        1.0000         66.60         -0.1236         1.1411
8194        97        1.0667         71.06         -0.2674         1.3651
16382        141        1.0000         114.85         -0.1855         1.2277
16384        151        1.0000         114.86         -0.2393         1.3147
16386        285        2.0000         229.74         -0.1939         1.2405
32766        518        2.0652         413.24         -0.2022         1.2535
32768        244        1.0000         200.11         -0.1799         1.2193
32770        344        1.3952         279.20         -0.1884         1.2321
65534        534        1.2497         439.58         -0.1768         1.2148
65536        435        1.0000         351.75         -0.1914         1.2367
65538        929        2.2290         784.07         -0.1560         1.1848
131070        2167        2.8556         1779.52         -0.1788         1.2177
131072        749        1.0000         623.18         -0.1680         1.2019
131074        768        1.0000         623.19         -0.1886         1.2324
262142        1293        1.0000         1111.71         -0.1402         1.1631
262144        1314        1.0000         1111.72         -0.1539         1.1820
262146        2661        2.0000         2223.45         -0.1644         1.1968
524286        6055        2.5770         5142.45         -0.1507         1.1775
524288        2367        1.0000         1995.55         -0.1569         1.1861
524290        3612        1.5101         3013.46         -0.1657         1.1986
1048574        4319        1.0000         3601.96         -0.1660         1.1991
1048576        4239        1.0000         3601.96         -0.1503         1.1769
1048578        8444        2.0000         7203.94         -0.1469         1.1721
2097150        23899        3.1437         20541.65         -0.1405         1.1634
2097152        7471        1.0000         6534.18         -0.1254         1.1434
2097154        8118        1.0667         6969.79         -0.1414         1.1647
4194302        16589        1.2132         14446.08         -0.1292         1.1483
4194304        13705        1.0000         11907.32         -0.1312         1.1510
4194306        28047        2.0488         24395.49         -0.1302         1.1497
8388606        53108        2.1224         46245.31         -0.1292         1.1484
8388608        24928        1.0000         21788.82         -0.1259         1.1441
8388610        33378        1.3373         29139.11         -0.1270         1.1455
16777214        46683        1.0222         40911.19         -0.1236         1.1411
16777216        45746        1.0000         40021.83         -0.1251         1.1430
16777218        91210        2.0000         80043.66         -0.1224         1.1395
33554430        312340        3.7392         275835.36         -0.1169         1.1323
33554432        83467        1.0000         73768.23         -0.1162         1.1315
33554434        84870        1.0160         74948.60         -0.1169         1.1324
67108862        159483        1.0368         141423.53         -0.1132         1.1277
67108864        153850        1.0000         136405.75         -0.1134         1.1279
67108866        342981        2.2317         304416.42         -0.1124         1.1267
134217728        283746        1.0000         252977.46         -0.1084         1.1216
268435456        525236        1.0000         470460.64         -0.1043         1.1164
536870912        975685        1.0000         877148.97         -0.1010         1.1123
1073741824        1817111        1.0000         1639293.96         -0.0979         1.1085
2147483648        3390038        1.0000         3070477.77         -0.0943         1.1041
4294967296        6341424        1.0000         5763142.84         -0.0912         1.1003
8589934592        11891654        1.0000         10838307.19         -0.0886         1.0972
17179869184        22336060        1.0000         20420270.81         -0.0858         1.0938
34359738368        42034097        1.0000         38540135.61         -0.0831         1.0907
68719476736        79287664        1.0000         72857509.44         -0.0811         1.0883
137438953472         149711134        1.0000         137944970.39         -0.0786         1.0853
274877906944         283277225        1.0000         261560477.11         -0.0767         1.0830
549755813888         536710100        1.0000         496638170.86         -0.0747         1.0807
1099511627776         1018369893        1.0000         944233322.35         -0.0728         1.0785

yangchuanju

2^n±2型偶数哥猜数及连乘式∏(p-2)/p计算误差分析
连乘式计算式：N/4*∏(p-2)/p*波动系数
误差=（计算值-哥猜数）/哥猜数，随着偶数趋近于无穷，误差2可能趋近于1.261...；
拟乘修正系数=1/(1+误差)，随着偶数趋近于无穷，拟乘修正系数2可能趋近于0.793...。(0.793…摘至大傻8888888哥猜资料）
“误差2”相当于688先生高精度哥猜计算式中的校正因子μ！

