趣味幻立方——三阶素数幻立方

yangchuanju

第三幻和幻立方                               
作者：俄罗斯                        面对角        行和
1061        3167        863        5091        5091
2243        431        2417        5091        5091
1787        1493        1811        ——        5091
                               
2447        23        2621        5091        5091
1871        1697        1523        5091        5091
773        3371        947        ——        5091
                               
1583        1901        1607        5091        5091
977        2963        1151        5091        5091
2531        227        2333        ——        5091
列和        ——        ——        体对角线和       
5091        5091        5091        5091        5091
5091        5091        5091        5091        5091
5091        5091        5091               
竖和                               
5091        5091        5091        #N/A       
5091        5091        5091               
5091        5091        5091               

第四幻和幻立方                               
作者：俄罗斯                        面对角        行和
1511        3491        431        5433        5433
2339        233        2861        5433        5433
1583        1709        2141        ——        5433
                               
2441        29        2963        5433        5433
2333        1811        1289        5433        5433
659        3593        1181        ——        5433
                               
1481        1913        2039        5433        5433
761        3389        1283        5433        5433
3191        131        2111        ——        5433
列和        ——        ——        体对角线和       
5433        5433        5433        5433        5433
5433        5433        5433        5433        5433
5433        5433        5433               
竖和                               
5433        5433        5433        #N/A       
5433        5433        5433               
5433        5433        5433               

yangchuanju

【转载】关于由素数构成幻立方的几个注记
1、 N阶素数幻立方，可以从低阶，通过加框的算法，一步一步得到。先计算某个偶数的哥德巴赫分拆，然后用分拆的素数来加框。因此N阶素数幻立方是存在的。
2、 N阶素数幻立方（不要求是连续素数），肯定是存在的。对N阶素数幻立方，肯定存在幻和最小的。但现在几乎没有什么结果。
3、  N阶连续素数幻立方，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
4、 由于素数是不连续的，因此从8阶开始，也应该存在完美素数幻立方。但现在没有什么结果。
5、 由于陶哲轩证明了存在任意长度的素数等差数列，因此，存在由N^3个素数构成的等差数列。用这N^3个素数，按照大小顺序，代换狭义N阶幻立方中相应的数字，就可以得到具有狭义N阶幻立方性质的N阶素数幻立方。比如，原来的狭义幻立方是完美幻立方，得到的素数幻立方也是完美幻立方。原来的幻立方是中心对称幻立方，得到的素数幻立方也是中心对称幻立方。原来的幻立方是轴对称幻立方，得到的素数幻立方也是轴对称幻立方。原来的幻立方是平方幻立方，得到的素数幻立方也是平方幻立方。因此，各种性质的素数幻立方的存在性是不成问题的。关键是构造合适的素数等差数列。但这个问题极其困难。现在得到的最长的素数等差数列，其长度是23。
6、 直接搜索由N^3个素数构成的等差数列极其困难，因此退而求其次，搜索N^2个长度为N的素数等差数列，且这N^2个数列的首项构成一个行列等差数列。由这种素数等差数列的N^3个素数可以构成N阶素数幻立方。选择一个普通幻立方，按照大小顺序，代换普通N阶幻立方中相应的数字，就可以得到具有普通N阶幻立方性质的N阶素数幻立方。这种方法，难度小多了。用这种方法，已经得到了3阶素数幻立方， 4阶、 5阶及以上的还还未见报道。
7、 由连续孪生素数构成的N阶幻立方（N只能是偶数阶）。是否存在？若存在，构造幻和最小的。
8、  由连续孪生素数构成的N阶孪生素数幻立方对。是否存在？若存在，构造幻和最小的。
9、 由连续阴性素数构成的N阶素数幻立方。是否存在？若存在，构造幻和最小的。阴性素数是形如6K-1的素数。
10、 由连续阳性素数构成的N阶素数幻立方。是否存在？若存在，构造幻和最小的。阳性素数是形如6K+1的素数。
11、由孪生素数（不要求连续）构成的N阶幻立方（N只能是偶数阶），是否存在？若存在，构造幻和最小的。
12、由孪生素数（不要求连续）构成的N阶素数幻立方对，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
13、由阴性素数（不要求连续）构成的N阶素数幻立方，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
14、由阳性素数（不要求连续）构成的N阶素数幻立方，是否存在？若存在，构造幻和最小的。
15、如果某个偶数恰好有N^3/2对（N是偶数）不同素数的哥德巴赫分拆，那么可能可以用这N^3/2对素数来构造N阶素数幻立方。甚至可以构造轴对称的素数幻立方。这种素数幻立方，称为偶数阶哥德巴赫幻立方。这种素数幻立方，现在还未见有报道。哥德巴赫分拆是将一个偶数分拆成两个奇素数的和。
16、如果某个偶数恰好有（N^3-1）/2对（N是奇数）不同素数的哥德巴赫分拆，且有一对相同素数的哥德巴赫分拆（比如10=5+5），那么可能可以用这些素数来构造N阶素数幻立方。甚至可以构造中心对称的素数幻立方，此时，那个相同素数必须放在中心。这种素数幻立方，称为奇数阶哥德巴赫幻立方。这种素数幻立方，现在还未见有报道。
17、四生素数是形如P，P+2，P+6，P+8的四个素数。用四生素数构造4K阶素数幻立方；进而用连续四生素数构造4K阶素数幻立方。更高要求的4K阶素数幻立方也可能构成。

