质疑第一次数学危机的真相

yangls728

√2不是有理数传统证明方法的论证形式错误
杨六省
yangls728@163.com
传统的证明方法把√2=p/q（p，q互质）作为“√2不是有理数”的反论题，那么，依据反证法的要求，就应该把√2=p/q（p，q互质）作为初始条件展开推理，否则，凭什么说明反论题就是导致矛盾的原因呢？但是，在推出矛盾结论（指“p和q都是偶数”）的过程中（姑且不论这种推出是否有效），并没有用到反论题√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”这一条件，这是传统证明方法的论证形式错误。仅凭这一点，就可以确认传统证明方法是无效的，因为它不是在正确的应用反证法。
破旧立新。下面是笔者对√2不是有理数给出的证明。
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：先假设q是整数是必要的，因为否则就推不出2q2是偶数；另外，这个假设也是可满足的，因为√2总可以写成√2=p/q（q是整数）的形式。
附：人教版数学课本七年级下册第58页证明：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                                   p=√2q.
两边平方得                             p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                   q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

APB先生

elimqiu 发表于 2017-1-1 23:30
教课书没有大错．自从可以出钱印书后，确实有一些错误百出的书上了市，例如jzkyllcjl 的书等等．但我党决不 ...

        我国高校的多部教科书中都有的实数集不可数定理和对角线法证明就是大错特错 !! 错了 100 多年 ！！其实所谓的无理数不过是无限分数而已\[\frac{\sqrt{2}}{10}=0.1414\cdots\cdots=\frac{1414\cdots\cdots}{10000\cdots\cdots}\]

yangls728

发给人教社中学数学编辑室薛老师的邮件：
√2不是有理数能有两个相互矛盾的反论题吗？
薛老师好，
贵社数学课本七年级下册第58页的表述是：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
……
如果上述思路是合理的，那么，也可以有
假设√2是有理数，那么存在两个非互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
……
但是，√2不是有理数有两个不相容的反论题√2=p/q（p，q互质）和√2=p/q（p，q非互质），这是不可能的！唯一合理的解释是，把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题是错误的。√2不是有理数的反论题只能是“√2是有理数”，即√2= p/q（p和q都是整数）。
以上看法如有不妥，请批评指正。
祝好！
杨六省

我的表述是：
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。可固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：证明中固定p是整数也可以。由于我们要证明的是p和q不都是整数，而不是p和q都不是整数，所以，务必先固定其中的一个是整数，否则，论证将无从进行。

yangls728

上文的那个矛盾说明：从√2= p/q（p和q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

yangls728

elim 发表于 2024-7-25 11:10
楼主跟某个认为整数比 \(p/q = \sqrt{2}\) 可推出 \(\gcd(p,q)=1\) 的人较劲，只能显出楼主的愚蠢。

...

鲁迅：沉默是最高的轻蔑，讲真话是最大的勇气。
故不辩。

elim

yangls728 发表于 2024-7-24 06:22
上文的那个矛盾说明：从√2= p/q（p和q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

楼主跟某个认为整数比 \(p/q = \sqrt{2}\) 可推出 \(\gcd(p,q)=1\) 的人较劲，只能显出楼主的愚蠢。

任意有理数都是某互素整数p,q之比。所以假定 \(\sqrt{2}\) 为有理数就是假定 \(\sqrt{2}\) 是某既约分数 \(\frac{p}{q}\).

yangls728

教科书在证明√2不是有理数过程中犯了5个错误（单页简明版）
杨六省（yangls728@163.com）
①√2=p/q（p，q 互质）能作为√2不是有理数的反论题吗？
不能。人教版（七下第58页）和北师大版（八上第24页）都把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题，就是把有理数与无理数之间的矛盾（指√2=p/q中的p和q能否都是整数）变成了有理数系统内的矛盾（指√2= p/q中的两个整数p与q能否互质），这是方向性错误，如同用境内法代替入境法，注定失败！事实胜于雄辩：下文中的③、④、⑤均表明教科书证明中的逻辑链条是断裂的，因而论证是无效的。简言之，√2=p/q（p，q 互质）（即√2是最简分数）只是一个无意义无真假的语句而非命题，当然不能做反论题。
②由√2=p/q（p，q 都是整数）能推出√2=p/q（p，q 互质）吗？
不能。否则，以同样的理由也可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 不互质）。但是，由√2=p/q（p，q 都是整数）推出相互矛盾的结论是荒谬的。归根结底，教科书不该对反论题√2=p/q（p，q 都是整数）的右端套用“分数总可以写成最简分数的形式”，因为它徒有分数之名（注：关于由反论题√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q 互质），为了帮助理解，我们还可以举一个道理相同但更贴近生活常识的例子：某人H从未打过父亲。反论题应该是H打过父亲。但是，由反论题“H打过父亲”是推不出“H已经停止打父亲”或“H尚未停止打父亲”的，因为推理的前提条件并不真实存在）。教科书中的做法，就是把反论题“√2是分数”中的“分数”变成了它的一个下位概念“最简分数”，这是偷换概念。需要说明的是，我们务必把应用反论题参与推理和对反论题本身的推理区分开来。前者不会使反论题发生改变，但后者则不然，因而后者是不合理的推理。很明显，本文中的①与②是一致的。
③由p2是偶数能推出p也是偶数吗？
不能。理由是，教科书在证明中首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。
有人反驳说：为了否定假设，反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾。那么，应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，这种说法将陷于自相矛盾。理由是，当推出了p是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p是整数”这个假设。但是，教科书并没有否定“p是整数”这个假设。反驳者以为动机可用来进行反驳，殊不知动机已被实际结果所否定，故反驳无效。
④前面推出了p是偶数，后面还能推出q也是偶数吗？
不能。因为这与此前已确定了的“p，q互质”矛盾。
⑤由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾能推出√2不是有理数吗？
不能。上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立，等价的说法是“p与q非互质”成立。但后者蕴涵“p和q都是整数”，所以，由上述矛盾不能推出√2不是有理数。
说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他证明，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
阅读此文的朋友，如果你能够认可上述5条意见中的哪怕一条（5条意见均表明论证的逻辑链条已经断裂），你都可以对教科书关于√2不是有理数的证明说不！当然，④最简单。

