梅森素数特别判定法

yangchuanju

几个2^p-1型合数套用LL检验法检验余数列中循环节长及循环开始点——                                                                                               
指数        11        23        29        37        9        15        21        25        27        33        35        39
循环节        60        32340        252        516924        3        9        3        60        9        6420        6828        1164
开始点        2        2        2        6        4        6        8        6        9        4        8        14

yangchuanju

众所周知，LL检验法常用于梅森数2^p-1的素性检验，令r1=4，r2=mod((r1^2-2),(2^p-1))，r3=mod((r2^2-2),(2^p-1))，……，当第p-1个余数等于0时这个梅森数就是素数；否则当第p-1个余数不等于0时这个梅森数就是合数；
然而并不是只有梅森素数的LL检验余数列中有余数0出现，普通素数97,607,12289,22783等套用LL检验时也都有余数0存在——
（下表中的7,31,12,8191都是梅森素数）
素数号        素数        r1        r2        r3        r4        r5        r6        r7        r8        r9        r10        r11        r12
4        7        4        0                                                                               
11        31        4        14        8        0                                                               
31        127        4        14        67        42        111        0                                               
1028        8191        4        14        194        4870        3953        5970        1857        36        1294        3470        128        0
25        97        4        14        0                                                                       
111        607        4        14        194        0                                                               
2546        22783        4        14        194        14851        12759        7544        0                                       
1470        12289        4        14        194        767        10704        5267        5014        9189        0                       

在第10001-100000个素数中又4个有余数0的素数，其中2个梅森素数，2个普通素数——
265471        4        14        194        37634        30169        133971        0
592897        4        14        194        37634        479918        367823        0
131071        4        14        194        37634        95799        119121        66179        53645        122218        126220        70490        69559        99585        78221        130559        0               
524287        4        14        194        37634        218767        510066        386344        323156        218526        504140        103469        417706        307417        382989        275842        85226        523263        0

yangchuanju

2^51-1=        2251799813685247<16>=7×103×2143×11119×131071
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和131071，其余素因子103,2143和11119的LL检验法余数列循环节长分别为6,33和276，       
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——3036或它的某个约数。       
       
2^53-1=        9007199254740991<16>=6361×69431×20394401
它有三个素因子6361,69431和20394401的LL检验法余数列循环节长分别为52,260和20148，       
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——1309620或它的某个约数。       
       
2^55-1=        36028797018963967<17>=23×31×89×881×3191×201961
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子31，其余素因子23,89,881,3139和201961的LL检验法余数列循环节长分别为5,12,42,140和40，       
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——420或它的某个约数。       
       
2^57-1=        144115188075855871<18>=7×32377×524287×1212847
不计它的二个梅森素数因子，其余的两个素因子32377和1212847的LL检验法余数列循环节长分别为630和1176，       
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——17640或它的某个约数。       
       
2^49-1、2^59-1的部分素因子太大，在16位数字系统中无法直接计算2出精确数字；       
2^41-1以上的2^p-1型数字本身太大，在16位数字系统中都不能直接计算，它们的循环节都不能直接计算。       

太阳

从古至今，没有找到正确的素数公式，素数判断找不到捷径的方法，计算循环节位数也是很困难的，难度大

太阳

已知:\(a^2+c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(t＞0\)
奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)，
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有2个正整数解
求证:\(m＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)，
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有3个正整数解
求证:\(m＝p\)

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有3个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有2个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(c＞y\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有3个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(c＞y\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有2个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)

太阳

已知:\(a^2+4c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+4c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)

yangchuanju

太阳 发表于 2024-9-16 05:00
已知:\(a^2+4c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t ...

将命题1或2中的c=mt带入a^2+4*c^4=c^4*m之中，方程变成
a^2+4*m^4*t^4=m^5*t^4
m^5*t^4-4*m^4*t^c=(m-4)*(m^2*t^2)^2=a^2
令m=5,13,29,85,125,173……，不论t取什么样的正整数，都有整数a存在，请问太阳先生，m=85和125也是素数吗？t=4,6,8,9,10都是素数吗？
太阳先生是不是出题匆忙，忘了加个附加条件“m≠5y”了吗？
若如此，那么，令m=629=17*37, 1853=17*109，也都有整数a存在呀？

m        m-4        t=1        2        3        4        5
5        1        25        100        225        400        625
13        9        507        2028        4563        8112        12675
29        25        4205        16820        37845        67280        105125
53        49        19663        78652        176967        314608        491575
85        81        65025        260100        585225        1040400        1625625
125        121        171875        687500        1546875        2750000        4296875
173        169        389077        1556308        3501693        6225232        9726925
229        225        786615        3146460        7079535        12585840        19665375
293        289        1459433        5837732        13134897        23350928        36485825
365        361        2531275        10125100        22781475        40500400        63281875
445        441        4158525        16634100        37426725        66536400        103963125
533        529        6534047        26136188        58806423        104544752        163351175
629        625        9891025        39564100        89019225        158256400        247275625
733        729        14506803        58027212        130561227        232108848        362670075
845        841        20706725        82826900        186360525        331307600        517668125
965        961        28867975        115471900        259811775        461887600        721699375
1093        1089        39423417        157693668        354810753        630774672        985585425
1229        1225        52865435        211461740        475788915        845846960        1321635875
1373        1369        69749773        278999092        627747957        1115996368        1743744325
1525        1521        90699375        362797500        816294375        1451190000        2267484375
1685        1681        116408225        465632900        1047674025        1862531600        2910205625
1853        1849        147645187        590580748        1328806683        2362322992        3691129675
2029        2025        185257845        741031380        1667320605        2964125520        4631446125
2213        2209        230176343        920705372        2071587087        3682821488        5754408575
2405        2401        283417225        1133668900        2550755025        4534675600        7085430625

m        t=6        7        8        9        10        11
5        900        1225        1600        2025        2500        3025
13        18252        24843        32448        41067        50700        61347
29        151380        206045        269120        340605        420500        508805
53        707868        963487        1258432        1592703        1966300        2379223
85        2340900        3186225        4161600        5267025        6502500        7868025
125        6187500        8421875        11000000        13921875        17187500        20796875
173        14006772        19064773        24900928        31515237        38907700        47078317
229        28318140        38544135        50343360        63715815        78661500        95180415
293        52539588        71512217        93403712        118214073        145943300        176591393
365        91125900        124032475        162001600        205033275        253127500        306284275
445        149706900        203767725        266145600        336840525        415852500        503181525
533        235225692        320168303        418179008        529257807        653404700        790619687
629        356076900        484660225        633025600        801173025        989102500        1196814025
733        522244908        710833347        928435392        1175051043        1450680300        1755323163
845        745442100        1014629525        1325230400        1677244725        2070672500        2505513725
965        1039247100        1414530775        1847550400        2338305975        2886797500        3493024975
1093        1419243012        1931747433        2523098688        3193296777        3942341700        4770233457
1229        1903155660        2590406315        3383387840        4282100235        5286543500        6396717635
1373        2510991828        3417738877        4463985472        5649731613        6974977300        8439722533
1525        3265177500        4444269375        5804760000        7346649375        9069937500        10974624375
1685        4190696100        5704003025        7450126400        9429066225        11640822500        14085395225
1853        5315226732        7234614163        9449291968        11959260147        14764518700        17865067627
2029        6669282420        9077634405        11856502080        15005885445        18525784500        22416199245
2213        8286348348        11278640807        14731285952        18644283783        23017634300        27851337503
2405        10203020100        13887444025        18138702400        22956795225        28341722500        34293484225