2012年2月10日
【附注】作者  牛学良  转自新浪微博《牛黄的博客》

yangchuanju

【转载】幻立方解法之素数3阶幻立方
菜鸟的博客-CSDN博客_三阶幻立方
暴力求解的过程，让我整个人都不好了

不过在网上还找到了几个号称是3阶素数幻立方的，诶。。。。这个可以看下

http://tieba.baidu.com/p/3165245336

*/

func testPrimeNumberCube3(){
   let cube1: [[[Int]]] =

    [[[2273,6449,2777],[6563,797,4139],[2663,4253,4583]],

     [[6143,1637,3719],[1409,3833,6257],[3947,6029,1523]],

     [[3083,3413,5003],[3527,6869,1103],[4889,1217,5393]]]

   

   let cube2: [[[Int]]] =

    [[[3607,4903,3049],[5413,4519,1627],[2539,2137,6883]],

            [[7129,1087,3343],[67,3853,7639],[4363,6619,577]],

            [[823,5569,5167],[6079,3187,2293],[4657,2803,4099]]]

   

   let cube3: [[[Int]]] =

    [[[83,2309,2267],[2423,107,2129],[2153,2243,263]],

                [[1733,1487,1439],[977,2999,683],[1667,1619,1373]],

                [[2843,863,953],[6079,3187,2293],[839,797,3023]]]

   

   let cube4: [[[Int]]] =

    [[[773,863,3023],[977,2999,683],[2909,797,953]],

        [[1733,1487,1439],[1259,1553,1847],[1667,1619,1373]],

        [[2153,2309,197],[2423,107,2129],[83,2243,2333]]]

   

   let cube5: [[[Int]]] =

    [[[2843,863,953],[977,2999,683],[839,797,3023]],

                    [[1733,1487,1439],[1259,1553,1847],[1667,1619,1373]],

                    [[83,2309,2267],[2423,107,2129],[2153,2243,263]]]

   

   let cube6: [[[Int]]] =

    [[[2087,2309,263],[2423,107,2129],[149,2243,2267]],

            [[1733,1487,1439],[1259,1553,1847],[1667,1619,1373]],

            [[839,863,2957],[977,2999,683],[2843,797,1019]]]

yangchuanju

程老师：“菜鸟”说，这几个幻立方都不是幻立方，请老师检验一下它们究竟是不是幻立方！

yangchuanju

经检验，除第3款外，其余5款都是简单型的3阶幻立方；其中第1、第2款就是钟明先生所编制的第三、第四款3阶素数幻立方。
第3款为何不再是幻立方，可能是菜鸟先生复制过程中出现了数字错乱造成的。
菜鸟先生认为它们都不是幻立方，可能是他的标准问题，若要求3阶幻立方达到“标准”级（所有截面都成幻方），则谁也编制不出那样的3阶幻立方！
有一点值得注意的是：用连续整数1-27编制的3阶幻立方的3个中间截面都是幻方，而这些用素数编制的3阶幻立方中只有2个中间截面是幻方（左中右的中截面不成幻方）。

yangchuanju

前面各篇帖子已经指出，3阶幻方共有1种，但可变成4种不同的形态（限左右反转、上下反转变体；不包括旋转体）。
素数幻方有5种类型：
1、由9生等差的连续素数可构成一个3阶素数幻方，现仅知9生等差连续素数组数是个位数；
2、由9生等差的非连续素数可构成一个3阶素数幻方，现已知9生等差非连续素数47组；
3、由9生非等差的连续素数可构成一个3阶素数幻方，现已知9生非等差连续素数759组；
4、由9生非等差的非连续素数可构成一个3阶素数幻方，现已知该类幻和9552组；
5、由包含整数1的9生非等差的非连续素数可构成一个3阶素数幻方，网页A073502给出包含1的3阶素数幻方的幻和35个。