2^n±2        哥猜数        ∏(p-2)/p        N/4*∏*波动        误差2        拟乘修正系数2
4        1        0.5000         0.50         -0.5000         2.0000
6        1        0.5000         0.75         -0.2500         1.3333
8        1        0.5000         1.00         0.0000         1.0000
10        2        0.3333         0.83         -0.5833         2.4000
14        2        0.3333         1.17         -0.4167         1.7143
16        2        0.3333         1.33         -0.3333         1.5000
18        2        0.3333         3.00         0.5000         0.6667
30        3        0.2000         4.00         0.3333         0.7500
32        2        0.2000         1.60         -0.2000         1.2500
34        4        0.2000         1.70         -0.5750         2.3529
62        3        0.1429         2.21         -0.2619         1.3548
64        5        0.1429         2.29         -0.5429         2.1875
66        6        0.1429         4.71         -0.2143         1.2727
126        10        0.1169         8.84         -0.1164         1.1317
128        3        0.1169         3.74         0.2468         0.8021
130        7        0.1169         5.06         -0.2764         1.3821
254        9        0.0989         6.28         -0.3022         1.4331
256        8        0.0989         6.33         -0.2088         1.2639
258        14        0.0989         12.76         -0.0887         1.0973
510        32        0.0781         28.32         -0.1151         1.1301
512        11        0.0781         9.99         -0.0914         1.1006
514        14        0.0781         10.03         -0.2833         1.3954
1022        18        0.0621         19.04         0.0576         0.9455
1024        22        0.0621         15.90         -0.2775         1.3840
1026        42        0.0621         33.73         -0.1970         1.2453
2046        75        0.0533         62.64         -0.1648         1.1973
2048        25        0.0533         27.27         0.0910         0.9166
2050        42        0.0533         37.34         -0.1111         1.1249
4094        51        0.0459         49.17         -0.0358         1.0371
4096        53        0.0459         46.96         -0.1139         1.1286
4098        102        0.0459         93.97         -0.0787         1.0854
8190        292        0.0391         279.50         -0.0428         1.0447
8192        76        0.0391         80.08         0.0537         0.9490
8194        97        0.0391         85.44         -0.1191         1.1353
16382        141        0.0343         140.41         -0.0042         1.0042
16384        151        0.0343         140.42         -0.0700         1.0753
16386        285        0.0343         280.88         -0.0145         1.0147
32766        518        0.0297         502.87         -0.0292         1.0301
32768        244        0.0297         243.52         -0.0020         1.0020
32770        344        0.0297         339.77         -0.0123         1.0125
65534        534        0.0266         544.82         0.0203         0.9801
65536        435        0.0266         435.97         0.0022         0.9978
65538        929        0.0266         971.79         0.0461         0.9560
131070        2167        0.0236         2210.11         0.0199         0.9805
131072        749        0.0236         773.97         0.0333         0.9677
131074        768        0.0236         773.98         0.0078         0.9923
262142        1293        0.0210         1379.04         0.0665         0.9376
262144        1314        0.0210         1379.05         0.0495         0.9528
262146        2661        0.0210         2758.12         0.0365         0.9648
524286        6055        0.0190         6424.03         0.0609         0.9426
524288        2367        0.0190         2492.87         0.0532         0.9495
524290        3612        0.0190         3764.47         0.0422         0.9595
1048574        4319        0.0172         4502.75         0.0425         0.9592
1048576        4239        0.0172         4502.75         0.0622         0.9414
1048578        8444        0.0172         9005.53         0.0665         0.9376
2097150        23899        0.0156         25777.31         0.0786         0.9271
2097152        7471        0.0156         8199.61         0.0975         0.9111
2097154        8118        0.0156         8746.26         0.0774         0.9282
4194302        16589        0.0142         18125.58         0.0926         0.9152
4194304        13705        0.0142         14940.18         0.0901         0.9173
4194306        28047        0.0142         30609.17         0.0914         0.9163
8388606        53108        0.0130         58010.41         0.0923         0.9155
8388608        24928        0.0130         27332.03         0.0964         0.9120
8388610        33378        0.0130         36552.29         0.0951         0.9132
16777214        46683        0.0120         51367.56         0.1003         0.9088
16777216        45746        0.0120         50250.88         0.0985         0.9104
16777218        91210        0.0120         100501.77         0.1019         0.9075
33554430        312340        0.0111         346883.26         0.1106         0.9004
33554432        83467        0.0111         92768.98         0.1114         0.8997
33554434        84870        0.0111         94253.39         0.1106         0.9004
67108862        159483        0.0102         177993.03         0.1161         0.8960
67108864        153850        0.0102         171677.74         0.1159         0.8962
67108866        342981        0.0102         383132.85         0.1171         0.8952
134217728        283746        0.0095         318591.20         0.1228         0.8906
268435456        525236        0.0088         592129.21         0.1274         0.8870
536870912        975685        0.0082         1104308.73         0.1318         0.8835
1073741824        1817111        0.0077         2065494.79         0.1367         0.8797
2147483648        3390038        0.0072         3869035.92         0.1413         0.8762
4294967296        6341424        0.0068         7263389.60         0.1454         0.8731
8589934592        11891654        0.0064         13658932.68         0.1486         0.8706
17179869184        22336060        0.0060         25737053.31         0.1523         0.8679
34359738368        42034097        0.0057         48581542.26         0.1558         0.8652
68719476736        79287664        0.0053         91848699.97         0.1584         0.8632
137438953472         149711134        0.0051         173898027.10         0.1616         0.8609
274877906944         283277225        0.0048         329731632.49         0.1640         0.8591
549755813888         536710100        0.0046         625776867.43         0.1659         0.8577
1099511627776         1018369893        0.0043         1190494225.71         0.1690         0.8554

