孬种搅局01\(\Huge\textbf{科普}:\,\underset{n\to\infty}{\lim}n\not\in\mathbb{N}\)

春风晚霞

定理：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)
【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】

春风晚霞

命题：皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)依然成立。
        证明：因为在现行数学理论中只有形如\(j\cdot\omega\)\((j\in\mathbb{N})\)这样的数没有直接前趋(即极限序数)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\omega\)的直接前趋，故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\ne\omega\),又因\(\omega\)的后继是\(\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1\)\(\ne\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1<\omega\)(实数三分律原理），所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\mathbb{N}\).所以皮亚诺公理对自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立.【证毕】。
        【推论】
①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+j\in\mathbb{N}\)
②、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\in\mathbb{N}\)
③、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\in\mathbb{N}\)
④、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\in\mathbb{N}\)
……

春风晚霞

         为揭露elim吃屎成痴不识自然数的危害,现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符叫表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)，特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

定理：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)
【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】

春风晚霞

         为揭露elim吃屎成痴不识自然数的危害,现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符号表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)，特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

         为揭露elim吃屎成痴不识自然数的危害,现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符号表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)，特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

         现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)
        特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

         任何《数学分析》教科书都支持\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)，及与之逻辑等价的任何命题。现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

         任何《数学分析》教科书都支持\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)，及与之逻辑等价的任何命题。现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

         任何《数学分析》教科书都支持\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)，及与之逻辑等价的任何命题。现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……