素数幻立方也有以下各种类型：
1、由27生等差的连续素数可构成一组4个3阶素数幻立方，至今尚未有人找到27级CPAP型素数级数（现已知的最长CPAP型级数是10级）；
2、由27生等差的非连续素数可构成一组4个3阶素数幻立方，至今仅在2019年被找到27级AP型素数级数1组；
3、由3*9生非等差的连续素数可构成3阶素数幻立方，现在无人关注这样的素数级数；
4、由3*9生非等差的非连续素数可构成3阶素数幻立方，现已知该类幻立方仅十几组，网页A239671给出了该类3阶素数幻立方的幻和20个；
5、由包含整数1的3*9生非等差的非连续素数可构成3阶素数幻立方，现未见统计资料。
由27个等差整数可编制4个3阶幻立方，不包括转置、镜像等变形体；
但由27个非连续素数或整数编制的3阶幻立方，无法（或不可能）转换成另外的形体。

yangchuanju

3阶幻立方的各种变形
3阶幻立方可进行上下面、左右面、前后面交换，上下镜像、左右镜像和旋转等各种变形；变形后仍是幻方。
但下面的钟九、钟十、钟七虽然幻和相同，但不是同一种幻方。

钟六是钟九的一、三交换产物；菜鸟4是钟九前后面交换产物
钟九               
773        863        3023
977        2999        683
2909        797        953
               
1733        1487        1439
1259        1553        1847
1667        1619        1373
               
2153        2309        197
2423        107        2129
83        2243        2333
               
钟六               
2153        2309        197
2423        107        2129
83        2243        2333
               
1733        1487        1439
1259        1553        1847
1667        1619        1373
               
773        863        3023
977        2999        683
2909        797        953
               
菜鸟4               
773        863        3023
1733        1487        1439
2153        2309        197
               
977        2999        683
1259        1553        1847
2423        107        2129
               
2909        797        953
1667        1619        1373
83        2243        2333

yangchuanju

（接上楼）
钟五是钟十的一、三交换产物；菜鸟5是钟十前后面交换产物
钟十               
2843        863        953
977        2999        683
839        797        3023
               
1733        1487        1439
1259        1553        1847
1667        1619        1373
               
83        2309        2267
2423        107        2129
2153        2243        263
               
钟五               
83        2309        2267
2423        107        2129
2153        2243        263
               
1733        1487        1439
1259        1553        1847
1667        1619        1373
               
2843        863        953
977        2999        683
839        797        3023
               
菜鸟5               
2843        863        953
1733        1487        1439
83        2309        2267
               
977        2999        683
1259        1553        1847
2423        107        2129
               
839        797        3023
1667        1619        1373
2153        2243        263

yangchuanju

（接上楼）
钟八是钟七的一、三交换产物
菜鸟6是钟七前后面交换产物
钟二是钟七的左右面交换产物
钟七               
2087        2309        263
2423        107        2129
149        2243        2267
               
1733        1487        1439
1259        1553        1847
1667        1619        1373
               
839        863        2957
977        2999        683
2843        797        1019

钟八               
839        863        2957
977        2999        683
2843        797        1019
               
1733        1487        1439
1259        1553        1847
1667        1619        1373
               
2087        2309        263
2423        107        2129
149        2243        2267

菜鸟6               
2087        2309        263
1733        1487        1439
839        863        2957
               
2423        107        2129
1259        1553        1847
977        2999        683
               
149        2243        2267
1667        1619        1373
2843        797        1019
               
钟二               
263        2309        2087
2129        107        2423
2267        2243        149
               
1439        1487        1733
1847        1553        1259
1373        1619        1667
               
2957        863        839
683        2999        977
1019        797        2843

看来，菜鸟网友从网上下载的几款3阶素数幻方还是来自钟明等人。

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（接上楼）
以钟七为基准，一三层（上下面）交换后是幻方（钟八；
前后面交换后仍是幻方（菜鸟6）；
左右面交换后仍是幻方（钟二）。

上下镜像变形后仍是幻方，
上下面交换与上下镜像不是一回事。
左右镜像与左右面交换确是一回事。
左右镜像与前后镜像是一样的。

钟七上下镜像               
2843        797        1019
977        2999        683
839        863        2957
               
1667        1619        1373
1259        1553        1847
1733        1487        1439
               
149        2243        2267
2423        107        2129
2087        2309        263

钟七旋转180度               
1019        797        2843
683        2999        977
2957        863        839
               
1373        1619        1667
1847        1553        1259
1439        1487        1733
               
2267        2243        149
2129        107        2423
263        2309        2087
               
上下镜像变形后仍是幻方，
上下面交换与上下镜像不是一回事。
左右镜像与左右面交换确是一回事。
左右镜像与前后镜像是一样的。

还有更多的变形，如把钟八上下镜像、左右镜像，
任一款幻方旋转180度等等。