愚公688、大傻8888888二人的计算思路和结论是一致的，愚公多对百亿以内的偶数哥猜数进行高精度计算；
而大傻的公式适用于无穷大偶数，当偶数是有限值时其精度不如愚公计算值精度高！

愚工688

yangchuanju 发表于 2022-6-29 10:54
2^n±2型偶数哥猜数及连乘式∏(p-2)/p计算误差分析
对数计算式：0.660161816*N/ln(N)^2*波动系数
误差=（ ...

实际上，你的《对数计算式：0.660161816*N/ln(N)^2*波动系数》就是单记的哈代素对计算式；
而我的对数计算式：Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   就是使用了一个动态修正系数t2对哈代公式的计算值的相对误差在小偶数区域直至百亿区域的过大现象做了一些修正，达到对数计算式的素对计算值的精度有明显提高的目的。
t2比连乘式的修正系数μ值更合理一些，因为t2值是随偶数值动态变化的，是渐进的，它比较适合程序自动计算；
而μ值不是连续的，只是用一段段的样本偏差值去修正更大范围偶数的素对计算值曲线偏离实际素对变化曲线的现象。

愚工688

愚工688 发表于 2022-6-29 12:56
实际上，你的《对数计算式：0.660161816*N/ln(N)^2*波动系数》就是单记的哈代素对计算式；
而我的对数 ...

计算连续偶数的素数对数量，对数计算式的计算精度是比较高的。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   ;

  G(2020102300) = 4534614      ;Xi(M)≈ 4534585.94           δxi(M)≈-0.0000062;
  G(2020102302) = 6416254      ;Xi(M)≈ 6415935.84           δxi(M)≈-0.0000496;
  G(2020102304) = 3563782      ;Xi(M)≈ 3564408.84           δxi(M)≈ 0.0001759;
  G(2020102306) = 3453177      ;Xi(M)≈ 3452935.61           δxi(M)≈-0.0000699;
  G(2020102308) = 7892950      ;Xi(M)≈ 7896536.22           δxi(M)≈-0.0002464;
  G(2020102310) = 4278345      ;Xi(M)≈ 4277290.67           δxi(M)≈-0.0002464;
  G(2020102312) = 3210893      ;Xi(M)≈ 3210028.42           δxi(M)≈-0.0002694;
  G(2020102314) = 6550458      ;Xi(M)≈ 6549253.65           δxi(M)≈-0.0001838;
  G(2020102316) = 3443220      ;Xi(M)≈ 3441843.05           δxi(M)≈-0.0003999;
  G(2020102318) = 3503113      ;Xi(M)≈ 3504349.97           δxi(M)≈-0.0003531;
  G(2020102320) = 8799725      ;Xi(M)≈ 8798997.6            δxi(M)≈-0.0000827;
  G(2020102322) = 3859540      ;Xi(M)≈ 3860108.21           δxi(M)≈ 0.0001472;
  G(2020102324) = 3214381      ;Xi(M)≈ 3214371              δxi(M)≈-0.0000031;
  G(2020102326) = 7127432      ;Xi(M)≈ 7128817.75           δxi(M)≈ 0.0001944;
  G(2020102328) = 3362642      ;Xi(M)≈ 3360728.31           δxi(M)≈-0.0005692;
  time start =21:17:12, time end =21:17:58