yangls728

对√2不是有理数传统证明方法的5点批评（修改稿）
杨六省
yangls728@163.com
①√2=p/q（p，q 互质）不能作为√2不是有理数的反论题
√2=p/q（p，q 都是整数）是“√2不是有理数”的反论题，没有人提出异议。无论p与q是否互质都与“p，q 都是整数”不矛盾。因此，就算传统的证明方法真的推出了p和q都是偶数，也只能说明“p，q 互质”的假设不成立，而不能说明“p，q 都是整数”的假设不成立。因此，√2=p/q（p，q 互质）不能作为“√2不是有理数”的反论题。
②由√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q 互质）
如若不然，以同样的理由也可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 不互质），矛盾！这表明√2=p/q（p，q互质）不是√2=p/q（p，q 都是整数）的必然逻辑结果，也就是说，由√2=p/q（p，q 都是整数）到√2=p/q（p，q互质）的推理不是有效推理。
对①和②的另一种论证方法：
远古时期，“地球是平的”是普天下人的常识，但这种认知早已无踪无影。25个世纪以来，√2=p/q（p，q互质）（即√2是最简分数）一直被教科书视为“√2不是有理数”的反论题，换一种说法，由√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q互质）是再明显不过的常识，但笔者相信，这种认知将会在不久的将来从教科书中下架，因为我们已经看到了真理：
“命题S预设命题P，是指：P的真是使S成为真或假的先决条件；如果P假，那么S没有意义，即无所谓真或假。”（彭漪涟，马钦荣主编．逻辑学大辞典[M].上海：上海辞书出版社，2004年，第156页）
预设，通俗地讲是指：说话者在说出某个话语或句子时所做的假设。例如，当我们说“p与q互质”时，当然是就p和q都是整数而言的。所以，很显然，√2=p/q（p，q互质）预设√2=p/q（p，q 都是整数）。由于√2=p/q（p，q 都是整数）为假，故√2=p/q（p，q互质）无意义无真假。由一个有意义的东西不可能推出一个无意义的东西，所以，由√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q互质）。再者，既然√2=p/q（p，q互质）无意义无真假，所以，它没有资格作“√2不是有理数”的反论题。
为了帮助理解，我们不妨做个类比：√2=p/q（p，q互质）（即√2是最简分数）与“你已停止打老婆”或“你尚未停止打老婆”（前提是你从未打过老婆）的说法同样荒谬，只是由于前者距离生活常识太远，荒谬性不容易被发现罢了。
③由p2是偶数不能推出p也是偶数
理由是，传统证明方法首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的（注：还可参阅笔者关于√2不是有理数的证明）。
有人反驳说：为了否定假设，反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾。那么，应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，这种说法将陷于自相矛盾。理由是，当推出了p是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p是整数”这个假设。但是，教科书并没有否定“p是整数”这个假设。反驳者以为动机可用来进行反驳，殊不知动机已被实际结果所否定，故反驳无效。
④前面推出了p是偶数，后面不能再推出q也是偶数
因为这与此前已确定了的“p，q互质”矛盾。
⑤由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾不能推出√2不是有理数
上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立，而不能说明“p，q 都是整数”的假设不成立。因此，由上述矛盾不能推出√2不是有理数。
由上述5条中的任何一条都可以说明√2不是有理数的传统证明方法是无效的。
说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他证明，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
感谢中国社会科学院刘新文先生向笔者推荐周礼全先生主编的《逻辑》一书。在读了此书有关章节后，笔者又查阅了逻辑学大辞典，从而使得笔者曾在《悖论：披着羊皮的狼》一书（纸质书京东有售）及有关帖文中提出的“√2=p/q（p，q互质）是无意义无真假的”之论断，在论据的表述上更为清晰和确凿。

yangls728

elim 发表于 2025-4-16 01:29
请楼主填补一下您的数理逻辑基础．
论证以下集论等式．您的长年纠结有望获释.
\(\mathbb{Q}=\{m/n\mid m, ...

还是鲁迅的那句话：最大的轻蔑莫过于无言。三季人可辨吗？

elim

请楼主填补一下您的数理逻辑基础．
论证以下集论等式．您的长年纠结有望获释.
\(\mathbb{Q}=\{m/n\mid m,n\in\mathbb{Z}, n\ne 0\} \)
\(\quad= \{ {\large\frac{p}{q}}\mid p,q\in \mathbb{Z}, q>0, \gcd(p,q)=1\}\)