\(\Large\color{red}{实数集可数定理和证明}\)

APB先生

elim 发表于 2025-1-27 23:39
0有限，若自然数n有限，则n的后继n+1亦然．
故据皮亚诺公理，没有超穷自然数．所以楼上
的给出的不是纯小 ...

      是的！若自然数n有限，则n的后继n+1亦然！但是这种后继的个数是无限多的：\[n\to n+1\to n+2\to\cdots\cdots\]\[\lim_{ }\left| \left\{ n+1{,}\ n+2{,}\ \cdots\cdots\right\}\right|=\infty\]

      皮亚诺公理包含：有限自然数公理、无限自然数公理、超限自然数公理、等等。

      我给出的就是每一个无限纯小数与无限自然数的 1-1 对应：\[\cdots a_2a_1.0\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]你的否认是错误的，不成立的，违背事实的。

elim

APB先生 发表于 2025-1-28 01:12
是的！若自然数n有限，则n的后继n+1亦然！但是这种后继的个数是无限多的：\[n\to n+1\to n+2\to\ ...

根据皮亚诺公理后继有天穷多个，而每一个皆有限数．

APB先生

elim 发表于 2025-1-28 20:13
根据皮亚诺公理后继有天穷多个，而每一个皆有限数．

假如你的理论正确，则必有最大的有限数；遗憾的是，最大的有限数是不存在的。

elim

APB先生 发表于 2025-1-30 05:11
假如你的理论正确，则必有最大的有限数；遗憾的是，最大的有限数是不存在的。

不是我的理论．是皮亚诺自然数公理决定了自然数不是无穷大数，并且没有最大自然数．
你从来没有用自然数公理证明或否证过自然数的性质．你甚至不知道什么是有限数什么是无究大数．

APB先生

elim 发表于 2025-1-30 22:02
不是我的理论．是皮亚诺自然数公理决定了自然数不是无穷大数，并且没有最大自然数．
你从来没有用自然数 ...

皮亚诺自然数公理决定了自然数不是有穷大自然数，就是无穷大自然数、超穷大自然数、等等；你不是一向都认为自然数都是有限的吗？？

elim

APB先生 发表于 2025-1-31 04:59
皮亚诺自然数公理决定了自然数不是有穷大自然数，就是无穷大自然数、超穷大自然数、等等；你不是一向都认 ...

令 \(S=\{k\in\mathbb{N}: k \text{有限}\}\). 则\(0\in S.\,\)若\(n\in S,\)
则自然数\(n\)有限,故其自然数后继\(n’=n+1\)
亦有限, 即\(n’\in S.\) 假定APB熟悉皮亚诺公理，
不然百度一下即知公理断定所论集合\(S=\mathbb{N}.\)
这就是说没有超穷自然数．

要学会论证你的观点, 不要学畜生不如的孬种混世．

春风晚霞

一、皮亚诺公理（Peano axioms）
1、0是一个自然数：这定义了自然数系统的起点。
2、每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数：这引入了“后继”的概念，即每个数都有一个“下一个”数。
3、0不是任何自然数的后继数：这确保了自然数系统的线性结构。
4、不同的自然数有不同的后继数：即如果a ≠ b，那么S(a) ≠ S(b)。
5、归纳公理：如果一个性质对0成立，且当它对自然数n成立时对S(n)也成立，那么它对所有自然数成立。这是整个系统的核心，保证了自然数的无限性和完整性。
二、\(\mathbb{N}\)是无限集，则必有\(\infty\subset\mathbb{N}\)
【证明】:\( \because\quad\mathbb{N}\)是无限集(由于\(\mathbb{N}\)与其真子集对等，故\(\mathbb{N}\)是无限集。)
\(\quad\quad\therefore\nu=\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\in\mathbb{N}\)(自然数集的良序性)
\(\quad\quad\therefore\nu+1=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+1)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\nu+2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+2)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\nu+j=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\infty\subset\mathbb{N}\)(\(\infty\)的定义)
三、elim的一切胡说八道都是为其【无穷交就是一种臭骤变】张目。其论证均为徝环论证！所以论坛诸君千万要警惕elim欺己骗人的把戏！

APB先生

区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意一个有限或无限的纯小数 \(0.a_1a_2\cdots\in\left( 0{,}1\right)\)  都可与 \(1\) 对等：
\[1\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]因此区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的；实数集是可数的；不可数的任一实数都是不存在的。因此实数集不可数是百年错误。

APB先生

相同自然数集 \(N\) 有无穷多个，若集系 \(\cup N=\left\{ N{,}\ N{,}\ \cdots\right\}\) ,则显然相同自然数集 \(N\) 的等势链有无限长\[\left| N\right|=\left| N\right|=\cdots\cdots\]

APB先生

区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意一个有限或无限的纯小数 \(0.a_1a_2\cdots\in\left( 0{,}1\right)\)  都可与 \(1\) 对等：
\[1\longleftrightarrow0.a_1a_2\cdots\]因此区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的；实数集是可数的；不可数的任一实数都是不存在的。因此实数集不可数是百年错误。