愚工688

我是从偶数2A拆成的两个数A±x 的变量x考虑A±x 能否构成素数对的。

连乘式的筛选结果，包含2个部分：
1，不能被小于√M内的素数整除的素数对，我把它记为S1（m），这样的x值与连乘式的计算值Sp(m)是相近且变化趋势一致的；
由于连乘式的计算值是由概率的乘法定理推理出来的，它只是一个概率计算值，与实际值之间始终存在轧进轧出的现象。

2，小素数小于√M时的素数对，把它记为S2（m），这样的x值数量是连乘式所不能计算的，因此它的数量的有无只是对把连乘式的计算值Sp(m)看作全部素数对的计算值时的一个误差因素。
有许多的偶数是没有这样的素数对的。比如：一万到两万之间的有：
M= 10268      S(m)= 98    S1(m)= 98   Sp(m)= 102.7459δ(m)= 4.842735E-02  K= 1.066667 r= 101
M= 10622      S(m)= 95    S1(m)= 95   Sp(m)= 99.88291δ(m)= 5.139907E-02  K= 1.022222 r= 103
M= 11438      S(m)= 133   S1(m)= 133  Sp(m)= 136.953 δ(m)= 2.972206E-02  K= 1.301578 r= 103
M= 11642      S(m)= 105   S1(m)= 105  Sp(m)= 105.0962δ(m)= 9.163993E-04  K= 1        r= 107
M= 12886      S(m)= 131   S1(m)= 131  Sp(m)= 119.6528δ(m)=-8.662018E-02  K= 1.066667 r= 113
M= 13148      S(m)= 126   S1(m)= 126  Sp(m)= 121.1886δ(m)=-3.818597E-02  K= 1.058824 r= 113
M= 13562      S(m)= 109   S1(m)= 109  Sp(m)= 118.0609δ(m)= 8.312778E-02  K= 1        r= 113
M= 14198      S(m)= 121   S1(m)= 121  Sp(m)= 127.8611δ(m)= 5.670355E-02  K= 1.034483 r= 113
M= 14678      S(m)= 122   S1(m)= 122  Sp(m)= 131.0552δ(m)= .074223    K= 1.025641 r= 113
M= 16502      S(m)= 147   S1(m)= 147  Sp(m)= 145.4396δ(m)=-1.061513E-02  K= 1.028571 r= 127
M= 18908      S(m)= 161   S1(m)= 161  Sp(m)= 163.0409δ(m)= 1.267617E-02  K= 1.037037 r= 137

S1（m）的x值与连乘式的计算值Sp(m)是相近且变化趋势一致的图形：

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-6-30 10:41
我是从偶数2A拆成的两个数A±x 的变量x考虑A±x 能否构成素数对的。

连乘式的筛选结果，包含2个部分：

按照愚公688老师的最新计算公式，引入一个动态调整系数t2=1.358-(log(M))^(0.5)*0.0547，一个类拉曼纽扬系数c1=∏[1-1/(p-1)^2]，旨在提高偶数M哥猜数计算值的精度；
对于t2，给定一个偶数M，t2可求；但对于c1，需根据给定的M，先计算其平方根，再找出M平方根以内的全部奇素数p，进一步计算出[1-1/(p-1)^2]、∏[1-1/(p-1)^2]；
再向后才能计算M的近似哥猜数值Xi(M)=t2*c1*M/ln(M)^2。
计算表明，拉曼纽扬系数c1不是一个常数，当M较大时，计算难度很大，学生曾花费相当长时间计算出1000万内所有奇素数p的[1-1/(p-1)^2]值和连乘积∏[1-1/(p-1)^2]的值；
尽管它接近于拉曼纽扬常数c=0.660…，但它毕竟不是常数。
c=0.6061618158468695739278121100145557784326233602847334133194484233354056423...
愚公新哥猜公式中还必须计及另一个参数——波动因子∏(p-1)/(p-2)，其中的p仅取M平方根以内能整除M的所有奇素数因子，每一偶数对应一特定的波动因子，以下用K1表示。

t2的数值：
令M=2，t2=1.358；令t2=1，ln(M)^0.5=0.358/0.0547=6.5478962，ln(M)=24.83427303，e=2.718281828...，M=4*10^18；
令t2=0，ln(M)^0.5=1.358/0.0547=24.82632541，ln(M)=616.3464334，e=2.718281828...，M=4.74*10^267；
虽然当M继续增大时，t2要小于1，甚至小于0，但小于1的调整系数t2不必再考虑。
综上可以认为，当偶数M≥4*10^18以后，t2等于1，c1=c=0.660161816（拉曼纽扬常数）。
学生虽以计算出1000万以内的类拉曼扭杨系数，但距4*10^18平方根2*10^9（20亿）相差甚远。
据此，当偶数M不大于4*10^18时，愚公新哥猜公式应为：Xi(M)=t2*c1*M/ln(M)^2*K1。

以上分析对不对，请老师指示！

yangchuanju

重生888@贴
D（10*20*30*40*50）=80389
D（12000002）=30145
D（12000004）=30145
D（12000006）=60291
D（12000010）=40194

偶数M        单计哥猜 G        重生哥猜D        重生D/G        愚公t2        愚公c1        波动因子K1        愚公Xi(M)         Xi(M)/G
12000000        90877        80389        0.885         1.137         0.660         2.667         90414.2         0.995
12000002        40751        30145        0.740         1.137         0.660         1.200         40686.4         0.998
12000004        34186        30145        0.882         1.137         0.660         1.001         33945.2         0.993
12000006        68042        60291        0.886         1.137         0.660         2.000         67810.7         0.997
12000008        34022        30145        0.886         1.137         0.660         1.002         33979.1         0.999
12000010        52688        40194        0.763         1.137         0.660         1.544         52358.0         0.994

请重生888@自己对比一下，您的精度与愚公688的精度可比吗？

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-6-29 20:56
实际上，你的《对数计算式：0.660161816*N/ln(N)^2*波动系数》就是单记的哈代素对计算式；
而我的对数 ...

愚公688点评：
拉曼纽扬系数C(N)由2个部分组成：A= ∏[1-1/(p-1)^2]，这部分偶数稍大后即趋于1个极限值0.6601667…；B= π[{p1-1)/(p1-2)],因此拉曼纽扬系数C(N）=A*B 。我对上面的两个部分都只计算√N内含有的素数。  发表于 2022-6-30 16:48
根据埃拉托色尼筛法，判断1万以内的素数，只需要用100以内的素数就足够，那么判断1万以内的偶数所拆分的素数对的计算，也是这样。我的拉曼纽扬系数改成C1。谁愿意用哈代公式的C(N)尽管他用，实际两者相差很小。  发表于 2022-6-30 17:00
我的素数筛选程序只能做到10^16，即验证的能力到极限了，虽然计算上能够计算更大的偶数，但是无法验证的计算是无意义的。  发表于 2022-6-30 17:08

学生认为波动因子K1不易并入“类拉曼纽扬系数c1”之中，不考虑K1时，当偶数较大时，c1逐步向拉曼纽扬常数c=0.6601618…驱近，否则c1变成不定系数，且每个偶数各不相同。
第二，拉曼纽扬常数c=0.6061618158468695739278121100145557784326233602847334133194484233354056423...，一般取c=0.660161816或c=0.660，不是0.6601667…。

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计算大偶数的素数对时，不必计算大偶数的所有连乘积，只需计算这个偶数的模值的连乘积便可，而且，只需能被3、5、7、11、13五个素数能整除大偶数的模值，所得到的系数，适用于所有大偶数对应的模值得出来的系数，就能计算出大偶数的素数对个数。
例如：N=20220630时，MOD(20220630,30030)=10440，由10440五个素数的∏(P-1)/(P-2)=2.66666667，那么，GD(20220630)=0.7412*2.66666667*20220530/ln(20220530)^2=141229.4。
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这种方法是有数理依据的。刚才是随机而动，没有给出20220630（前面最后写的那个大偶数写错了，不是20220530，应该是20220630）的真实素数对个数，现在给出：D(20220630)=143588，143588-141229.4=2358.6，误差率=2358.6/143588*100=1.64%。
这种方法的最大优点是可以用手工计算，简单的很。计算误差也不是很大，适用性很强。她使哈-李公式重新焕发青春，而且，不但提高了计算精度，还简化了计算步骤和节省了计算时间，甚至简化到手工都能够实现的繁杂拉曼纽扬系数计算。
如果根据提供的偶数范围调整那个固定系数，就能得到非常接近于真值的计算结果。本人认为，这种做法属于凑数行为，则不可取。
例如：当固定系数改为0.7536时，计算精度可达到-0.00457%，若再扩大小数位数，计算精度还会进一步提高。这没有任何意义，已经失去了普遍性研究意义。不过，如果能寻到这种变化的规律，还是有研究价值和意义的，若要能以数学公式表示这种变化规律，那就最完美了。
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有言道：无事不登三宝殿。

重生888@

我不相信杨先生的数据，如果都是88/100以下，我就不用了！